8.5.2 直线与平面平行
第一课时 直线与平面平行的判定
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明.
2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行.
在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.
问题 (1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？
提示 (1)平行.
(2)可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.
直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
图形语言
教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.(×)
2.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行.(×)
3.两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.(×)
提示 1.直线l和平面α也可能相交.
2.直线l与平面α内的任意一条直线可能平行、也可能异面.
3.另一条也可能在这个平面内.
[微训练]
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
答案 D
[微思考]
1.若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示 不一定.要强调直线在平面外.
2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
提示 平行或直线在平面内.
题型一 线面平行判定定理的理解
【例1】 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α
C.b?α D.b∥α或b?α
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
答案 D
规律方法 用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【训练1】 下列说法正确的是( )
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a与直线b不相交，直线b?α，则a∥α
D.若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
解析 A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D.
答案 D
题型二 以锥体为背景证明线面平行
【例2】 如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP.
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
规律方法 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
【训练2】 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
证明 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
题型三 以柱体为背景证明线面平行
【例3】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
证明 存在.证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE，
从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
规律方法 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线.
【训练3】 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.
证明 如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形，
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，
∴O1B1OD为平行四边形，
∴B1O∥O1D，
∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.
一、素养落地
1.通过探索发现线面平行的判定定理，培养数学抽象素养，通过应用线面平行的判定定理证明一些问题，提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.证明直线和直线平行的常用方法：(1)利用三角线、梯形的中位线性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理.
3.判断线面平行的常用方法：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，也不在平面内.
二、素养训练
1.有以下四个说法，其中正确的说法是( )
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④
解析 ③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确.
答案 D
2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN?β
C.MN∥β或MN?β
D.MN∥β或MN与β相交或MN?β
解析 若平面β是△ABC所在的平面，则MN?β.若MN?β，则MN∥β.故选C.
答案 C
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
解析 ∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
答案 平行
4.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
证明 取AB1的中点H，连接EH，HC1.
∵E为棱AB的中点，
∴EH∥BB1且EH＝BB1.
又∵D为棱CC1的中点，
∴DC1＝CC1，
又BB1∥CC1且BB1＝CC1，
∴EH∥DC1且EH＝DC1，
∴四边形EHC1D为平行四边形，∴DE∥HC1.
又∵HC1?平面AB1C1，DE?平面AB1C1，
∴DE∥平面AB1C1.
三、审题答题
示范(二) 利用线面平行的判定定理证明线面平行
【典型示例】 (12分)如图，已知OA，OB，OC交于点O，AD綉OB①，E，F分别为BC，OC的中点②，求证：DE∥平面AOC③.
联想解题
看到①想到线段AD与EF在数量与位置上的关系.
看到②想到利用三角形中位线性质.
看到③想到证明DE与平面AOC内某一条直线平行.
满分示范
证明 在△OBC中，
∵E，F分别为BC，OC的中点，∴EF綉OB.2分
又∵AD綉OB，∴EF綉AD.4分
∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF.8分
又∵AF?平面AOC，DE?平面AOC，
∴DE∥平面AOC.12分
满分心得
解答本题的关键是证明DE和平面AOC内的直线AF平行，另外应用线面平行的判定定理证明线面平行，要把定理的三个条件罗列出来，避免失分.
基础达标
一、选择题
1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是( )
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行
解析 A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选C.
答案 C
2.若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾.
答案 B
3.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
解析 设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行.
答案 D
4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
①OM∥PD；②OM∥平面PCD；
③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确.故共有3个结论正确.
答案 C
5.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A.有且只有一个 B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在 D.不存在
解析 在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.
答案 A
二、填空题
6.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________.
答案 l?α
7.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
解析 如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，
又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，
又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案 平行
8.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.
解析 ∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.
又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.
又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.
答案 平行
三、解答题
9.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD；
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.
(1)证明 设BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中点，∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC?平面POD，
OE?平面POD，
∴AC∥平面POD.
(2)解 设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9(1＋)π.
10.如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.求证：BD∥平面FGH.
证明 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点.
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
又OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
能力提升
11.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
解析 ∵＝，∴EF∥AB.又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.
答案 C
12.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，MN∥AB且MN＝AB.
又PC∥AB且PC＝AB，
所以MN綉PC，即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM?平面BCE，CN?平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
创新猜想
13.(多选题)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
解析 对于A，如图，连接BC交PN于点D，连接MD.
由MD∥AB，AB?平面MNP，MD?平面MNP，得AB∥平面MNP.
对于D，由AB∥NP，AB?平面MNP，NP?平面MNP，可得AB∥平面MNP.
答案 AD
14.(开放题)如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点，M是AD上一点，且AM＝2MD，设点N是平面ABED内一点，且MN∥平面FGH，则点N的位置是________(答案不唯一，写出一种即可).
解析 点N可以是线段BE上靠近点E的三等分点.
证明如下：连接MN，因为AM＝2MD，BN＝2NE，
所以AB∥MN，又G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB，
所以MN∥GH，又GH?平面FGH，MN?平面FGH，
所以MN∥平面FGH.
答案 N是线段BE上靠近点E的三等分点(答案不唯一)
课件27张PPT。8.5.2 直线与平面平行
第一课时 直线与平面平行的判定教材知识探究门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系.问题 (1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
(2)若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？
提示 (1)平行.
(2)可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.直线与平面平行的判定定理平面外平面内平行a?α，b?α，且a∥b教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )
2.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行.( )
3.两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.( )提示 1.直线l和平面α也可能相交.
2.直线l与平面α内的任意一条直线可能平行、也可能异面.
3.另一条也可能在这个平面内.×××[微训练]如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
答案 D[微思考]
1.若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与平面平行吗？
提示 不一定.要强调直线在平面外.
2.如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？
提示 平行或直线在平面内.题型一 线面平行判定定理的理解 此类问题“线在面内”是雷区【例1】 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )A.相交 B.b∥α
C.b?α D.b∥α或b?α
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
答案 D规律方法 用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.【训练1】 下列说法正确的是( )A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a与直线b不相交，直线b?α，则a∥α
D.若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
解析 A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D.
答案 D题型二 以锥体为背景证明线面平行 线∥线?线∥面证明 连接AN并延长交BC于P，连接SP.又MN?平面SBC，SP?平面SBC，
所以MN∥平面SBC.规律方法 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.【训练2】 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.证明 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.题型三 以柱体为背景证明线面平行
【例3】 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.证明 存在.证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，因此MD∥OE且MD＝OE，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.【训练3】 如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.规律方法 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线.证明 如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，
∵B1B∥D1D，B1B＝D1D，
∴四边形B1BDD1为平行四边形，
∴O1B1∥DO，O1B1＝DO，
∴O1B1OD为平行四边形，
∴B1O∥O1D，
∵B1O?平面A1C1D，O1D?平面A1C1D，
∴B1O∥平面A1C1D.一、素养落地
1.通过探索发现线面平行的判定定理，培养数学抽象素养，通过应用线面平行的判定定理证明一些问题，提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.证明直线和直线平行的常用方法：(1)利用三角线、梯形的中位线性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理.
3.判断线面平行的常用方法：(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，也不在平面内.二、素养训练
1.有以下四个说法，其中正确的说法是( )①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④
解析 ③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确.
答案 D2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是( )A.MN∥β
B.MN与β相交或MN?β
C.MN∥β或MN?β
D.MN∥β或MN与β相交或MN?β
解析 若平面β是△ABC所在的平面，则MN?β.若MN?β，则MN∥β.故选C.
答案 C3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.解析 ∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，
∴A1C1∥平面ACE.
答案 平行4.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.证明 取AB1的中点H，连接EH，HC1.又BB1∥CC1且BB1＝CC1，
∴EH∥DC1且EH＝DC1，
∴四边形EHC1D为平行四边形，∴DE∥HC1.
又∵HC1?平面AB1C1，DE?平面AB1C1，
∴DE∥平面AB1C1.三、审题答题
示范(二) 利用线面平行的判定定理证明线面平行【典型示例】 (12分)如图，已知OA，OB，OC交于点O，E，F分别为BC，OC的中点②，，求证：DE∥平面AOC③.联想解题
看到①想到线段AD与EF在数量与位置上的关系.看到②想到利用三角形中位线性质.看到③想到证明DE与平面AOC内某一条直线平行.满分示范∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF.8分
又∵AF?平面AOC，DE?平面AOC，
∴DE∥平面AOC.12分满分心得
解答本题的关键是证明DE和平面AOC内的直线AF平行，另外应用线面平行的判定定理证明线面平行，要把定理的三个条件罗列出来，避免失分.第二课时 直线与平面平行的性质
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明.
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
在发现、推导和应用直线与平面平行的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察每页纸和桌面的交线与书脊的位置.
问题 (1)上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？
(2)过书脊的每页纸与桌面的交线之间有何关系？
提示 (1)平行. (2)平行.
直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l∥平面α，且b?α，则l∥b.(×)
2.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(×)
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(×)
提示 1.直线l与b可能平行，也可能异面.
2.当直线在平面α内时，在平面α内存在直线与直线l平行.
3.直线a，b可能平行、异面或相交.
[微训练]
1.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
答案 B
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.异面或相交
解析 由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
答案 B
[微思考]
若直线l与平面α平行，则过直线l与平面α相交的平面有多少个？它们与平面α的交线之间有什么关系？
提示 无数个，它们的交线互相平行.
题型一 有关线面平行性质定理的证明
【例1】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明 连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
规律方法 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
【训练1】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
题型二 与线面平行性质定理有关的计算
【例2】 如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析 A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝.
又＝，所以＝，
于是EG＝＝＝.
答案
规律方法 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
(3)利用所得关系计算求值.
【训练2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
解 ∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
一、素养落地
1.通过探索发现直线和平面平行的性质定理，培养数学抽象素养，通过直线和平面平行的性质定理的应用，提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
3.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
二、素养训练
1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
解析 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
答案 A
2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )
A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG，
故选B.
答案 B
3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析 因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
答案 5
4.如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.
证明 ∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1，∴BB1∥平面CDD1C1.
又BB1?平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1.
基础达标
一、选择题
1.如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A.GH∥SA
B.GH∥SD
C.GH∥SC
D.以上均有可能
解析 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
答案 B
2.直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A.只有一条，不在平面α内
B.有无数条，不一定在α内
C.只有一条，且在平面α内
D.有无数条，一定在α内
解析 由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.
答案 C
3.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )
A.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C.如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
解析 由线面平行的性质定理知C正确.
答案 C
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
答案 A
5.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
答案 D
二、填空题
6.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是______.
解析 画图可知两直线可平行、相交或异面.
答案 平行、相交或异面
7.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN?平面PMN，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝a.
答案 a
8.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________.
解析 ∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB?平面ABC，∴EG∥AB.
同理FH∥AB，∴EG∥FH.
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，
∴GH∥CD.同理EF∥CD，
∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形.
答案 平行四边形
三、解答题
9.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
解 直线l∥平面PAC.证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l?平面PAC，EF?平面PAC，
所以l∥平面PAC.
10.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.
解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC?平面PAC，
所以PC∥OM，所以＝.
在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，
所以＝.
又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3.
能力提升
11.如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________.
解析 由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
答案 4＋6
12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
解 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
创新猜想
13. (多选题)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则( )
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC＝BD
D.M，N分别是线段DC，AD的中点
解析 由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN，故B正确.
答案 AB
14.(多填题)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中点，则m的值为________；
(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为________.
解析 (1)如图，设G是CB1上一点，连接DG，GE.
因为AE∥平面DB1C，
所以AE∥DG.
又AD∥平面CBB1C1，
所以AD∥EG，
则四边形DAEG是平行四边形.
故DA＝GE，
所以G是CB1的中点.
故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.
(2)如图，设H是CB1上一点，连接DH，HE.
因为AE∥平面DB1C，
所以AE∥DH，又AD∥BB1，
所以AD∥平面CBB1C1，
所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，
因为EH∥BB1，所以＝＝，
所以＝＝，则＝2，即m＝2.
答案 (1)1 (2)2
课件22张PPT。第二课时 直线与平面平行的性质教材知识探究将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，观察每页纸和桌面的交线与书脊的位置.问题 (1)上述问题中，书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系？
(2)过书脊的每页纸与桌面的交线之间有何关系？
提示 (1)平行. (2)平行.直线与平面平行的性质定理平行交线a?β，α∩β＝b教材拓展补遗
[微判断]
1.若直线l∥平面α，且b?α，则l∥b.( )
2.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.( )
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( )提示 1.直线l与b可能平行，也可能异面.
2.当直线在平面α内时，在平面α内存在直线与直线l平行.
3.直线a，b可能平行、异面或相交.×××[微训练]
1.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
答案 B2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.异面或相交
解析 由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
答案 B[微思考]若直线l与平面α平行，则过直线l与平面α相交的平面有多少个？它们与平面α的交线之间有什么关系？
提示 无数个，它们的交线互相平行.题型一 有关线面平行性质定理的证明 线∥面?线∥线【例1】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.规律方法 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.【训练1】 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.证明 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.题型二 与线面平行性质定理有关的计算 平行线分线段成比例是常用方法【例2】 如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析 A?a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，规律方法 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
(3)利用所得关系计算求值.【训练2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.解 ∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中点，一、素养落地
1.通过探索发现直线和平面平行的性质定理，培养数学抽象素养，通过直线和平面平行的性质定理的应用，提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
3.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.二、素养训练
1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
解析 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
答案 A2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( )A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形答案 B3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.解析 因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
答案 54.如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.证明 ∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1，∴BB1∥平面CDD1C1.
又BB1?平面BEE1B1，且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1.
