8.2 立体图形的直观图
课标要求
素养要求
能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
在应用斜二测画法画几何体的直观图的过程中，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.
问题 在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示 为了直观，不一定.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
2.几何体直观图的画法规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴，y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
教材拓展补遗
[微判断]
1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.(×)
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(×)
4.建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.(√)
提示 1.也可能有∠A＝135°.
2.平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变.
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
[微训练]
1.下列命题中正确的个数是( )
①水平放置的角的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；不一定，正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确.
答案 B
2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )
解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
答案 C
[微思考]
1.把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
提示 发生变化的是高变为原来的一半，直角变成了45°或135°角，相应的腰也发生了变化.
2.空间几何体的直观图是唯一的吗？
提示 不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图可能不相同.
题型一 平面图形的直观图的画法
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
规律方法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧：
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.
【训练1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
题型二 空间几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
解 画法步骤：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.
分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
规律方法 1.空间几何体的直观图的画法：
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
2.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.
【训练2】 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.
解 (1)画轴.画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
题型三 直观图的有关应用 原图面积为S，直观图面积为S′，则S′＝S
探究1 把直观图恢复成原图形
【例3－1】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.
解 (1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图.
探究2 由原图形求直观图的面积
【例3－2】 已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析 法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
法二 S△ABC＝a2，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.
答案 D
探究3 由直观图求原图形的面积
【例3－3】 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.
解 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，所以其直观图的面积S′＝×(1＋1＋)×＝.因此由上述公式可得原平面图形的面积是S＝＝2＋.
规律方法 由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由此可得：直观图面积是原图形面积的倍.
【训练3】 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )
A. B.
C. D.2
(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝
6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状).
解析 (1)直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为∶4，所以原图形的面积为，故选C.
(2)如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6(cm)，
OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝
＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，
故四边形OABC是菱形.
答案 (1)C (2)菱形
一、素养落地
1.通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
3.直观图中“变”与“不变”
(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感.
二、素养训练
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.
答案 B
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
解析 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
答案 C
3.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.
解析 由图可知O′B′＝4，则对应三角形AOB中，OB＝4.又和y′轴平行的线段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16.
答案 16
4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.
解析 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案 10
基础达标
一、选择题
1.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( )
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析 由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.
答案 B
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于( )
A.45° B.135°
C.90° D.45°或135°
解析 因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D.
答案 D
3.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A.16 B.64
C.16或64 D.无法确定
解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
答案 C
4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A.AB B.AD
C.BC D.AC
解析 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.
答案 D
5.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
答案 C
二、填空题
6.利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论中，正确的是________(填序号).
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.
答案 ①②
7.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
答案 2.5
8.如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.
解析 画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝.
答案
三、解答题
9.一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为3 cm，圆锥的高为3 cm，画出此机器部件的直观图.
解 (1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.
10.如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.
解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝h.
由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
原直角梯形面积为
S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
即梯形OABC的面积为2S.
能力提升
11.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________.
解析 由题意正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 cm，
所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，
故原图形的周长为：2×(1＋3)＝8(cm).
答案 8 cm
12.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图.
解 画法：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，
A′E′＝AE＝≈2.598 cm；
过点E′过E′D′∥y′轴，
使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm；
再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.
创新猜想
13.(多选题)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中( )
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
解析 由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A，C.
答案 AC
14.(多填题)在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为_______(填具体形状)，其面积为______ cm2.
解析 由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2).
答案 矩形 8
课件32张PPT。8.2 立体图形的直观图教材知识探究美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.
问题 在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
提示 为了直观，不一定.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤45°135°水平面x′轴或
y′轴的线段保持原长度不变一半2.几何体直观图的画法规则画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴，y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的_________和_______都不变.平行性长度教材拓展补遗
[微判断]
1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.( )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )
4.建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.( )×××√提示 1.也可能有∠A＝135°.
2.平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变.
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.[微训练]
1.下列命题中正确的个数是( )①水平放置的角的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A.1 B.2 C.3 D.4解析 水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；不一定，正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确.
答案 B2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
答案 C[微思考]
1.把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？提示 发生变化的是高变为原来的一半，直角变成了45°或135°角，相应的腰也发生了变化.2.空间几何体的直观图是唯一的吗？提示 不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图可能不相同.题型一 平面图形的直观图的画法斜二测画法“三步曲”：画轴、画线、取长度【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.规律方法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧：
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.
(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.【训练1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图.解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.题型二 空间几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.解 画法步骤：
(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.规律方法 1.空间几何体的直观图的画法：
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
2.当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图.注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验.【训练2】 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.解 (1)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.(4)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.题型三 直观图的有关应用探究1 把直观图恢复成原图形
【例3－1】 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.解 (1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图.探究2 由原图形求直观图的面积
【例3－2】 已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )解析 法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.答案 D探究3 由直观图求原图形的面积
【例3－3】 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原图形的面积.【训练3】 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是( )∴OA＝OC，又OA∥BC，OA＝BC，故四边形OABC是菱形.
答案 (1)C (2)菱形一、素养落地
1.通过画平面图形和空间图形的直观图，重点培养学生数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.斜二测画法中的“斜”和“二测”
(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.
(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.3.直观图中“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感.二、素养训练
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.
答案 B2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )解析 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.
答案 C3.如图，是用斜二测画法画出的△AOB的直观图，则△AOB的面积是________.答案 164.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案 10
