8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
课标要求
素养要求
1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.
教材知识探究
如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.
问题 (1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？
(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？
提示 (1)先求出金属零件的体积，再求其质量.
(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
图形
表面积和体积
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)
V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)
V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)
V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)
2.柱体、锥体、台体的体积公式
V柱体＝Sh(S为底面面积，h为柱体高)；
V锥体＝Sh(S为底面面积，h为锥体高)；
V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高).
教材拓展补遗
[微判断]
1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(×)
3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.(√)
提示 2.设圆柱的底面圆的半径为r，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr，2r，二者不相等，故侧面展开图不是正方形.
[微训练]
1.若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为( )
A. B. C.π D.2π
解析 V＝Sh＝×π×3×1＝π.
答案 C
2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B.
C. D.
解析 设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则＝＝＝＝.
答案 A
[微思考]
求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？
提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.
题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
解 如图所示，
设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有＝，即＝，
∴R＝2r，圆锥的母线长l＝R，
∴＝＝
＝＝＝－1.
规律方法 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.
【训练1】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.
解析 设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
答案 7
题型二 求圆柱、圆锥、圆台的体积
【例2】 (1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
解析 设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，
∴AD＝＝，∴R－r＝.
BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，
∴R＝2，r＝，而h＝3.
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)
＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π.
∴圆台的体积为21π.
答案 21π
(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？
解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，
且BD＝＝，
两个圆锥的高分别为AD和DC，
所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD
＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC
＝π××5＝π.
故所形成的几何体的体积是π.
规律方法 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
【训练2】 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )
A.1 B.1∶2
C.∶2 D.3∶4
解析 设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.
答案 D
题型三 求组合体的表面积和体积
【例3】 如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.
解 由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为.
所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.
S圆锥底面＝4π，S圆锥侧＝8π，
S圆柱侧＝2π，
故所求几何体的表面积为：
4π＋8π＋2π＝12π＋2π.
所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，
即V旋转体＝×π×22×2－π×12×＝π，
故所求旋转体的体积为π.
规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：
(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.
【训练3】 如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.π B.π C.π D.2π
解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，
该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.
答案 A
一、素养落地
1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
二、素养训练
1.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
解析 设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
答案 C
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 由题意知V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.
答案 A
3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________.
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2.由＝，得＝，∴＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2.
∴＝＝＝.
答案
4.圆柱有一个内接长方体AC1，长方体体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的体积.
解 设圆柱底面半径为r cm，高为h cm.
如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，
则∴
∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10
＝250π(cm3).
∴圆柱体积为250π cm3.
基础达标
一、选择题
1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A.2 B.2 C.4 D.8
解析 圆台的轴截面如图，由题意知，
l＝(r＋R)，
S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4.
答案 C
2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案 C
3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A.5π B.6π C.20π D.10π
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
答案 D
4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于( )
A.6 B.6π
C.3π D.6π
解析 ∵圆台的母线长为＝，
∴S圆台侧＝π(1＋2)·＝3π.
答案 C
5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )
A.πR3 B.πR3
C.πR3 D.πR3
解析 设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝＝R，故体积V＝πr2h＝πR3.
答案 A
二、填空题
6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案
7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
解析 S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
答案 2∶1
8.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________.
解析 由已知得两底面半径分别为r＝1，R＝2，又S侧＝6π，所以π(1＋2)·l＝6π，所以l＝2，则h＝＝，所以体积V＝π××(12＋1×2＋22)＝π.
答案 π
三、解答题
9.已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.
解 如图所示，所得几何体的表面积为
S＝S底＋S柱侧＋S锥侧
＝π()2＋2π××＋π××3
＝(3＋6＋3)π(cm2).
10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.
因为＝，所以r＝R－x，
所以S圆柱侧＝2πrx
＝2πRx－x2(0(2)因为－<0，
所以当x＝＝时，S圆柱侧最大.
故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.
能力提升
11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A.54 B.54π C.58 D.58π
解析 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
答案 A
12.圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.
解 如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝4(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm).
设O1A1＝r1，OA＝r2，
则r2－r1＝AH＝4.①
设A1B与AB1的交点为M，
则A1M＝B1M.
又∵A1B⊥AB1，
∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.
∴O1M＝O1A1＝r1.
同理OM＝OA＝r2.
∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4，②
由①②可得r1＝2(－1)，r2＝2(＋1).
∴S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l＝32(1＋)π(cm2).
创新猜想
13.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A.母线长是20 B.表面积是1 100π
C.高是10 D.体积是π
解析 如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，
所以C＝π·SA，又C＝10×2π，
所以SA＝20，同理SB＝40，
故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，
高h＝＝10，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.
答案 ABD
14.(多填题)把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______，表面积等于________.
解析 设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.
根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2＝2.5×8πl，
∴l＝20(cm).
圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).
答案 20 cm 224π cm2
课件29张PPT。8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积教材知识探究如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.问题 (1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？
(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？
提示 (1)先求出金属零件的体积，再求其质量.
(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积2πr(r＋l)πr2hπr(r＋l)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.柱体、锥体、台体的体积公式Sh教材拓展补遗
[微判断]
1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.( )
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.( )
3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.( )提示 2.设圆柱的底面圆的半径为r，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr，2r，二者不相等，故侧面展开图不是正方形.√×√[微训练]2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )答案 A[微思考]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？
提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解 如图所示，规律方法 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【训练1】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.解析 设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
答案 7题型二 求圆柱、圆锥、圆台的体积 求底面半径和高是关键【例2】 (1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.解析 设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴圆台的体积为21π.
答案 21π(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？规律方法 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【训练2】 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )答案 D题型三 求组合体的表面积和体积分割为规则的几何体求其表面积、体积之和，保证不重不漏【例3】 如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：
(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，答案 A一、素养落地
1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系二、素养训练A.π B.2π C.3π D.4π答案 C2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A.3 B.4 C.5 D.6答案 A解 设圆柱底面半径为r cm，高为h cm.
如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3).
∴圆柱体积为250π cm3.第二课时 球的表面积和体积
课标要求
素养要求
1.知道球的表面积和体积的计算公式.
2.能用公式解决简单的实际问题.
在计算球的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.
教材知识探究
烟台黄海游乐城中有一个巨大的球形建筑，高30米，直径21.8米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主.
问题 (1)若要在球体结构表面重新装修，贴上一层蓝色的玻璃，那么所需的材料多少与球的哪个量有关？
(2)若要衡量球体结构内能够容纳多少游客，则应考虑球的哪个量？
(3)若要加大此球体的容客量，则球体的半径应发生了什么变化？
提示 (1)与球的表面积有关.
(2)与球体的体积有关.
(3)球体的半径应变大.
球的表面积与体积公式 两个公式中唯一的变量是半径R
前提条件
球的半径为R
球的表面积公式
S球＝4πR2
球的体积公式
V球＝πR3
球的表面积公式与体积公式的联系
V球＝S球R
教材拓展补遗
[微判断]
1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.(×)
2.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(√)
3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(×)
提示 1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶8.
3.S表＝4πR2＝4S大圆＝πR2.
[微训练]
1.直径为1的球的体积是( )
A.1 B. C. D.π
解析 R＝，故V＝πR3＝×π×＝.
答案 B
2.若一个球的体积为4π，则它的表面积为( )
A.3π B.12 C.12π D.36π
解析 设球的半径为R，依题意有R3＝4π，所以R＝，S＝4πR2＝12π.
答案 C
3.表面积为8π的球的半径是______.
解析 S＝4πR2＝8π，故R＝.
答案
[微思考]
推导球的体积公式的过程中，应用了什么思想方法？
提示 应用分割球体和极限的思想方法，从而转化为若干个“小锥体”的体积之和.
题型一 球的体积和表面积
【例1】 (1)一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
A.64π B. C.32π D.
解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝πR3＝π.
答案 D
(2)据说伟大的阿基米德逝世以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.
解 设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，
圆锥的底面半径为r，高为h，则V圆锥＝πr2h，
球的半径为r，所以V球＝πr3，
又h＝2r，所以V圆锥∶V球∶V圆柱＝∶∶(πr2h)＝∶∶＝1∶2∶3.
规律方法 公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
【训练1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(2)已知球的体积为π，求它的表面积.
解 (1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的体积V＝πR3＝π·43＝π.
(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
题型二 球的截面及切、接问题
探究1 球的截面问题
【例2－1】 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积.
解 当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
(1)
设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②
联立①②可得x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，
故球的表面积为2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.
(2)
设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.
设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.
∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.
探究2 外接球问题
【例2－2】 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
解 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝.
在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，
即a2＋＝R2，∴R＝a.
从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.
因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
探究3 内切球问题
【例2－3】 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________.
解析 设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以＝＝.
答案
规律方法 (1)球的截面问题的方法归纳：
设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截
面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.
(2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
【训练2】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________.
解析 (1)作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
(2)由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
答案 (1)B (2)
(3)在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.
解 依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×3＝.
由R2＝＋()2，得R＝2.
所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
一、素养落地
1.通过了解球及几何体的外接、内切球的结构特征，并计算球的体积和表面积，重点培养直观想象和数学运算素养.
2.球的表面积、体积与半径之间的函数关系
从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.
3.用一个平面截球所得截面的特征
(1)用一个平面去截球，截面是圆面.
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r有下面的关系：r＝.
二、素养训练
1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )
A. B.1 C.2 D.3
解析 设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.
答案 D
2.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )
A. B.
C.20π D.
解析 用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r＝＝，所以球的体积为：π()3＝.故选B.
答案 B
3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________.
解析 设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，
R3＝2，∴R＝.
答案
4.正四棱柱的底面边长为1，高为2，其8个顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积是多少？
解 易得球的半径R＝＝，所以球的表面积是S＝4πR2＝6π.
基础达标
一、选择题
1.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
A.1∶9 B.1∶27
C.1∶3 D.1∶1
解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R∶R＝1∶9.
答案 A
2.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
A.π B. C.4π D.32π
解析 设正方体的棱长为a，则由题意可知，6a2＝24，
∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
答案 C
3.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( )
A.8 B.8 C.8 D.4
解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝.
∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8.
答案 A
4.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )
A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
解析 设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
∴3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.故选B.
答案 B
5.设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )
A.π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
解析 由正方体的表面积为24 cm2，得正方体的棱长为2 cm，故这个球的直径为2 cm，故这个球的体积为π cm3.
答案 D
二、填空题
6.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.
解析 球的直径是长方体的体对角线，所以2R＝＝，S＝4πR2＝14π.
答案 14π
7.已知三个球的表面积之比是1∶2∶3，则这三个球的体积之比为________.
解析 设三个球的半径分别为a，b，c，根据球的表面积公式得出4πa2∶4πb2∶4πc2＝1∶2∶3，所以它们的半径之比为a∶b∶c＝1∶∶.则它们的体积之比是a3∶b3∶c3＝1∶2∶3.
答案 1∶2∶3
8.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于________.
解析 设两圆的圆心分别为O1，O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，
于是对角线O1O2＝OE，而OE＝＝，
∴O1O2＝.
答案
三、解答题
9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积.
解 如图，设球心为O，球的半径为r，EF为正四棱锥的高，
则在Rt△AOF中，
(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
∴该球的表面积为
4πr2＝4π×＝π.
10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
解 如图，⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水面在MN处，MN与CD交于点E.则DO＝r，AD＝r，AB＝AC＝BC＝2r，
∴CD＝3r.由图形知V圆锥CE∶V圆锥CD＝
∶＝CE3∶CD3.
又∵V圆锥CD＝(r)2·3r＝3πr3，
V圆锥CE＝V圆锥CD－V球O＝3πr3－πr3＝πr3，
∴∶3πr3＝CE3∶(3r)3，∴CE＝r.
∴球从容器中取出后，水的深度为r.
能力提升
11.正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，下面关系中成立的是( )
A.S球>S柱>S正 B.S正>S球>S柱
C.S正>S柱>S球 D.S柱>S正>S球
解析 设正方体的棱长为a，则体积V＝a3，S正＝6a2＝6.
设等边圆柱(轴截面是正方形)的高为2h，则体积V＝π·h2·2h＝2πh3，S柱＝6πh2＝3.
设球的半径为R，则体积V＝πR3，S球＝4πR2＝.
∴S正>S柱>S球.故选C.
答案 C
12.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，求：
(1)棱锥的表面积；
(2)内切球的表面积与体积.
解 (1)如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连接AD并延长交BC于E，连接PE.
∵P－ABC为正三棱锥，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心.
∵AB＝2，∴S△ABC＝×(2)2＝6，
DE＝×AB＝，PE＝.
S△PAB＝S△PBC＝S△PCA＝×2×＝3.
∴S表＝9＋6.
(2)设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥.
∵PD＝1，∴VP－ABC＝·6·1＝2.
则由等体积可得r＝＝－2，
∴S球＝4π(－2)2＝(40－16)π，V球＝(－2)3π.
创新猜想
13.(开放题)正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，外接球的表面积为24π，则正四棱锥P－ABCD的高可能是________.
解析 设四棱锥的高为h，外接球的半径为R，由4πR2＝24π，得R＝.
如图(1)所示：OH2＋HC2＝OC2，
即(h－)2＋2＝6，得h＝2＋.
如图(2)所示：OH2＋HC2＝OC2，
即(－h)2＋2＝6，得h＝－2.
图(1) 图(2)
答案 2＋(或－2)
14.(多填题)有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点.设这三个球的表面积依次为S1，S2，S3，若正方体的棱长为a，则S1＝________，S2＝________，S3＝________.
解析 设这三个球的半径分别为r1，r2，r3，球的表面积分别为S1，S2，S3.作出截面图，分别求出三个球的半径.
正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①所示，有2r1＝a，∴r1＝，∴S1＝4πr＝πa2.
球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②所示，有2r2＝a，∴r2＝a，∴S2＝4πr＝2πa2.
正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③所示，有2r3＝a，∴r3＝a，∴S3＝4πr＝3πa2.
答案 πa2 2πa2 3πa2
课件29张PPT。第二课时 球的表面积和体积教材知识探究烟台黄海游乐城中有一个巨大的球形建筑，高30米，直径21.8米，由不锈钢网架结构筑成，叫做“黄海明珠”，球内共分六层，主要以游客餐饮娱乐为主.问题 (1)若要在球体结构表面重新装修，贴上一层蓝色的玻璃，那么所需的材料多少与球的哪个量有关？
(2)若要衡量球体结构内能够容纳多少游客，则应考虑球的哪个量？
(3)若要加大此球体的容客量，则球体的半径应发生了什么变化？
提示 (1)与球的表面积有关.
(2)与球体的体积有关.
(3)球体的半径应变大.球的表面积与体积公式两个公式中唯一的变量是半径R4πR2教材拓展补遗
[微判断]
1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
2.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )
3.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( )提示 1.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶8.
3.S表＝4πR2＝4S大圆＝πR2.×√×[微训练]
1.直径为1的球的体积是( )A.3π B.12 C.12π D.36π3.表面积为8π的球的半径是______.[微思考]推导球的体积公式的过程中，应用了什么思想方法？
提示 应用分割球体和极限的思想方法，从而转化为若干个“小锥体”的体积之和.题型一 球的体积和表面积
【例1】 (1)一个球的表面积是16π，则它的体积是( )(2)据说伟大的阿基米德逝世以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑.在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解 设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，规律方法 公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.【训练1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；题型二 球的截面及切、接问题 找到球心和半径是关键探究1 球的截面问题
【例2－1】 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和
400π cm2，求球的表面积.解 当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理，得O1A＝20 cm.(1)设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①
在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②
联立①②可得x＝15，R＝25.
∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，
故球的表面积为2 500π cm2.
当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.(2)设球的半径为R，
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.
设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.
在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.
∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去.
综上所述，球的表面积为2 500π cm2.探究2 外接球问题
【例2－2】 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，探究3 内切球问题规律方法 (1)球的截面问题的方法归纳：
设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截
面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面进行求解.
(2)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.【训练2】 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________.(3)在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.一、素养落地
1.通过了解球及几何体的外接、内切球的结构特征，并计算球的体积和表面积，重点培养直观想象和数学运算素养.
2.球的表面积、体积与半径之间的函数关系
从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.3.用一个平面截球所得截面的特征二、素养训练
1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) 答案 D2.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________.4.正四棱柱的底面边长为1，高为2，其8个顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积是多少？
