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复习课(六) 三角恒等变换
考点一 三角函数的求值问题
三角函数求值常见的有给角求值、给值求值、给值求角．给角求值通常找到所给角之间及与特殊角之间的关系，利用三角公式达到相消求值．给值求值最为重要，通常要寻求已知角与所求角的关系，用已知角表示未知角从而求解．给值求角在上面基础上求出所求角的一个三角函数值，再结合角的范围求出角．
【典例1】 已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
[解] ∵0<α<，0<β<，
∴－<α－β<，
又tan(α－β)＝－，∴－<α－β<0.
又∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝.
又tan(α－β)＝－＝，
且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，
∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝
从而cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝×－×＝.
变角是给值求值问题最为常见的技巧，因此对于角的常见变换要熟悉．
常见的变角技巧有α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝－，4α＝2·(2α)，＝2·等．
另外还要熟悉一些互余、互补角的关系．
[针对训练]
1．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝
＝＝，
cos＝
＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
考点二 三角函数式的化简与证明
三角函数式化简的一般要求：(1)能求值的尽量求值．
(2)化简的结果最简：次方数最低、三角函数名称最少，三角函数的证明题型比较少，主要也是考查三角恒等变换．
【典例2】 化简：.
[解] 解法一：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
解法二：原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝＝2.
三角函数式化简的基本技巧
(1)sinα，cosα→凑倍角公式．
(2)1±cosα→升幂公式．
(3)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中tanφ＝或asinα＋bcosα＝·
cos(α－φ)，其中tanφ＝.
[针对训练]
2．求证：tan2x＋＝.
[证明] 证法一：左边＝＋
＝
＝
＝＝
＝＝
＝＝＝右边．
原式得证．
证法二：右边＝
＝＝
＝
＝＝tan2x＋＝左边．
原式得证．
考点三 三角函数的图象及变换
三角函数的图象及变换是三角函数的重点内容，包括“知图求式”及平移伸缩变换．知图求式关键是初相φ的确定，图象变换注意变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移．
【典例3】 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？
[解] (1)由图象知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝，2×＋φ＝，∴φ＝，
∴所求函数解析式为
y＝sin－1.
(2)把y＝sinx向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常利用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.
(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．
[针对训练]
3．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
[解析] 将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，故x＝－是其图象的一条对称轴的方程．
[答案] A
4．将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ个单位得到g(x)＝sin2(x＋φ)的图象，g(x)为偶函数，故2φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤，∴2φ＝，∴φ＝.
[答案] C
考点四 三角函数的简单应用
三角函数经过三角恒等变换化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究其图象性质是常见的热点题型．要结合三角函数的性质将ωx＋φ看成一个整体研究．
【典例4】 已知函数f(x)＝2sincos－2cos2＋.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[解] (1)f(x)＝2sincos－2cos2＋
＝sinx－＝sinx－cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，∴tanθ＝，
∴
＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sinx－cosx＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
研究三角函数的图象性质，通常是利用和差角公式、二倍角公式及其变形公式进行整理、化简，将原函数变为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，这是解答该类题目的关键所在．
[针对训练]
5．已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值与单调递增区间；
(2)求使f(x)≥3成立的x的集合．
[解] (1)因为f(x)＝1＋2sin2x＋2sinxcosx
＝1＋1－cos2x＋sin2x
＝2＋2
＝2＋2
＝2＋2sin，
所以当sin＝1时，函数f(x)取得最大值4.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(x)≥3得sin≥，则2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以使f(x)≥3成立的x的集合为.
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