(共30张PPT)
1．5.1 全称量词与存在量词
1．能够记住全称量词和存在量词的概念．
2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．
3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
1．x>是命题吗？对任意的x∈R，x>是命题吗？
[答案] x>不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>则是命题
2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？
[答案] 命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( )
(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．( )
(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( )
(4)内错角相等是全称量词命题．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一全称量词命题与存在量词命题
【典例1】 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的内角和等于360°；
(2)有的力的方向不定；
(3)矩形的对角线不相等；
(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．
[思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[针对训练]
1．用全称量词或存在量词表示下列语句
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)方程3x－2y＝10有整数解；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解] (1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.
题型二判断全称量词命题的真
【典例2】 判断下列全称量词命题的真假．
(1)任意实数的平方均为正数．
(2)函数y＝kx＋b为一次函数．
(3)同弧所对的圆周角相等．
(4)?x∈R，x2＋3≥3.
[解] (1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．
(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．
(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．
(4)真命题．?x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．
判断全称量词命题真假的方法
要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
[针对训练]
2．判断下列全称量词命题的真假．
(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．
(2)末位是零的整数，可以被5整除．
(3)?x∈R，有|x＋1|>1.
[解] (1)因为是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“?x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．
题型三存在量词命题真假的判断
【典例3】 判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)?x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
[解] (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x2＋2>0”是假命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
判断存在量词命题真假的方法
判断存在量词命题“?x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
[针对训练]
3．判断下列存在量词命题的真假．
(1)有些二次方程只有一个实根．
(2)某些平行四边形是菱形．
(3)存在实数x1、x2，当x1
x.
[解] (1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．
(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
(3)当x1＝－2，x2＝1时有x>x，故“存在实数x1、x2，当x1x”为真命题.
题型四含有量词的命题的应用
【典例4】 已知命题“?1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．
[解] ∵“?1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.
∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式] 若把本例中的“?”改为“?”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解] ∵“?1≤x≤2，x2－m≥0”成立，
∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．
又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，
∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.
∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
求参数范围的2类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[针对训练]
4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
[解] 不等式m＋x2－2x＋5>0可化为
m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．
[解] 不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
课堂归纳小结
1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合
内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．
3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.
1．下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．一定存在没有最大值的二次函数
[解析] D选项是存在量词命题．
[答案] D
2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．
[答案] B
3．下列命题是“?x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
[解析] “?x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．
[答案] C
4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.
[答案] a≤8
5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．
(1)?x∈R，|x|＋2≤0；
(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．
[解] (1)存在量词命题．
∵?x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，
使|x|＋2≤0.故命题为假命题．
(2)存在量词命题．
∵x2＋x＋8＝2＋>0，∴命题为假命题．
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．
课后作业(八)
复习巩固
一、选择题
1．下列量词是全称量词的是( )
A．至少有一个 B．存在
C．都是 D．有些
[答案] C
2．下列命题：
①中国公民都有受教育的权利；
②每一个中学生都要接受爱国主义教育；
③有人既能写小说，也能搞发明创造；
④任何一个数除0，都等于0.
其中全称量词命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案] C
3．下列命题是存在量词命题的是( )
A．一次函数的图象都是上升的或下降的
B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0
C．存在实数大于或者等于3
D．菱形的对角线互相垂直
[解析] 选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．
[答案] C
4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )
A．?x∈R，x2>0 B．?x，y∈R，x2＋y2>0
C．?x∈Q，x2∈Q D．?x∈Z，使x2>1
[解析] 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．
[答案] C
5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[解析] 只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
[答案] A
二、填空题
6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“?”或“?”符号表示为________________．
[解析] 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“?”符号可以表示为?x≤0，x3≤0.
[答案] ?x≤0，x3≤0
7．给出下列四个命题：
①y＝?xy＝1；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．
其中全称量词命题是________．
[解析] ①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．
[答案] ①②④
8．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
[解析] ①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．
[答案] 0
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的对角线互相垂直平分；
(3)三角形的两边之和大于第三边；
(4)有些素数是奇数．
[解] (1)存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．
(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．
(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．
10．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
[解] (1)?x∈R，使x2＋x＋1>0；真命题．
(2)?a，b∈R，使ax＋b＝0恰有一解；假命题．如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．
(3)?x，y∈Z，使3x－2y＝10；真命题．
(4)?x∈Q，使x2＋x＋1是有理数；真命题．
综合运用
11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，＝x
D．平面内，不相交的两条直线是平行直线
[解析] A中的命题是全称量词命题，但是a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命题；B中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C中的命题是全称量词命题，但＝|x|，故是假命题；很明显D中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.
[答案] D
12．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是( )
A．?x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
B．?x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
C．?x∈R，ax2－bx≥ax－bx0
D．?x∈R，ax2－bx≤ax－bx0
[解析] 由于a>0，令函数y＝ax2－bx＝a2－，故此函数图象的开口向上，且当x＝时，取得最小值－，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝，故?x∈R，ax2－bx≥ax－bx0，故选C.
[答案] C
13．已知函数y＝x2＋bx＋c，则“c<0”是“?x0∈R，使x＋bx0＋c<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ?x0∈R，使x＋bx0＋c<0的充要条件是x＋bx0＋c<0有解，即b2－4c>0,4c[答案] A
14．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
[解析] 依题意，得
即∴a<－1.
[答案] {a|a<－1}
15．已知命题“?x∈R,2x＋(a－1)x＋≤0”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] 由题意可得“对?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1
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(共19张PPT)
1．5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系．
2．能正确对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，綈p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，綈p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
1．对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？
[答案] 两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．( )
(2)?x∈M，使x具有性质p(x)与?x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反．( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( )
(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
题型一全称量词命题的否定
【典例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
[解] (1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．
(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．
(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．
(1)对全称量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(?)存在量词(?)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．
(2)全称量词命题否定后的真假判断方法
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．
[针对训练]
1．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)?x∈R，|x|≥x；
(3)?x∈R＋，为正数．
[解] (1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．
(2)原命题的否定为“?x∈R，使|x|(3)原命题的否定为“?x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题.
题型二存在量词命题的否定
【典例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是60°；
(3)?x∈R，使得|x＋1|≤1.
[解] (1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
(2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，有|x＋1|>1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|>1.
(1)对存在量词命题否定的两个步骤
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(?)全称量词(?)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
(2)存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
[针对训练]
2．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
课堂归纳小结
1．写出一个含有量词的命题的否定，一般分二步：一是改量词，二是否结论.
2.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意到一个命题和命题的否定一真一假.
1．命题“?x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( )
A．?x∈R，x2－2x－3≤0
B．?x∈R，x2－2x－3≥0
C．?x0∈R，x2－2x－3>0
D．?x∈R，x2－2x－3>0
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
[答案] D
2．已知命题p：?x>0，x2≥2，则它的否定为( )
A．?x>0，x2<2 B．?x≤0，x2<2
C．?x≤0，x2<2 D．?x>0，x2<2
[答案] D
3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.
[答案] C
4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )
A．p：?x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：?x≥3，x2－2x－3<0
B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆
C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：?x∈R，x2＋2x＋2>0
[解析] 若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
[答案] C
5．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)菱形是平行四边形；
(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．
(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．
(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．
(4)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋1>0”，这个命题为真命题．因为x2＋x＋1＝x2＋x＋＋＝2＋>0.
课后作业(九)
复习巩固
一、选择题
1．命题“?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( )
A．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．?x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．?x∈Z，使x2＋2x＋m>0
[解析] 存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.
[答案] D
2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
[解析] 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.
[答案] C
3．已知命题p：?x>0，x＋≥2，则它的否定为( )
A．?x>0，x＋<2 B．?x≤0，x＋<2
C．?x≤0，x＋<2 D．?x>0，x＋<2
[答案] D
4．命题“?m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是( )
A．?m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.
[答案] C
5．下列四个命题中，真命题是( )
A．?x∈R，x＋≥2 B．?x∈R，x2－x>5
C．?x∈R，|x＋1|<0 D．?x∈R，|x＋1|>0
[解析] 选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．命题p：?x∈R，x2＋3x＋2<0，则命题p的否定为________．
[解析] 命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是?x∈R，x2＋3x＋2≥0.
[答案] ?x∈R，x2＋3x＋2≥0
7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．
[解析] 该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．
[答案] 任意一个三角形都有外接圆
8．由命题“?x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 因为命题“?x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.
[答案]
三、解答题
9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)?x>1，使x2－2x－3＝0.
[解] (1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．
(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1(4)这个命题的否定为“?x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
10．已知命题“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
[解] 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“?x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0，或即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．
综合运用
11．设命题p：?n∈N，n2>2n，则p的否定为( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
[解析] 因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命题“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”，故选C.
[答案] C
12．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*，使得nB．?x∈R，?n∈N*，使得nC．?x∈R，?n∈N*，使得nD．?x∈R，?n∈N*，使得n[解析] 由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n[答案] D
13．命题：存在一个实数对，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是
_______________________________________________________.
[答案] 对任意实数，2x＋3y＋3≥0恒成立
14．给出下列命题：
①?x∈R，x2>0；
②?x∈R，x2＋x＋1≤0；
③?x<3，函数y＝有意义；
④?a∈?RQ，b∈?RQ，使得a＋b∈Q.
其中是真命题的个数为________．
[解析] ①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．
[答案] 1
15．命题p：?x∈R，>0的否定为____________________．
[答案] ?x∈R，≤0或无意义
16．已知p：≤2，q：{x|－m≤x－1≤m，(m＞0)}，且p的否定是q的否定的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] 由q得1－m≤x≤1＋m，
∴q的否定为：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．
由≤2，解得－2≤x≤10，
∴p的否定为：B＝{x|x＞10或x＜－2}．
∵p的否定是q的否定的必要不充分条件．
∴AB，∴
或
即m≥9或m＞9，∴实数m的取值范围是m≥9.
1
