第八章 立体几何初步
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
祖暅与祖暅原理
祖暅[ɡènɡ]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时期的数学家、科学家祖冲之的儿子.
祖暅在求球体积时，使用了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.
[读图探新]——发现现象背后的知识
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟的庞大建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.
问题：那么设计师是如何设计这些建筑物的呢？应用到哪些数学知识呢？
链接：事实上，对于这些装饰物、建筑物，我们都可以抽象为数学中的占有一定空间，具有一定形状的立体几何图形，是我们本章要学习的重点内容.
8.1 基本立体图形
第一课时 多面体
课标要求
素养要求
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
在多面体概念的形成中，经历由具体到抽象，由一般到特殊的过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
观察下列图片：
问题 1.图(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
2.图(4)(5)(6)(7)中的物体的形状与(1)(2)(3)中的物体的形状有何不同？
3.图(4)(5)(6)(7)中的物体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？
提示 1.由若干个平面多边形围成.
2.(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的.
3.可以.
1.空间几何体 我们研究空间几何体就是研究其形状和大小
名称
定义
空间几何体
在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴
2.多面体 棱柱棱台棱锥
多面体
定义
图形及表示
相关概念
特殊情形
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
记作：棱柱
ABCDEF－
A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
记作：棱锥
S－ABCD
底面(底)：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
记作：棱台
ABCD－A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
教材拓展补遗
[微判断]
1.棱柱的底面互相平行.(√)
2.棱柱的各个侧面都是平行四边形.(√)
3.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.(×)
4.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.(×)
提示 3.有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体才叫棱锥；4.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
[微训练]
1.下面多面体中，是棱柱的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
答案 D
2.下列说法中正确的是( )
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
答案 A
[微思考]
1.面数最少的多面体是什么？
提示 围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体.
2.把棱台的各侧棱延长，交于一点吗？
提示 因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.
题型一 棱柱的结构特征
【例1】 下列说法正确的是( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
解析 选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
答案 D
规律方法 1.棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.
【训练1】 下列命题中，正确的是( )
A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析 A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.
答案 D
题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 (1)下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③
解析 (1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.
答案 (1)A (2)B
规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【训练2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案 ①②
题型三 空间几何体的平面展开图
【例3】 (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
解 (1)平面展开图如图所示：
(2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
①若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝
＝＝4.
②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
③若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
规律方法 (1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
(3)求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
【训练3】 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.
一、素养落地
1.通过棱柱、棱锥、棱台的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.
3.棱柱、棱台、棱锥关系图
二、素养训练
1.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
答案 D
2.下列说法正确的是________(填序号).
①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
解析 由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确.
答案 ⑤
3.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，______是棱台(仅填相应序号).
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
答案 ①③④ ⑥ ⑤
4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.
①棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.
解析 ①错误，棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案 ③
基础达标
一、选择题
1.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点
C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点
解析 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).
答案 C
2.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.
答案 B
3.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.组合体
解析 余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
答案 B
4.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A.20 B.15 C.12 D.10
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
答案 D
5.棱台不具备的特点是( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
解析 由于棱锥的侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的.
答案 C
二、填空题
6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________.
解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方.
答案 1∶4
7.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为_______ cm.
解析 因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm).
答案 12
8.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
答案
三、解答题
9.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
10.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
能力提升
11.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点.
其中正确结论的个数为________.
解析 如图所示：四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个.故答案为4.
答案 4
12.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值.
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4.
∴△AEF周长的最小值为4.
创新猜想
13.(多填题、开放题)如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
(1)如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________.
(2)如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________(答案不唯一).
解析 (1)如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.
图①
(2)用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示.
图② 图③
答案 (1)A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1 (2)两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)
14.给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明.
解 如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.
如图(2)所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.
课件37张PPT。第八章 立体几何初步[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
祖暅与祖暅原理祖暅[ɡènɡ]，又名祖暅之，字景烁，是我国南北朝时期的数学家、科学家祖冲之的儿子.
祖暅在求球体积时，使用了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.[读图探新]——发现现象背后的知识
观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟的庞大建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美.问题：那么设计师是如何设计这些建筑物的呢？应用到哪些数学知识呢？
链接：事实上，对于这些装饰物、建筑物，我们都可以抽象为数学中的占有一定空间，具有一定形状的立体几何图形，是我们本章要学习的重点内容.8.1 基本立体图形
第一课时 多面体教材知识探究观察下列图片：问题 1.图(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？
2.图(4)(5)(6)(7)中的物体的形状与(1)(2)(3)中的物体的形状有何不同？
3.图(4)(5)(6)(7)中的物体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？
提示 1.由若干个平面多边形围成.
2.(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的.
3.可以.1.空间几何体我们研究空间几何体就是研究其形状和大小形状大小平面多边形面公共边公共点直线曲面几何体轴2.多面体平行四边形平行平行公共边公共顶点多边形三角形公共边公共顶点平行于棱锥底面截面底面教材拓展补遗
[微判断]
1.棱柱的底面互相平行.( )
2.棱柱的各个侧面都是平行四边形.( )
3.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )
4.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.( )提示 3.有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体才叫棱锥；4.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.√√××[微训练]
1.下面多面体中，是棱柱的有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
答案 D2.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.
答案 A[微思考]
1.面数最少的多面体是什么？
提示 围成一个多面体至少要四个面，所以面数最少的多面体是四面体，如三棱锥就是四面体.
2.把棱台的各侧棱延长，交于一点吗？
提示 因为棱台是由棱锥截得的，所以棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.题型一 棱柱的结构特征
【例1】 下列说法正确的是( )A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形解析 选项A，B都不正确，反例如图所示.选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.答案 D规律方法 1.棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.2.棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.【训练1】 下列命题中，正确的是( )A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析 A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.答案 D题型二 棱锥、棱台的结构特征 注意棱锥与棱台的关系【例2】 (1)下列三种叙述，正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③解析 (1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.
(2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.
答案 (1)A (2)B规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：【训练2】 下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案 ①②题型三 空间几何体的平面展开图可实现“空间问题平面化”，这是我们解决空间问题的基本思想【例3】 (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).(2)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.解 (1)平面展开图如图所示：(2)沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：规律方法 (1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.
(3)求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.【训练3】 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.一、素养落地
1.通过棱柱、棱锥、棱台的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.3.棱柱、棱台、棱锥关系图二、素养训练
1.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面
B.六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错.
答案 D2.下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.
解析 由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确.
答案 ⑤3.下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，______是棱台(仅填相应序号).解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
答案 ①③④ ⑥ ⑤4.对棱柱而言，下列说法正确的序号是________.①棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱.
解析 ①错误，棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱.
答案 ③第二课时 旋转体与简单组合体
课标要求
素养要求
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
在旋转体与简单组合体概念的形成中，经历由具体到抽象，由一般到特殊的过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
如图，观察下列实物图.
问题 (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
提示 (1)它们不是由平面多边形围成的.
(2)可以由某些平面图形旋转而成.
(3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成.
1.圆柱、圆锥、圆台、球
旋转体
结构特征
图形
表示
圆柱
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O
圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO
圆台
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O
球
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O
2.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.
3.简单组合体 “接”和“截”简单几何体就可得到组合体
(1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.
教材拓展补遗
[微判断]
1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.(√)
2.过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.(×)
3.圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.(×)
4.过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.(√)
提示 2.不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形.
3.延长后相交于一点.
[微训练]
1.下列说法正确的是( )
A.圆锥的母线长等于底面圆直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行.
答案 D
2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( )
A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台
解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.
答案 D
[微思考]
1.圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？
提示 不一定.圆柱的母线与轴是平行的.
2.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？
提示 半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.
3.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？
提示 不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.
4.观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的.
提示 图1 是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.
题型一 旋转体的结构特征
【例1】 给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.
答案 D
规律方法 由简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号).
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确.
答案 ④⑥
题型二 简单组合体的结构特征
【例2】 指出图中三个几何体的构成.
解 图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.
规律方法 判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
【训练2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？
解 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
题型三 旋转体的有关计算
【例3】 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则
πr＝5π，πr＝8π，∴r＝5，r＝8，
又∵R2＝r＋d＝r＋d，
∴d－d＝8－5＝3，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又d1－d2＝1，
∴解得
∴R＝＝＝3，
即球的半径等于3.
规律方法 (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
【训练3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.
解 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.
根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.
根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
一、素养落地
1.通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
3.球面、球体的区别和联系
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
4.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
5.处理组合体问题常采用分割思想.
6.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
二、素养训练
1.下列几何体是台体的是( )
解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.
答案 D
2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
解析 当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
答案 B
3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________.
解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.
答案 2
4.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解 画出形成的几何体如图所示.
由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的.
基础达标
一、选择题
1.圆柱的母线长为10，则其高等于( )
A.5 B.10 C.20 D.不确定
解析 圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
答案 B
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析 图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D.
答案 D
3.下列说法正确的是( )
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一条直线上
C.用一个平面截球，其截面是一个圆
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
解析 对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的.所以选D.
答案 D
4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A.4 B.3 C.2 D.2
解析 圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
答案 D
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤
解析 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
答案 D
二、填空题
6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号).
解析 ①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成.
答案 ①④
7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
解析 设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为.
答案
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________.
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝.
答案
三、解答题
9.圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径.
解 设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.
解 作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴＝，
∴x＝，即此正方体的棱长为.
能力提升
11.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的( )
解析 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
答案 C
12.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.
解 将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
创新猜想
13.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则( )
A.弦AB，CD可能相交于点M
B.弦AB，CD可能相交于点N
C.MN的最大值为5
D.MN的最小值为1
解析 球心到弦AB，CD的距离分别3，2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选A，C，D.
答案 ACD
14.(多填题、开放题)如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是________(答案不唯一).
(2)若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是______(答案不唯一).
解析 (1)由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.
(2)先补齐中间一层，只能用⑤，再补最上一层，则可用①②，也可用①④.
答案 (1)①(或②或⑤) (2)①②⑤(或①④⑤)
课件30张PPT。第二课时 旋转体与简单组合体教材知识探究如图，观察下列实物图.问题 (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？
(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？
(3)如何形成上述几何体的曲面？
提示 (1)它们不是由平面多边形围成的.
(2)可以由某些平面图形旋转而成.
(3)上述几何体可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成.1.圆柱、圆锥、圆台、球矩形的一边所在直线垂直平行平行圆柱O′O直角三角形的一条直角边圆锥SO圆锥底面圆台O′O直径所在直线球心半径球O2.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.3.简单组合体“接”和“截”简单几何体就可得到组合体(1)定义：由____________组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体_______而成的；另一种是由简单几何体_____________一部分而成的.简单几何体拼接截去或挖去教材拓展补遗
[微判断]
1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.( )
2.过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.( )
3.圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.( )
4.过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.( )提示 2.不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形.
3.延长后相交于一点.√××√[微训练]
1.下列说法正确的是( )A.圆锥的母线长等于底面圆直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行.
答案 D2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( )A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台
解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.
答案 D[微思考]
1.圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？
提示 不一定.圆柱的母线与轴是平行的.
2.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？
提示 半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.
3.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？
提示 不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.4.观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的.提示 图1 是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.题型一 旋转体的结构特征 抓住旋转体的形成过程和相互联系【例1】 给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.
答案 D规律方法 由简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号).①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确.
答案 ④⑥题型二 简单组合体的结构特征从组合体的构成要素和构成形式两个方面进行分析说明【例2】 指出图中三个几何体的构成.解 图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.
图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.
图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.规律方法 判断组合体构成的方法
(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.【训练2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？解 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.题型三 旋转体的有关计算 作出旋转体的轴截面实现空间图形平面化【例3】 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.解 如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则即(d1－d2)(d1＋d2)＝3.又d1－d2＝1，规律方法 (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.【训练3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.解 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.
根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.所以圆台的母线长为9 cm.一、素养落地
1.通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.3.球面、球体的区别和联系4.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
5.处理组合体问题常采用分割思想.
6.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.二、素养训练
1.下列几何体是台体的是( )解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.
答案 D2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
解析 当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
答案 B答案 24.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？解 画出形成的几何体如图所示.由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的.
