(共31张PPT)
1．4.1 充分条件与必要条件
1．理解充分、必要条件的概念．
2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件．
1．命题及相关概念
2．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．
(2)不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”．
1．“对角线相等的平行四边形是矩形”
(1)这个命题是真命题吗？
(2)将命题改写为“若p，则q”的形式．
(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．
[答案] (1)是真命题 (2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形 (3)充分条件
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．( )
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(3)若q是p的必要条件，则由p推出的结论q是不唯一的．( )
(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一充分、必要条件的概念及语言表述
【典例1】 将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：
(1)两个全等三角形的对应高相等；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．
(1)对充分、必要条件的理解
①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．
②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．
(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤
第一步：分析定理的条件和结论；
第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；
第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．
[针对训练]
1．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述：
(1)对顶角相等；
(2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同．
[解] (1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件．
(2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件.
题型二充分条件、必要条件的判定
【典例2】 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．
[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．
[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．
充分、必要条件的判断方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p?q和q?p是否成立，最后得出结论．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p?q，只是说法不同而已．
[针对训练]
2．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．
(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
(2)设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；
(3)已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0.
[解析] (1)当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p?q，所以p是q的充分条件．
(2)由a＋b>0不一定能推出ab>0，故p不是q的充分条件．
(3)因为a>b>1?a2>b2>0，所以p是q的充分条件．
[答案] (1)(3)
3．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
[解析] (1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要条件．
(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，
∴q不是p的必要条件．
(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，
∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，解得m<－.
∵m<－2?m<－，∴q是p的必要条件．
[答案] (1)(3)
题型三充分条件、必要条件与集合的关系
【典例3】 (1)已知p：关于x的不等式
(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
[思路导引] p是q的充分条件转化为对应集合A?集合B，q是p的必要条件转化为集合A?集合B.
[解] (1)记A＝，B＝{x|0若p是q的充分条件，则A?B.
注意到B＝{x|0①若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
②若A≠?，即<，解得m>0，
要使A?B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)由已知可得
A＝＝，
B＝{x|x≥－2m}．
因为q是p的必要条件，所以p?q，所以A?B，
所以－2m≤－，所以m≥，即m的取值范围是.
[变式] 本例(1)中若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] 记A＝，B＝{x|0应有解得m≥3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≥3}．
(1)利用充分、必要条件求参数的思路
根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A?B，则p是q的充分条件；若B?A，则p是q的必要条件．
[针对训练]
4．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．
[解] 解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B?A.
当－＝2时，m＝－；当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
课堂归纳小结
1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．
2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，
则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．
3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.
1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
[解析] 因为a＝2?(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.
[答案] A
2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[解析] 因为x>2?x>1，所以选A.
[答案] A
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
[解析] A中，x2>0?x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0?x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0?x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0?xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|?a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b?|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1?x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.
[答案] B
4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．
[答案] 不必要(填必要、不必要)
5．(1)若“x2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．
(2)已知M＝{x|a－1[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x由题意可得B?A，即{x|x2或x<1}．
所以m≤1.故m的取值范围为{m|m≤1}．
(2)因为N是M的必要条件，所以M?N.
于是从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}．
课后作业(六)
复习巩固
一、选择题
1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是菱形
[解析] 命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
[答案] C
2．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分又不必要条件 D．无法判断
[解析] 这句话的意思中，“好人”?“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.
[答案] A
3．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] 因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
[答案] B
4．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“<”是“aD．“a2[解析] 因为a＝b?ac＝bc，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．
[答案] B
5．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[解析] 当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p?q；当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件．
[答案] A
二、填空题
6．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若q是p的必要条件，则a的取值范围是________．
[解析] 由题意可得条件p：x>1，若q是p的必要条件，则p?q，也就是说p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤1.
[答案] a≤1
7．设x，y∈R，那么“x>y>0”是“>1”的________条件(填“充分”或“必要”)．
[解析] x>y>0?>1，而由>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足>1，但－5<－4，即xy>0.
故x>y>0是>1的充分条件．
[答案] 充分
8．记A＝{x|－3a}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
[解析] 由题意可得A?B.故a≤－3.
[答案] a≤－3
三、解答题
9．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.
(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．
[解] (1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．
(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．
10．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根．
[解] (1)∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要条件．
(2)∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要条件．
(3)∵x＝1或x＝2?x－1＝，x－1＝?x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件又是q的必要条件．
(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－.
∵m<－1?m<－，而m<－推不出m<－1，
∴p是q的充分条件．
综合运用
11．可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是( )
A．m< B．m<
C．m<－ D．m<－
[解析] 由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m<是m≤的必要条件，故选A.
[答案] A
12．下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是( )
A．a≤0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
[解析] 因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．所以即解得a<0.选项中只有a<－1?a<0，故选C.
[答案] C
13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．
(1)a，b都为0的必要条件是________；
(2)使a，b都不为0的充分条件是________．
[解析] ①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
[答案] (1)①② (2)③
14．已知p：3x＋m<0，q：x<－1或x>3，若p是q的一个充分条件，则m的取值范围是________．
[解析] 由3x＋m<0，得x<－.
记A＝，∴p：A＝.
记B＝{x|x<－1或x>3}，∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p是q的一个充分条件，∴p?q，∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是m≥3.
[答案] m≥3
15．已知p：(x－3)(x＋1)<0，若－a0)是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．
[解] 由(x－3)(x＋1)<0，得或
解得－1由－a因为－a0)是p的一个必要条件，
所以{x|－10)．
所以解得a≥2.
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2.
1
(共29张PPT)
1．4.2 充要条件
1．掌握充分条件、必要条件与充要条件的判断方法．
2．能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件．
3．会对某些命题的充要条件进行证明．
充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，记作p?q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．
温馨提示：(1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p?q，则p是q的充要条件．
③若p?q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．
④若pq，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(2)“?”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
1．通常我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，即“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的什么条件，你还能写出“四边形是平行四边形”的其他充要条件吗？
[答案] 充要条件 两组对边分别相等的四边形、对角线互相平分的四边形等
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )
(2)符号“?”具有传递性．( )
(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )
(4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
题型一充要条件的判断
【典例1】 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(2)若a，b∈R，p＝a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
[思路导引] 判断是否p?q，q?p.
[解] (1)因为a＋5是无理数?a是无理数，并且a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(2)因为a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(3)因为A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
[变式] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
[解] 作出“?”图，如右图所示，
可知：p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s?r?q，q?s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q.
判断p是q的充分必要条件的2种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立．
(2)集合角度：当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B.
①若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
②若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p，q互为充要条件．
④若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
此外，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．
[针对训练]
1．指出下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；
(2)已知实数a，b，p：a>0且b>0，q：a＋b>0且ab>0；
(3)p：q：
[解] (1)因为A∪B＝A?B?A，而A∩B＝B?B?A，
所以A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件．
(2)由a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，并且由a＋b>0且ab>0?a>0且b>0，所以p是q的充要条件．
(3)由根据不等式的性质可得
即p?q，而由不能推出
如：α＝1，β＝5满足但不满足α>2.
所以p是q的充分不必要条件.
题型二充要条件的证明
【典例2】 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
[思路导引] 从充分性、必要性两方面证明．
[证明] ①充分性：
∵a＋b＝1，∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
充要条件的证明
证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”?“结论”，必要性需要证明“结论”?“条件”．
[针对训练]
2．已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．
[证明] 因为a2－b2＝1，
所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.
即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．
另一方面，若a4－b4－2b2＝1，
即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，
(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.
又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件.
题型三探求充要条件
【典例3】 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[思路导引] 至少有一个负根可能是一个负根也可能是两个负根，需要分类讨论．
[解] ①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．
②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为
?a<0；
(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为
?0综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.
探求充要条件的2种方法
(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
[针对训练]
3．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
[解] 方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：
??
??k<－2.
所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是k<－2.
课堂归纳小结
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p
证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
1．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为x<－1?|x|>1，而|x|>1?x<－1或x>1，故“x<－1”是“|x|>1”的充分不必要条件．
[答案] A
2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
[答案] B
3．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件
[解析] 由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．
[答案] D
4．关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________．
[解析] 由题意知|x|>a恒成立，∵|x|≥0，∴a<0.
[答案] a<0
5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
[证明] 证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
②必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
证法二：由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以0，
即<的充要条件是xy>0.
课后作业(七)
复习巩固
一、选择题
1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．
[答案] B
2．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．
[答案] A
3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
[解析] 函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A.
[答案] A
4．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．
[答案] B
5．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．
[答案] B
二、填空题
6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
[答案] 充要
7．如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．
[解析] 由题意可知：1≤x≤2?x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.
[答案] 2
8．下列命题中是真命题的是________(填序号)．
①x>2且y>3是x＋y>5的充要条件；
②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；
③b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件；
④三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．
[解析] ①因为由x>2且y>3?x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．②因为由x>1?|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为?)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理?此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形?该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．
[答案] ②④
三、解答题
9．已知p：0[解] 设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，
则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于
因此，p是q的充要条件．
10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
[解] ?
??
所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.
综合运用
11．“a>b”是“a>|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a>b，不如令a＝1，b＝－2，则a>|b|不成立，所以充分性不成立，若a>|b|，则有a>b，所以“a>b”是“a>|b|”的必要不充分条件．
[答案] B
12．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
[解析] 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图．综上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
[答案] A
13．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
[解析] |x－1|<2?－1[答案] 必要不充分
14．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴，解得0≤a≤.
[答案]
15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
[证明] ①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
两式相减，可得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，
故A＝90°.
②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.
将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，
将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
1
