8.5.3 平面与平面平行
第一课时 平面与平面平行的判定
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明.
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行.
在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
贴瓷砖的工人在检验地面是否水平时，只需将水准器交叉放两次，若水准器的气泡都居中就能判定地面是水平的.
问题 (1)这个实例给出了判断两平面平行的一种怎样的方法？
(2)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示 (1)在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可.
(2)不一定，这两个平面也可能相交.
平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α
图形语言
教材拓展补遗
[微判断]
1.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.(×)
2.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.(√)
3.若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(√)
4.若a?α，α∥β，则a∥β.(√)
提示 1.两平面也可能相交.
[微训练]
在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
答案 A
[微思考]
1.三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
提示 不一定.
2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
提示 平行.
3.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行(请自己试着证明).
题型一 面面平行判定定理的理解
【例1】 α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是( )
A.α，β都平行于直线l，m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D.l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解析 对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；
对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；
对C，当l∥m时，不能推出α∥β；
对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.
答案 D
规律方法 (1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行.
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析.
【训练1】 如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是( )
A.这两个角相等
B.这两个角互补
C.这两个角所在的两个平面平行
D.这两个角所在的两个平面平行或重合
答案 D
题型二 平面与平面平行的证明 线∥面?面∥面
【例2】 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.
证明 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
规律方法 平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点.
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【训练2】 在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝a，E，F分别是AD，AB的中点.证明：平面EFB1D1∥平面BDC1.
证明 连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P.
由题意，BD∥B1D1.
∵BD?平面EFB1D1，
B1D1?平面EFB1D1，
∴BD∥平面EFB1D1，
又∵A1B1＝a，AB＝2a，
∴MC1＝A1C1＝a.
又∵E，F分别是AD，AB的中点，
∴NP＝AC＝a.
∴MC1＝NP.
又∵AC∥A1C1，∴MC1∥NP.
∴四边形MC1PN为平行四边形.
∴PC1∥MN.
∵PC1?平面EFB1D1，MN?平面EFB1D1，
∴PC1∥平面EFB1D1，
∵PC1∩BD＝P，PC1，BD?平面BDC1，
∴平面EFB1D1∥平面BDC1.
题型三 线面平行与面面平行的综合应用
探究1 面面平行中点的位置的确定
【例3－1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解 当Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：
在△DBD1中，P是DD1中点，O为DB中点，
∴PO∥D1B，
又∵PO?平面PAO，D1B?平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.
在正方体中，BQ∥AP，BQ?平面PAO，
PA?平面PAO，
∴BQ∥平面PAO，
又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ?平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
探究2 平行关系的探究
【例3－2】 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.
证明 分析可知SG∥平面DEF.
证明如下：
法一 连接CG，交DE于点H，连接FH.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，
∴H为CG的中点.
∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，∴SG∥平面DEF.
法二 ∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，∴EF∥平面SAB.
同理可得DF∥平面SAB.
又EF∩DF＝F，EF，DF?平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.
规律方法 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.
(2)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
【训练3】 如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心.
(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.
(1)证明 分别连接PA′，PB′，PC′并延长交BC，AC，AB于点D，E，F，连接DE，EF，DF.
∵点A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，∴PA′＝PD，PC′＝PF，
∴A′C′∥DF.
∵A′C′?平面ABC，DF?平面ABC，
∴A′C′∥平面ABC.同理，A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′，A′B′?平面A′B′C′，
∴平面ABC∥平面A′B′C′.
(2)解 由(1)知A′C′∥DF且A′C′＝DF，
又DF∥AC且DF＝AC，
∴A′C′∥AC且A′C′＝AC.
同理，A′B′∥AB且A′B′＝AB，
B′C′∥BC且B′C′＝BC，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9.
一、素养落地
1.通过探索发现平面与平面平行的判定定理，重点培养数学抽象素养，通过应用平面与平面平行的判定定理，提升逻辑推理素养及直观想象素养.
2.平面与平面平行的判定定理的理解
(1)平面内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
这两个条件缺一不可.
二、素养训练
1.在正方体中，相互平行的面不会是( )
A.前后相对侧面 B.上下相对底面
C.左右相对侧面 D.相邻的侧面
解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
答案 D
2.下列命题中正确的是( )
A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.
答案 B
3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.
解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
答案 平行
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论.
解 能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.
证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，又P为DD1的中点，则PO∥D1B.
∵BD1?平面PAC，OP?平面PAC，故D1B∥平面PAC.
又因为M为AA1的中点，
故D1M∥PA，又D1M?平面PAC，PA?平面PAC，
从而D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，
D1M?α，D1B?α，
所以平面α∥平面PAC.
基础达标
一、选择题
1.下列四个说法中正确的是( )
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
解析 由面面平行的判定定理知C正确.
答案 C
2.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
解析 ∵A1E∥BE1，A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1?平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案 A
3.六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
解析 由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，
平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对.
答案 D
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A.平面ABB1A1 B.平面BCC1B1
C.平面BCFE D.平面DCC1D1
解析 取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
答案 C
5.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
答案 B
二、填空题
6.已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a?α，b，c?β，则α与β的关系是________________.
解析 b，c?β，a?α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行.
答案 相交或平行
7.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”).
解析 若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，矛盾.故α∥β.
答案 平行
8.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.
答案 ①②③④
三、解答题
9.在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形.
求证：平面ABC∥平面A1B1C1.
证明 ∵四边形AA1B1B是平行四边形，
∴A1B1∥AB，又A1B1?平面ABC，AB?平面ABC.
∴A1B1∥平面ABC，同理B1C1∥平面ABC，
而A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1?平面A1B1C1，
∴平面A1B1C1∥平面ABC.
10.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 ∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，
∴MQ∥BC，而BC?平面PBC，MQ?平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
能力提升
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析 连接HN，FH，FN.∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF?平面FHN，DB，DD1?平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M∈FH.
答案 M在线段FH上
12.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点.
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.
(1)证明 如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC.
又∵AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
(2)解 平面GFP∥平面ABC，证明如下：连接FP，GP.
∵点F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC?平面ABC，FP?平面ABC，∴FP∥平面ABC，又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，FP?平面GFP，GF?平面GFP，∴平面GFP∥平面ABC.
创新猜想
13.(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故选项A正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故选项B错误；
∵FG∥BC1，FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故选项C正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故选项D错误.
答案 AC
14.(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面PAD
C.AB∥平面PCD
D.平面PAD∥平面PAB
解析 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.
同理可证EF∥平面ABCD，
又EF∩EH＝E，EF，EH?平面EFGH，
所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；
平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B，C正确.
答案 ABC
课件33张PPT。8.5.3 平面与平面平行
第一课时 平面与平面平行的判定教材知识探究贴瓷砖的工人在检验地面是否水平时，只需将水准器交叉放两次，若水准器的气泡都居中就能判定地面是水平的.问题 (1)这个实例给出了判断两平面平行的一种怎样的方法？
(2)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示 (1)在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可.
(2)不一定，这两个平面也可能相交.平面与平面平行的判定定理 注意定理条件中直线a和b相交两条相交直线教材拓展补遗
[微判断]
1.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.( )
2.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.( )
3.若α∥β，β∥γ，则α∥γ.( )
4.若a?α，α∥β，则a∥β.( )
提示 1.两平面也可能相交.×√√√[微训练]在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G解析 如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG?平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
答案 A[微思考]
1.三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
提示 不一定.
2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
提示 平行.
3.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行(请自己试着证明).题型一 面面平行判定定理的理解 抓住面面平行判定定理的5个条件，缺一不可【例1】 α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是( )A.α，β都平行于直线l，m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D.l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β解析 对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；
对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；
对C，当l∥m时，不能推出α∥β；
对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.
答案 D
规律方法 (1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行.
(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析.【训练1】 如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是( )A.这两个角相等
B.这两个角互补
C.这两个角所在的两个平面平行
D.这两个角所在的两个平面平行或重合
答案 D题型二 平面与平面平行的证明线∥面?面∥面【例2】 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.证明 在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.规律方法 平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点.
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.证明 连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P.
由题意，BD∥B1D1.
∵BD?平面EFB1D1，
B1D1?平面EFB1D1，
∴BD∥平面EFB1D1，
又∵A1B1＝a，AB＝2a，又∵E，F分别是AD，AB的中点，∴MC1＝NP.
又∵AC∥A1C1，∴MC1∥NP.
∴四边形MC1PN为平行四边形.
∴PC1∥MN.
∵PC1?平面EFB1D1，MN?平面EFB1D1，
∴PC1∥平面EFB1D1，
∵PC1∩BD＝P，PC1，BD?平面BDC1，
∴平面EFB1D1∥平面BDC1.题型三 线面平行与面面平行的综合应用
探究1 面面平行中点的位置的确定
【例3－1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解 当Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下：
在△DBD1中，P是DD1中点，O为DB中点，∴PO∥D1B，
又∵PO?平面PAO，D1B?平面PAO，∴D1B∥平面PAO.
在正方体中，BQ∥AP，BQ?平面PAO，PA?平面PAO，
∴BQ∥平面PAO，
又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ?平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面PAO，即当点Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.探究2 平行关系的探究
【例3－2】 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB中AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.证明 分析可知SG∥平面DEF.
证明如下：
法一 连接CG，交DE于点H，连接FH.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，
∴H为CG的中点.
∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，∴SG∥平面DEF.法二 ∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，∴EF∥平面SAB.
同理可得DF∥平面SAB.
又EF∩DF＝F，EF，DF?平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.规律方法 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.【训练3】 如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心.(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.(1)证明 分别连接PA′，PB′，PC′并延长交BC，AC，AB于点D，E，F，连接DE，EF，DF.
∵点A′，C′分别是△PBC，△PAB的重心，∵A′C′?平面ABC，DF?平面ABC，
∴A′C′∥平面ABC.同理，A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′，A′B′?平面A′B′C′，
∴平面ABC∥平面A′B′C′.∴△A′B′C′∽△ABC，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9.一、素养落地
1.通过探索发现平面与平面平行的判定定理，重点培养数学抽象素养，通过应用平面与平面平行的判定定理，提升逻辑推理素养及直观想象素养.
2.平面与平面平行的判定定理的理解(1)平面内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
这两个条件缺一不可.二、素养训练
1.在正方体中，相互平行的面不会是( )A.前后相对侧面 B.上下相对底面
C.左右相对侧面 D.相邻的侧面
解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
答案 D2.下列命题中正确的是( )A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.
答案 B3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.解析 在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，因此DE∥平面ABC.
同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
答案 平行4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论.解 能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，
又P为DD1的中点，则PO∥D1B.
∵BD1?平面PAC，OP?平面PAC，故D1B∥平面PAC.又因为M为AA1的中点，
故D1M∥PA，又D1M?平面PAC，PA?平面PAC，
从而D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，D1M?α，D1B?α，
所以平面α∥平面PAC.第二课时 平面与平面平行的性质
课标要求
素养要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明.
2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
在发现、推导和应用平面与平面平行的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
问题 (1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
提示 (1)平行. (2)平行.
两平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
教材拓展补遗
[微判断]
1.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.(×)
2.夹在两平行平面间的平行线段相等.(√)
提示 1.直线l和m也可能是异面直线.
[微训练]
1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析 由面面平行的性质定理易得.
答案 A
2.若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
解析 由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
答案 D
[微思考]
1.两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
提示 不一定.因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的任两条直线无公共点，它们平行或异面.
2.若平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，那么一定有a?α吗？
提示 一定有.∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a?α.又∵P∈a，P∈α，∴a?α.
题型一 由面面平行的性质定理求线段长
【例1】 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.
解 设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，所以＝，
即＝，所以SC＝17.
规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
【训练1】 已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________.
解析 由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，
所以＝，所以AC＝·AB＝×6＝15.
答案 15
题型二 利用面面平行的性质定理证明线线平行
【例2】 如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明 ∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，
且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
规律方法 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.
(2)面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.
【训练2】 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
题型三 平行关系的综合应用
【探究1】 在立体几何中，线线平行与线面平行、面面平行之间是如何相互转化的？
解 一般地，证明线面平行，可以转化为证明线线平行；证明面面平行，可以转化为证明线面平行；证明线线平行，可以利用线面平行或面面平行的性质定理来证明.
【探究2】 证明线面平行的方法有哪些？
解 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α?a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β).
【探究3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
(1)证明 如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)解 由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明 法一 取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.
又BE∥B1C1且BE＝B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1，
所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1.
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.
法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
规律方法 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
【训练3】 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.
解 能.如图，分别取AB，C1D1的中点M，N，
连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，
∴A1N∥MC.同理A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形.
∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，
∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M?平面A1MCN，C1P，PB?平面PBC1，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
由题意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2.
∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝，∴A1H＝.
故S菱形A1MCN＝2S△A1MN＝2××2×＝2.
一、素养落地
1.通过面面平行性质定理的探索、发现、应用，重点培养数学抽象素养，提升逻辑推理和直观想象素养.
2.常用的面面平行的性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；(2)平行于同一个平面的两个平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
3.空间中各种平行关系相互转化的示意图
二、素养训练
1.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析 根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
答案 C
2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )
A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
答案 D
3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
解析 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.
答案 B
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明 过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
则＝.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，
易得EG∥平面ABCD，
FG∥平面ABCD，
又∵EG∩FG＝G，EG，FG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
三、审题答题
示范(三) 平行关系的相互转化和综合应用
【典型示例】 (12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中①，
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD②；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F③，并证明：A1E＝EF＝FC④.
联想解题
看到①想到利用正方体中线、面平行的性质.
看到②想到证明面∥面的方法：线∥线?线∥面?面∥面.
看到③想到利用基本实事3找直线和平面的交点.
看到④想到利用面∥面的性质和平行直线的性质证明.
满分示范
解 (1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綉B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.2分
又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理，B1D1∥平面C1BD.4分
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.6分
(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.8分
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，
所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.11分
同理可证CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.12分
满分心得
解(1)题的关键是找到一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，并证明；解(2)题的关键是通过证明线在面内来确定直线和平面的交点，利用直线平行的性质证明线段相等.
基础达标
一、选择题
1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
解析 可以想象四棱柱.由面面平行的性质定理可得.
答案 A
2.已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是( )
A.平行或相交 B.相交或异面
C.平行或异面 D.平行、相交或异面
解析 当a与b共面，即a与b平行或相交时，如图所示，
显然满足题目条件；在a与b相交的条件下，分别把a，b平行移动到平面β、平面α上，此时a与b异面，亦满足题目条件.故选D.
答案 D
3.AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线AB，CD的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上均有可能
解析 当A，B，C，D四点共面时，AB与CD平行或相交，当A，B，C，D四点不共面时，AB与CD异面，故选D.
答案 D
4.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( )
①?a∥b； ②?a∥b； ③?α∥β；
④?α∥β； ⑤?α∥a； ⑥?a∥α.
A.④⑥ B.②③⑥
C.②③⑤⑥ D.②③
解析 由基本事实4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内.
答案 C
5.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25 B.4∶25
C.2∶5 D.4∶5
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.
答案 B
二、填空题
6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.
解析 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.
答案 平行四边形
7.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
解析 ∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
答案
8.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________(填序号).
①BF∥平面ACGD；②CF∥平面ABED；③BC∥FG；④平面ABED∥平面CGF.
解析 ∵EF∥DG，BE∥AD，BE∩EF＝E，AD∩DG＝D，
∴平面BEF∥平面ADGC.
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；
由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，GF的延长线必与直线DE相交，故④不正确；②③不能推出.
答案 ①
三、解答题
9.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
证明 因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
10.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明 设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB，
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，HI，GI?平面GHI，OB，BC?平面ABC，
所以平面GHI∥平面ABC，因为GH?平面GHI，
所以GH∥平面ABC.
能力提升
11.如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________.
解析 AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且＝＝，同理可得＝＝，＝＝，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为.
答案
12.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
解 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，所以D1C1＝A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.
又因为AD∥D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以＝1.
创新猜想
13.(多填题)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是________，截面的面积是________.
解析 取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1，
因为MN∥AD1，AD1∥BC1，
故MN∥BC1，
且MN＝BC1＝.
则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为(＋2)×＝.
答案 等腰梯形
14.(多填题)如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
解析 因为ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，且AB＝CD.
又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，
又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，
所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，
所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.
因为PA＝AB＝PB＝2，
所以PE＝，GH＝PE＝.
答案 1
课件34张PPT。第二课时 平面与平面平行的性质教材知识探究上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.问题 (1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
提示 (1)平行. (2)平行.两平面平行的性质定理平行a∥b教材拓展补遗
[微判断]
1.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.( )
2.夹在两平行平面间的平行线段相等.( )
提示 1.直线l和m也可能是异面直线.×√[微训练]
1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析 由面面平行的性质定理易得.
答案 A2.若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
解析 由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
答案 D[微思考]
1.两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
提示 不一定.因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的任两条直线无公共点，它们平行或异面.
2.若平面α∥平面β，点P∈α，a∥β且P∈a，那么一定有a?α吗？
提示 一定有.∵a∥β，α∥β，∴a∥α或a?α.又∵P∈a，P∈α，∴a?α.题型一 由面面平行的性质定理求线段长 把面∥面转化为线∥线求解【例1】 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【训练1】 已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________.答案 15题型二 利用面面平行的性质定理证明线线平行 面∥面?线∥线【例2】 如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明 ∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.规律方法 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.
(2)面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2】 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.题型三 平行关系的综合应用
【探究1】 在立体几何中，线线平行与线面平行、面面平行之间是如何相互转化的？解 一般地，证明线面平行，可以转化为证明线线平行；证明面面平行，可以转化为证明线面平行；证明线线平行，可以利用线面平行或面面平行的性质定理来证明.【探究2】 证明线面平行的方法有哪些？解 (1)利用线面平行的定义(无公共点)；
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α?a∥β)；
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β).【探究3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.(1)证明 如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1.
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.
法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.规律方法 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：【训练3】 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.解 能.如图，分别取AB，C1D1的中点M，N，
连接A1M，MC，CN，NA1.
∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，
∴A1N∥MC.同理A1M∥NC.
∴四边形A1MCN是平行四边形.∴四边形A1PC1N是平行四边形，
∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP.
又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M?平面A1MCN，C1P，PB?平面PBC1，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.
连接MN，作A1H⊥MN于点H.一、素养落地
1.通过面面平行性质定理的探索、发现、应用，重点培养数学抽象素养，提升逻辑推理和直观想象素养.
2.常用的面面平行的性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；(2)平行于同一个平面的两个平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.3.空间中各种平行关系相互转化的示意图二、素养训练
1.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
解析 根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
答案 C2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A.AB∥CD B.AD∥CB
C.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面
解析 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.
答案 D3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
解析 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.
答案 B4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又∵EG∩FG＝G，EG，FG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD.三、审题答题
示范(三) 平行关系的相互转化和综合应用【典型示例】 (12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中①,
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD②；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F③，并证明：A1E＝EF＝FC④.联想解题
看到①想到利用正方体中线、面平行的性质.看到②想到证明面∥面的方法：线∥线?线∥面?面∥面.看到③想到利用基本实事3找直线和平面的交点.看到④想到利用面∥面的性质和平行直线的性质证明.满分示范
解 (1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綉B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.2分
又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理，B1D1∥平面C1BD.4分
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.6分(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.8分下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，
所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.11分
同理可证CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.12分满分心得
解(1)题的关键是找到一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，并证明；解(2)题的关键是通过证明线在面内来确定直线和平面的交点，利用直线平行的性质证明线段相等.
