(共31张PPT)
第1课时 并集与交集
1．理解并集、交集的概念．
2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集．
3．会求简单集合的并集和交集．
1．并集的概念及表示
2.交集的概念及表示
温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．并集、交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪?＝A A∩?＝?
1．已知下列集合：
A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．
(1)集合A与集合B各有几个元素？
(2)若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？
(3)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
[答案] (1)A有2个元素，B有4个元素
(2){－1,1,2,3,4}
(3)集合A、B中的元素属于集合C
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合．( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )
(3)并集定义中的“或”就是“和”．( )
(4)若A∩B＝C∩B，则A＝C.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
题型一并集的运算
【典例1】 (1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
(2)已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
[思路导引] 由并集的定义，结合数轴求解．
[解析] (1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.
(2)在数轴上表示两个集合，如图．
∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.
[答案] (1)A (2)C
求集合并集的2种方法
(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．
(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
[针对训练]
1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )
A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}
[解析] ∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，
∴A∪B＝{1，－2,3}．
[答案] C
2．若集合M＝{x|－3
5}，则M∪N＝________.
[解析] 将－35在数轴上表示出来．
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
[答案] {x|x<－5或x>－3}
题型二交集的运算
【典例2】 (1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
[思路导引] 既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．
[解析] (1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.
(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，
∴A∩B＝{2}．选A.
[答案] (1)A (2)A
求集合交集的2个注意点
(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．
[针对训练]
3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1}
C．{0,3} D．{3}
[解析] ∵A＝{0,1,2,3}，
B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，
∴A∩B＝{0,3}．
[答案] C
4．设A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.
[解析] A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}
＝，
解方程组得
∴A∩B＝{(2，－2)}．
[答案] {(2，－2)}
题型三由集合的并集、交集求参数
【典例3】 (1)设集合A＝{x|－1(2)已知集合A＝{x|－3[思路导引] (1)画出数轴求解．(2)若A∪B＝A，则B?A；若A∩B＝A，则A?B.
[解] (1)如下图所示，
由A∪B＝{x|－1(2)∵A∪B＝A，∴B?A.
若B＝?，则2－k>2k－1，得k<1；
若B≠?，则解得1≤k≤.
综上所述，k≤.
[变式] 本例(2)若将“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解] ∵A∩B＝A，∴A?B.
∴解得k≥5.
由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点
(1)策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A?B，A∪B＝B转化为A?B.
(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
(3)注意点：当题目条件中出现B?A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝?的情况．
[针对训练]
5．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．
[解] ∵M∩N＝{3}，∴3∈M,3∈N.
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4，
当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与元素的互异性矛盾．所以a≠－1.
当a＝4时，N＝{－1,4,3}，适合题意．
综上，a＝4.
6．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
[解] 由已知得A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B?A，
∴集合B有两种情况：B＝?或B≠?.
①当B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实根．∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
②当B≠?时，若Δ＝0，则有a＝4，此时B＝{2}?A满足条件；若Δ>0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的两根，但由根与系数的关系知矛盾，∴Δ>0不成立，∴当B≠?时，a＝4.
综上可知，a的取值范围是{a|a≥4}.
课堂归纳小结
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有
公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.
1．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
[解析] 因为A∩C＝{1,2}，所以(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，选D.
[答案] D
2．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{x|0≤x≤3} D．{x|0≤x<3}
[解析] 由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，
故P∩M＝{0,1,2}．
[答案] B
3．已知集合A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
[解析] ∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－[答案] B
4．设集合M＝{x|－3≤x<7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________．
[解析] 因为N＝{x|2x＋k≤0}＝，
且M∩N≠?，所以－≥－3?k≤6.
[答案] k≤6
5．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解] (1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)∵M∩N＝M，∴M?N.∵M＝{2}，∴2∈N.
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
由(1)知，M∩N＝{2}＝M，
适合题意，故m＝2.
课后作业(四)
复习巩固
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0[解析] 借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
[答案] A
2．若集合A＝{x|－5A．{x|－3C．{x|－3[解析] 由交集的定义知A∩B＝{x|－5[答案] A
3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
[解析] 注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
[答案] A
4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{1,2} B．{1,5}
C．{2,5} D．{1,2,5}
[解析] ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，
∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.
[答案] D
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1[解析] ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x
可知a>－1.
[答案] C
二、填空题
6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A的个数为________．
[解析] 由{0,1}∪A＝{0,1,2}可知A＝{2}或A＝{0,2}或A＝{1,2}或A＝{0,1,2}，共4个．
[答案] 4
7．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．
[解析] 集合A的含义是被3除余2的正整数组成的集合，在集合B中，8,14被3除余2，故A∩B＝{8,14}，其中有2个元素．
[答案] 2
8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1[解析] 由A∩B＝B得B?A.
①当B＝?时，即m＋1≥2m－1，解得m≤2.
②当B≠?时，解得2综上可知，m的取值范围是m≤4.
[答案] m≤4
三、解答题
9．已知集合A＝{x|－2(1)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|－2又A∩B＝?，∴m≤－2.
(2)∵A＝{x|－2由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4.
10．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
[解] ∵A∪B＝A，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
综合运用
11．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|aA．－3C．a≤－3或a>－1 D．a<－3或a>－1
[解析] 在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得解得－3
[答案] A
12．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是( )
A．t<－3 B．t≤－3
C．t>3 D．t≥3
[解析] 因为B＝{y|y≤t}，又因为A∩B＝?，且A＝{x|－3≤x≤3}，所以t<－3.
[答案] A
13．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1[解析] ∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.
[答案] －1 2
14．高一某班60名同学参加跳远和铅球测试，及格人数分别为40人和31人，这两项均不及格的人数有4人，则两项都及格的人数为________．
[解析] 设所求人数为x，则由题意知(40＋31)－x＋4＝60，解得x＝15.
[答案] 15
15．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}．
(1)若A∩B＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A?(A∩B)，求实数a的取值范围．
[解] (1)若A＝?，则A∩B＝?成立．
此时2a＋1>3a－5，即a<6.
若A≠?，如图：
则解得6≤a≤7.
经检验a＝6，a＝7符合题意．
综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是a≤7.
(2)因为A?(A∩B)，所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a<6.
若A≠?，如图，
则或
由解得a无解；
由解得a>.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是a<6或a>.
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(共28张PPT)
第2课时 补集及集合运算的综合应用
1．理解全集、补集的概念．
2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．
3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
2．补集
温馨提示：?UA的三层含义：
(1)?UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
(1)集合A，B，U有何关系？
(2)B中元素与U和A有何关系？
[答案] (1)U＝A∪B
(2)B中的元素在U中，不在A中
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集是由任何元素组成的集合．( )
(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )
(3)集合?BC与?AC相等．( )
(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
题型一补集的运算
【典例1】 (1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________________；
(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________.
[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．
[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．
(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[针对训练]
1．设全集U＝R，集合A＝{x|2
[解析] 用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴?UA＝{x|x≤2或x>5}．
[答案] {x|x≤2或x>5}
2．设U＝{x|－5≤x<－2或2[解析] 解法一：在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
解法二：可用Venn图表示．
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
[答案] {－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
题型二交集、并集、补集的综合运算
【典例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2
解决集合交、并、补运算的2个技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[针对训练]
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
[解析] ∵S＝{x|x>－2}，∴?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
∴(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．
[答案] C
4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解析] 由题意知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
又?RA＝{x|x<3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2[答案] {x|x≤2或x≥10} {x|2题型三利用集合间的关系求参数
【典例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．
[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
[变式] (1)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B≠?”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
(2)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以?UA＝{x|x<－m}，
又(?UA)∩B≠?，所以－m>－2，解得m<2.
(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，
?UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又(?UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
利用集合关系求参数的2个注意点
(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
[针对训练]
5．已知集合A＝{x|x(1)若A∪(?RB)＝R，求实数a的取值范围；
(2)若A(?RB)，求实数a的取值范围．
[解]
(1)∵B＝{x|1∴?RB＝{x|x≤1或x≥3}，
因而要使A∪(?RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.
(2)∵A＝{x|x要使A(?RB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.
课堂归纳小结
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两
个概念．
(3)?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合
?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，
∴?U(A∪B)＝{x|0[答案] D
2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(?UB)∩A＝( )
A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}
C．{1,2} D．{1,2,3}
[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(?UB)∩A＝{1,2}．
[答案] C
3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(?UA)∩(?UB)＝( )
A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}
C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}
[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴?UA＝{0,2,4,5,6,8}，?UB＝{0,1,4,5,6,7}，
∴(?UA)∩(?UB)＝{0,4,5,6}．
[答案] C
4．全集U＝{x|0[解析] ?UA＝{x|5≤x<10}，如图所示．
[答案] {x|5≤x<10}
5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且?UA＝{5}，求实数a的值．
[解] ∵?UA＝{5}，∴5∈U，但5?A，
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3，
这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．
∴?UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.
当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A?U，∴?UA无意义，故a＝－4应舍去．
综上所述，a＝2.
课内拓展 课外探究
空集对集合关系的影响
空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．
空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了?，故将会出现???.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．
空集是任何非空集合的真子集，即?A(而A≠?)．既然A≠?，即必存在a∈A而a??，∴?A.
由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A?B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“???”等结论．
在解决诸如A?B或AB类问题时，必须优先考虑A＝?时是否满足题意．
【典例1】 已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B?A的a的值组成的集合．
[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．
(1)若B＝?，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，
解得a<－4或a>4.此时B?A.
(2)若B≠?，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．
①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，
∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.
解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；
当a＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a＝4时，B?A.
②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，
∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ>0，舍去．
③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．
∴当a＝－2时，B?A.
综上所述，满足B?A的a值组成的集合是{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．
[点评] ?有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A∩?＝?；(2)对于任意集合A，皆有A∪?＝A.正因如此，如果A∩B＝?，就要考虑集合A或B可能是?；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是?.
【典例2】 设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1[解] 根据题意可知：N≠?，又∵N?(?UM)．
①当M＝?，即3a－1≥2a时，a≥1.
此时?UM＝R，N?(?UM)显然成立．
②当M≠?，即3a－1<2a时，a<1.
由M＝{x|3a－1又∵N?(?UM)，∴结合数轴分析可知或得a≤－.
综上可知，a的取值集合为.
[点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．
课后作业(五)
复习巩固
一、选择题
1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则?UP等于( )
A．{x|x<－2或x≥3}
B．{x|x<－2或x>3}
C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x≤－2且x≥3}
[解析] 由P＝{x|－2≤x<3}得，?UP＝{x|x<－2或x≥3}．故选A.
[答案] A
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1[解析] ∵B＝{x|x<1}，∴?RB＝{x|x≥1}．
∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
[答案] D
3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于( )
A．0或2 B．0
C．1或2 D．2
[解析] 由题意，知则a＝2.
[答案] D
4．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1}
B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1D．{x|x<2}
[解析] 阴影部分表示的集合为N∩(?UM)＝{x|－2≤x<1}，故选A.
[答案] A
5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若
?UM＝{－1,1}，则实数p＋q的值为( )
A．－1 B．－5
C．5 D．1
[解析] 由已知可得M＝{2,3}，
则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根，
则p＝－(2＋3)＝－5，q＝2×3＝6.
故p＋q＝－5＋6＝1.故选D.
[答案] D
二、填空题
6．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3[解析] 借助数轴得?UA＝{x|x＝－3或x>4}．
[答案] {x|x＝－3或x>4}
7．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为________．
[解析] 由U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，
得?UA＝{0,4}，因为B＝{2,4}，
所以(?UA)∪B＝{0,2,4}．
[答案] {0,2,4}
8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
[解析] ∵U＝{0,1,2,3}，?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
[答案] －3
三、解答题
9．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，(?RA)∪(?RB)．
[解] A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，?RA＝{x|x<－5或x>3}，?RB＝{x|－2≤x≤4}．
∴(?RA)∪(?RB)＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}＝{x|x<－5或x≥－2}．
10．已知集合A＝{x|2a－2[解] ?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?，因为A?RB，
所以分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，所以a≥2.
②若A≠?，则有或
所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.
综合运用
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{x|3C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}
[解析] ∵?UA＝{x|x<－2或x>3}，?UB＝{x|－2≤x≤4}，∴(?UA)∩(?UB)＝{x|3[答案] A
12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N等于( )
A．M B．N
C．I D．?
[解析] 因为N∩(?IM)＝?，所以N?M(如图)，所以M∪N＝M.
[答案] A
13．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(?UB)＝A，则?UB＝__________________.
[解析] 因为B∪(?UB)＝A，所以A＝U.
①当x2＝3时，x＝±，B＝{1,3}，?UB＝{}或{－}．
②当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，?UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．
[答案] {－}或{}或{3}
14．已知R为实数集，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?RA)＝R，B∩(?RA)＝{x|0[解析]
∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(?RA)＝R，A∪(?RA)＝R，可得A?B.
而B∩(?RA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴可得B＝A∪{x|0[答案] {x|015．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3(1)求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
[解] (1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3因为A＝{x|2≤x<7}，所以?RA＝{x|x<2或x≥7}，
则(?RA)∩B＝{x|7≤x<10}．
(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x所以a>2，所以a的取值范围是{a|a>2}．
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