8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课标要求
素养要求
借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
观察你所在的教室.
问题 (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？
(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？
(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？
(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？
提示 (1)平行. (2)平行. (3)二者是异面直线. (4)平行.
1.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和画法
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
(2)空间中直线与直线的位置关系
位置关系
是否在同一平面内
公共点个数
共面直线
相交直线
是
1
平行直线
是
0
异面直线
否
0
2.空间中直线与平面的位置关系
线线、线面、面面位置关系的分类标准都是交点个数
位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有无数个公共点
a?α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线与平面平行
没有公共点
a∥α
3.空间中平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两个平面平行
α∥β
没有公共点
两个平面相交
α∩β＝l
有一条公共直线
教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)
2.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(×)
3.如果直线a，b满足a∥平面α，b∥平面α，那么a∥b.(×)
4.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.(√)
5.若直线a与直线b异面，直线b与直线c异面，则a与c异面.(×)
提示 1.直线l与平面α也可能相交.
2.这两个平面也可能相交.
3.直线a和b可能平行、相交，也可能异面.
5.直线a与c可能异面、相交、平行.
[微训练]
1.不平行的两条直线的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.无法判断
答案 C
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( )
A.SB B.SC C.BC D.AB
答案 C
3.若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析 在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有唯一一条.
答案 D
[微思考]
1.分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？
提示 分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.
2.直线l在平面α外，则l与平面α就没有公共点吗？
提示 不一定.直线l在平面α外包括两种情况，当直线l与平面α平行时没有公共点；当直线l与平面α相交时有一个公共点.
题型一 空间中两直线位置关系的判定
【例1】 如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
解析 如题干图①中，GH∥MN.
图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面.
图③中，连接GM，GM∥HN，因此，GH与MN共面.
图④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面.
所以图②，④中GH与MN异面.
答案 ②④
规律方法 判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α，B∈α，B?l，l?α则AB与l是异面直线(如图).
【训练1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.
解析
序号
结论
理由
(1)
平行
因为A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C
(2)
异面
A1B与B1C不同在任何一个平面内
(3)
相交
D1D∩D1C＝D1
(4)
异面
AB与B1C不同在任何一个平面内
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
题型二 直线与平面的位置关系
【例2】 下列说法中，正确的有( )
①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
答案 B
规律方法 直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.
另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【训练2】 下列命题中，正确的命题是( )
A.若a∥α，α∥β，则a∥β
B.若a∥α，b?α，则a∥b
C.若a?α，则a与α有无数个公共点
D.若a?α，则a与α没有公共点
解析 对于A，a∥β或a?β，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错.
答案 C
题型三 平面与平面的位置关系
【例3】 以下四个命题中，正确的命题有( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A.③④ B.②③④
C.②④ D.①④
解析 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
答案 A
规律方法 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
【训练3】 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直
解析 根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
答案 C
一、素养落地
1.通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
3.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
4.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.
二、素养训练
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
答案 D
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
答案 B
3.下列命题中，正确的有( )
①都与同一直线相交的两条直线相交；②都与同一个平面相交的两个平面相交；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①中，可能相交、平行、异面；②中，可能是相交或平行，故②错误.
答案 B
4.一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由.
解
这条直线与平面相交.如图，设A∈l，A∈α，B?α，B∈l，因为A∈l，A∈α，即直线l与平面α有公共点，所以直线l与平面α不平行.假设直线l与平面α不相交，则l?α，又B∈l，l?α，所以B∈α，这与题设B?α矛盾，所以l?α，所以直线l与平面α相交.
基础达标
一、选择题
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
答案 D
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
解析 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
答案 D
3.两平面α，β平行，a?α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.
答案 B
4.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线均与a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线均与a相交
D.直线a与平面α有公共点
解析 若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a?α，故D项正确.
答案 D
5.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A.都平行
B.都相交
C.在两个平面内
D.至少与其中一个平面平行
解析 一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行.
答案 D
二、填空题
6.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.
解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.
答案 8
7.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
解析 对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
答案 ①②
8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线.
解析 空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.
答案 ①
三、解答题
9.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解 还原的正方体如图所示：
根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的位置关系并证明你的结论.
解 a∥b，a∥β.证明如下：
由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，
∴a，b无公共点.
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b.
∵α∥β，∴α与β无公共点.
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β.
能力提升
11.已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交.
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上).
解析 ①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a?α，b?β，∴a与b无公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与β也可能平行.
答案 ③④
12.如图，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明.
解 在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面.∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF?平面AEF，NB?平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线.
在图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内.
又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线.
创新猜想
13.(多选题)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中( )
A.CD∥GH B.AB与EF异面
C.AD∥EF D.AB与CD相交
解析 把展开图还原成正方体，如图所示.由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD相交，故选A，B，D.
答案 ABD
14.(多选题)以下四个命题正确的是( )
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解析 A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故选A，C.
答案 AC
课件31张PPT。8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系教材知识探究观察你所在的教室.问题 (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？
(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？
(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？
(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？
提示 (1)平行. (2)平行. (3)二者是异面直线. (4)平行.1.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和画法不同在任何一个平面内异面直线是“不同在任何一个平面内的直线”，不是“在两个平面内的直线”①定义：_____________________的两条直线叫做异面直线.
②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个______衬托.平面(2)空间中直线与直线的位置关系是否2.空间中直线与平面的位置关系线线、线面、面面位置关系的分类标准都是交点个数无数有且只有一个a∩α＝Aa∥α3.空间中平面与平面的位置关系α∥βα∩β＝l教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( )
2.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.( )
3.如果直线a，b满足a∥平面α，b∥平面α，那么a∥b.( )
4.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.( )
5.若直线a与直线b异面，直线b与直线c异面，则a与c异面.( )×××√×提示 1.直线l与平面α也可能相交.
2.这两个平面也可能相交.
3.直线a和b可能平行、相交，也可能异面.
5.直线a与c可能异面、相交、平行.[微训练]
1.不平行的两条直线的位置关系是( )A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.无法判断
答案 C2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( )A.SB B.SC
C.BC D.AB
答案 C3.若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析 在β中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在β内的与a平行的直线只有唯一一条.
答案 D[微思考]
1.分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？提示 分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.2.直线l在平面α外，则l与平面α就没有公共点吗？提示 不一定.直线l在平面α外包括两种情况，当直线l与平面α平行时没有公共点；当直线l与平面α相交时有一个公共点.题型一 空间中两直线位置关系的判定
【例1】 如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).解析 如题干图①中，GH∥MN.
图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面.
图③中，连接GM，GM∥HN，因此，GH与MN共面.
图④中，G，M，N三点共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面.
所以图②，④中GH与MN异面.
答案 ②④规律方法 判定两条直线是异面直线的方法
(1)证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α，B∈α，B?l，l?α则AB与l是异面直线(如图).【训练1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.解析 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面题型二 直线与平面的位置关系
【例2】 下列说法中，正确的有( )①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；
②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误.
答案 B规律方法 直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.
另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.【训练2】 下列命题中，正确的命题是( )A.若a∥α，α∥β，则a∥β
B.若a∥α，b?α，则a∥b
C.若a?α，则a与α有无数个公共点
D.若a?α，则a与α没有公共点
解析 对于A，a∥β或a?β，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错.
答案 C题型三 平面与平面的位置关系
【例3】 以下四个命题中，正确的命题有( )①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A.③④ B.②③④ C.②④ D.①④解析 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.
答案 A规律方法 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.【训练3】 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( )A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直
解析 根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.答案 C一、素养落地
1.通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
3.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.
4.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.二、素养训练
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
答案 D2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
解析 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
答案 B3.下列命题中，正确的有( )①都与同一直线相交的两条直线相交；②都与同一个平面相交的两个平面相交；③平行于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①中，可能相交、平行、异面；②中，可能是相交或平行，故②错误.
答案 B4.一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由.解 这条直线与平面相交.如图，设A∈l，A∈α，B?α，B∈l，因为A∈l，A∈α，即直线l与平面α有公共点，所以直线l与平面α不平行.假设直线l与平面α不相交，则l?α，又B∈l，l?α，所以B∈α，这与题设B?α矛盾，所以l?α，所以直线l与平面α相交.
