8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标要求
素养要求
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.
在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.
教材知识探究
胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大.
问题 (1)如何计算建此金字塔需用多少石块？
(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？
提示 (1)这就需求出金字塔的体积.
(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积 V棱柱V棱台V棱锥
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥
V棱锥＝Sh
S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台
V棱台＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
教材拓展补遗
[微判断]
1.棱锥的体积等于底面面积与高之积.(×)
2.棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.(√)
3.三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.(×)
提示 1.棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一.
3.如果侧棱和底边垂直，则可以；否则不可以.
[微训练]
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
答案 B
2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.
解析 V棱台＝×(2＋4＋)×3
＝×3×(6＋2)＝6＋2.
答案 6＋2
[微思考]
1.求一个几何体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示 对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
2.若一个棱柱上底面上一点到下底面的距离是2，那么这个棱柱的高是多少？
提示 棱柱的高是2.
题型一 求棱柱、棱锥或棱台的表面积
【例1】 已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.
解 如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
所以DD1＝
＝＝.
所以此正三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝(cm2).
规律方法 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.
【训练1】 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B.2 C. D.
解析 所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝＝1，
所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8××1×1×sin 60°＝2.故选B.
答案 B
题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
解 由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3，
∴V三棱锥A1－D1EF＝a3.
规律方法 求几何体体积的常用方法
【训练2】 设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________.
解析 由题意得四棱锥的底面积为S＝2××2×2＝4.
故四棱锥的体积V＝Sh＝×4×3＝4.
答案 4
题型三 求组合体的表面积和体积
【探究1】 组合体有几种构成形式？
提示 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
【探究2】 如何求组合体的体积和表面积？
提示 求解组合体的表面积和体积，关键是弄清它的结构特征，从而转化为简单几何体的表面积和体积.
【探究3】 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?
解 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底＝0.6×1.1－×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，
V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
规律方法 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
【训练3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积.
解 由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，故所求几何体A1B1C1D1－DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝a2＋3××a2＋3a2＝a2.
一、素养落地
1.通过计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，培养数学运算素养，通过求表面积和体积过程中对几何体特征的判断，提升直观想象素养.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和.
3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
(2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
二、素养训练
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是( )
A.36 B.24 C.52 D.26
解析 S＝2×(2×3＋2×4＋3×4)＝52.
答案 C
2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )
A.4 B.6 C.12 D.24
解析 V＝Sh＝××2×3×4＝4.
答案 A
3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为( )
A. B.1 C. D.
解析 依题意，正三棱台的高h＝＝1.
答案 B
4.如图所示，已知正四棱锥的侧棱长为4，底面边长为4，求该四棱锥的体积.
解 如图连接AC，BD，设AC和BD交于O，则O为点P在平面ABCD内的投影，即PO为四棱锥的高，
在△POC中，PC＝4，OC＝2，
则PO＝＝2，
故V＝Sh＝×16×2
＝.
基础达标
一、选择题
1.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A.3a2 B.2a2 C.a2 D.4a2
解析 S＝4××a×a＝a2.
答案 C
2.长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为2，则这个长方体的体积是( )
A.6 B.12 C.24 D.48
解析 依题意，设三条棱的长分别为x，2x，3x，则＝2，解得x＝2，即三条棱长分别为2，4，6，于是体积V＝2×4×6＝48.
答案 D
3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )
A. B.2 C. D.3
解析 设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.
答案 B
4.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )
A. B. C. D.
解析 设正方体棱长为a，则截去的每个角(三棱锥)的体积是××a3＝a3，故剩余正四面体的体积是a3－a3×4＝a3，所以这个正四面体的体积是正方体体积的.
答案 B
5.如图所示，三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶ D.1∶4
解析 三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的高相等，故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比，而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB比的平方，即1∶4，故选D.
答案 D
二、填空题
6.正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的表面积为________.
解析 如图，在三棱锥S－ABC中，
AB＝a，SO＝a，
于是OD＝·AB·sin 60°＝a，
从而SD＝＝，
故三棱锥的表面积S＝3××a×＋×a×a＝a2.
答案 a2
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.
解析 S△DD1E＝DD1×1＝，
又点F到平面DD1E的距离为1，
所以VD1－EDF＝VF－D1DE＝S△DD1E×1＝.
答案
8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2.
解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2).
答案 1 012
三、解答题
9.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，
∵V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d，
∴d＝a.
∴点A到平面A1BD的距离为a.
10.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
解 如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
能力提升
11.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
解析 如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面BAD的距离为h.
∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝＝＝.
答案
12.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积.
解 因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a，
D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形.
连接EF，则△EFB≌△EFD1.
易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等，
故VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1.
又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2，
则VF－EBA1＝a3，
所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝a3.
创新猜想
13.(多填题)如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.
解析 正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝＝4.
因此S棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，
S棱锥表＝32＋16＝48(cm2).
答案 32 cm2 48 cm2
14.在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
解 设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.
连接MD.
因为M是AE的中点，
所以VM－ABCD＝V，
所以VE－MBC＝V－VE－MDC.
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
所以＝＝.
因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝.
所以VE－MBC＝VM－EBC＝V.
课件26张PPT。8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教材知识探究胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大.问题 (1)如何计算建此金字塔需用多少石块？
(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？
提示 (1)这就需求出金字塔的体积.
(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的___________的面积的和.各个面各个面2.棱柱、棱锥、棱台的体积底面积高底面积高上、下底面面积高教材拓展补遗
[微判断]
1.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( )
2.棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.( )
3.三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.( )提示 1.棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一.
3.如果侧棱和底边垂直，则可以；否则不可以.×√×[微训练]
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
答案 B2.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________.[微思考]
1.求一个几何体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示 对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
2.若一个棱柱上底面上一点到下底面的距离是2，那么这个棱柱的高是多少？
提示 棱柱的高是2.题型一 求棱柱、棱锥或棱台的表面积注意不要漏掉或重复计算某个面的面积解 如图所示，画出正三棱台ABC－A1B1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，规律方法 求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.答案 B题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积 求柱、锥、台体积的难点是求其高【例2】 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解 由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，规律方法 求几何体体积的常用方法【训练2】 设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________.答案 4题型三 求组合体的表面积和体积
【探究1】 组合体有几种构成形式？
提示 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
【探究2】 如何求组合体的体积和表面积？
提示 求解组合体的表面积和体积，关键是弄清它的结构特征，从而转化为简单几何体的表面积和体积.【探究3】 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)?解 将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).
故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.规律方法 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.【训练3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积.一、素养落地
1.通过计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，培养数学运算素养，通过求表面积和体积过程中对几何体特征的判断，提升直观想象素养.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和.
3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
(2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.二、素养训练
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别是2，3，4，则该长方体的表面积是( )A.36 B.24 C.52 D.26
解析 S＝2×(2×3＋2×4＋3×4)＝52.
答案 C2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )A.4 B.6 C.12 D.243.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为( ) 答案 B4.如图所示，已知正四棱锥的侧棱长为4，底面边长为4，求该四棱锥的体积.解 如图连接AC，BD，设AC和BD交于O，则O为点P在平面ABCD内的投影，即PO为四棱锥的高，
