8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
课标要求
素养要求
了解基本事实1～3(基本事实1～3也称公理).
在学习平面的概念和基本事实1～3的过程中，把现实生活中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.
教材知识探究
宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题 (1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
提示 (1)有.
(2)从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.
1.平面的画法与表示
(1)平面的画法
画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向
图示
(2)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.
2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合
文字语言
符号语言
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
平面α，β相交于l
α∩β＝l
3.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1的三个推论
推论
内容
图形
作用
推论1
经一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
教材拓展补遗
[微判断]
1.一个平面的面积是16 cm2.(×)
2.直线l与平面α有且只有两个公共点.(×)
3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.(×)
4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.(×)
5.空间不同三点确定一个平面.(×)
提示 1.平面是没有大小的.
2.一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点.
3.也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.
4.平面是没有大小、厚度之分的.
5.只有不共线的三点可以确定一个平面.
[微训练]
1.若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
解析 直线在平面外有两种情况：一是无公共点即平行，二是有一个公共点即相交.
答案 D
2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
答案 D
3.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a?α，则A?α；
②若A∈α，a?α，则A∈a；
③若A?a，a?α，则A?α；
④若A∈a，a?α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①可能a∩α＝A；②A可以不在直线a上；③与②相近；④正确.
答案 B
[微思考]
1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形.
2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 二部分.
3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面.
4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内.
5.基本事实3有什么作用？
提示 ①判定两平面相交的依据；②判定点在直线上.
题型一 三种语言的转换
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解 (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.
规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【训练1】 (1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作( )
A.A∈b∈β B.A∈b?β
C.A?b?β D.A?b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为( )
A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案 (1)B (2)A
题型二 点、线共面问题
【例2】 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【训练2】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二 (同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
题型三 点共线、线共点、面共线问题
探究1 线共点问题
【例3－1】 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.
证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.
又C1G＝GC，CF＝BF，
∴GF∥C1B，且GF＝C1B.
∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG?平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.
探究2 点共线问题
【例3－2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明 如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1?平面A1BCD1.
同理，BD1?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
探究3 面共线问题
【例3－3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.
解 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.
又∵D1F?平面BED1F，
DA?平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.
规律方法 (1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据.
【训练3】 如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线上.
证明 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定平面AC.∵AD∩α＝H，∴H∈平面AC，H∈α，由基本事实3可知，H必在平面AC与平面α的交线上.同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一条直线上.
一、素养落地
1.通过现实生活中的事物抽象出平面的概念和事实，并利用这些事实解决一些问题，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.三个基本事实的作用：基本事实1及其推论的作用是判定点共面、线共面；基本事实2的作用是判定直线在平面内；基本事实3的作用是判定多点共线、多线共点.
二、素养训练
1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )
A.黑板面 B.乒乓球桌面
C.篮球的表面 D.平静的水面
解析 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.
答案 C
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
解析 B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.
答案 A
3.设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
解析 因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案 ∈
4.用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m不在平面α内.
解 (1)A∈α，B?α，图形如图所示.
(2)l?α，m?α，图形如图所示.
基础达标
一、选择题
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面
解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.
答案 D
2.下列命题中正确的是( )
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
解析 共线的三点不能确定一个平面，故A错；当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形.
答案 B
3.已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
解析 当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线.
答案 D
4.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β?α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β).
由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误.
答案 C
5.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
解析 如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
答案 B
二、填空题
6.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面.
解析 (1)当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；
(2)当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
答案 1或4
7.给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确的个数是________.
解析 命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱.命题③错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上.命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为0.
答案 0
8.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
解析 (1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
答案 (1)4 (2)7
三、解答题
9.若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
解 ∵若α∩β＝l，A，B∈α，
∴AB是平面ABC与α的交线，
延长BA交l于D，则D∈平面ABC，
∵C∈β，∴CD是平面ABC与β的交线，
则对应的图示如图.
10.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
证明 法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三点共线.
能力提升
11.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF与HG交于点M，则( )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在AC上，也可能在BD上
D.M不在AC上，也不在BD上
解析 由题意得EF?平面ABC，HG?平面ACD，又EF∩HG＝M，故M∈平面ABC，且M∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M一定在直线AC上.
答案 A
12.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且＝＝1，＝＝2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
证明 连接EF，GH，AC.
因为＝＝1，＝＝2，
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG，
所以EH，FG共面，且EH与FG不平行，
不妨设EH∩FG＝P，
则P∈EH，EH?平面ABD，所以P∈平面ABD；同理P∈平面BCD.
又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是( )
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
解析 在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确，D不正确.
答案 ABC
14.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( )
A.A，C，O1，D1四点共面
B.D，E，G，F四点共面
C.A，E，F，D1四点共面
D.G，E，O1，O2四点共面
解析 因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面.
答案 ACD
课件34张PPT。8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面教材知识探究宁静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？问题 (1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
提示 (1)有.
(2)从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.1.平面的画法与表示(1)平面的画法(2)平面的表示方法
①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αα∩β＝l3.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实不在一条直线上两个点过该点的公共直线P∈αP∈β(2)基本事实1的三个推论教材拓展补遗
[微判断]
1.一个平面的面积是16 cm2.( )
2.直线l与平面α有且只有两个公共点.( )
3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.( )
4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( )
5.空间不同三点确定一个平面.( )×××××提示 1.平面是没有大小的.
2.一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只有2个公共点.
3.也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.
4.平面是没有大小、厚度之分的.
5.只有不共线的三点可以确定一个平面.[微训练]
1.若直线上有两个点在平面外，则( )A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
解析 直线在平面外有两种情况：一是无公共点即平行，二是有一个公共点即相交.
答案 D2.如图表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D3.已知点A，直线a，平面α.①若A∈a，a?α，则A?α；
②若A∈α，a?α，则A∈a；
③若A?a，a?α，则A?α；
④若A∈a，a?α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①可能a∩α＝A；②A可以不在直线a上；③与②相近；④正确.
答案 B[微思考]
1.几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
提示 没有.平行四边形.
2.一个平面把空间分成了几部分？
提示 二部分.
3.基本事实1有什么作用？
提示 ①确定平面的依据；②判定点线共面.
4.基本事实2有什么作用？
提示 ①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内.
5.基本事实3有什么作用？
提示 ①判定两平面相交的依据；②判定点在直线上.题型一 三种语言的转换
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.解 (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【训练1】 (1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作( )A.A∈b∈β B.A∈b?β
C.A?b?β D.A?b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为( )A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
答案 (1)B (2)A题型二 点、线共面问题
【例2】 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.【训练2】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明 法一 (纳入法)∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.法二 (同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.题型三 点共线、线共点、面共线问题 解题误区是“思维混乱，言之无据”探究1 线共点问题
【例3－1】 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点.求证：FE，HG，DC三线共点.证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B.∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交.设交点为K，
∴K∈HG，HG?平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴K∈平面ABCD，
∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，
∴EF，HG，DC三线共点.探究2 点共线问题
【例3－2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明 如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1?平面A1BCD1.
同理，BD1?平面ABC1D1，
∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，
∴B，Q，D1三点共线.探究3 面共线问题
【例3－3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由.解 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.
又∵D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.规律方法 (1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点.基本事实3是解决此类问题的主要依据.【训练3】 如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线上.证明 ∵AB∥CD，∴AB，CD确定平面AC.∵AD∩α＝H，∴H∈平面AC，H∈α，由基本事实3可知，H必在平面AC与平面α的交线上.同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一条直线上.一、素养落地
1.通过现实生活中的事物抽象出平面的概念和事实，并利用这些事实解决一些问题，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.
2.三个基本事实的作用：基本事实1及其推论的作用是判定点共面、线共面；基本事实2的作用是判定直线在平面内；基本事实3的作用是判定多点共线、多线共点.二、素养训练
1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )A.黑板面 B.乒乓球桌面
C.篮球的表面 D.平静的水面
解析 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.
答案 C2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )解析 B中直线a不应超出表示平面α的平行四边形；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.
答案 A3.设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.解析 因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案 ∈4.用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；
(2)直线l在平面α内，直线m不在平面α内.解 (1)A∈α，B?α，图形如图所示.(2)l?α，m?α，图形如图所示.
