9.2.3 总体集中趋势的估计
课标要求
素养要求
1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数).
2.理解集中趋势参数的统计含义.
在学习和应用平均数、中位数和众数的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
教材知识探究
现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.
问题 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
提示 三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.
1.众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数.
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.
2.众数、中位数和平均数的比较
名称
优点
缺点
众数
体现了样本数据的最大集中点
众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
中位数
不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响
对极端值不敏感
平均数
与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大
,教材拓展补遗
[微判断]
1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(√)
2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.(×)
3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.(×)
提示 2.样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
3.若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变.
[微训练]
1.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A.14，14 B.12，14
C.14，15.5 D.12，15.5
解析 把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
答案 A
2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
解析 ＝6.
答案 6
[微思考]
一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
提示 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.
题型一 众数、中位数、平均数的计算
【例1】 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11
则下面结论中正确的是________(填序号).
①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24.
解析 把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23
故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，故④不正确.
答案 ①②③
规律方法 计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.
【训练1】 贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为( )
A.170 B.165 C.160 D.150
解析 把数据从小到大排列为：10，30，30，40，40，50，60，60，60，70，则这组数据的众数为60，中位数为(40＋50)＝45，平均数为(10＋30＋30＋40＋40＋50＋60＋60＋60＋70)＝45，故三者之和为60＋45＋45＝150.
答案 D
题型二 利用众数、中位数、平均数估计总体
【例2】 据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
11 000
10 000
9 000
8 000
6 500
5 500
4 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.
解 (1)平均数是：＝4 000＋
≈4 000＋1 333＝5 333(元).
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是′＝4 000＋
≈4 000＋2 212＝6 212(元)，
中位数是4 000元，众数是4 000元.
(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
规律方法 众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.
【训练2】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解 (1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
题型三 利用频率分布直方图求数据的众数、中位数及平均数
注意应用“方程的思想方法”
【例3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数.
解 (1)由题干图知众数为＝75，则这80名学生的数学成绩的众数为75分.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，设为x，得0.1＝0.03×(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.
【迁移1】 (变结论)若例3的条件不变，求数学成绩的平均分.
解 由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72(分).
【迁移2】 (变结论)若例3条件不变，求80分以下的学生人数.
解 分数在[40，80)内的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，
所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
规律方法 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.
【训练3】 从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.
解 (1)最高矩形的高是0.03，其底边中点是＝75，则这50名学生成绩的众数估计是75分.
频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，设中位数是m，则70＜m＜80，则0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即这50名学生成绩的中位数约是76.7分.
(2)每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标的和为0.004×10×＋0.006×10×＋0.02×10×＋0.03×10×＋0.024×10×＋0.016×10×＝76.2.
即这50名学生的平均成绩约是76.2分.
一、素养落地
1.通过学习平均数、中位数和众数的计算及应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养.
2.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序.
3.利用频率分布直方图求数字特征：
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
二、素养训练
1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )
A.5 B.6 C.4 D.5.5
解析 由题意得(4＋x)＝5，得x＝6，从而这组数据的众数为6.
答案 B
2.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为( )
A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64
解析 由条件得＝(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55.
答案 A
3.已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示：
甲：27，m，39；乙：n，32，34，38.
若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则＝________.
解析 因为两组数据的中位数相同，所以m＝(32＋34)＝33，由于两组数据的平均数相同，所以(27＋33＋39)＝(n＋32＋34＋38).解得n＝28，故＝.
答案
4.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.
解 (1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分.
三、审题答题
示范(五) 频率分布直方图中的数字特征问题
【典型示例】 (12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图①；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35__m3的频率②；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水③？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
联想解题
看到①想到画频率分布直方图的步骤.
看到②想到各小矩形的面积即为数据落在各小矩形内的频率.
看到③想到一天平均能节约多少水.
满分示范
解 (1)频率分布直方图如图：
4分
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天的日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的频率的估计值为0.48.7分
(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为
1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.9分
该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为
2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分
满分心得
解题的关键是理解频率分布直方图的意义，即各小矩形的面积表示的是数据落在相应区间上的频率.
基础达标
一、选择题
1.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
A.20 B. 25
C.22.5 D.22.75
解析 设中位数为x，则0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5.
答案 C
2.下列数据的中位数和众数分别是( )
79，84，84，86，84，87，93
A.84，84 B.84，86
C.85，84 D.86，84
解析 把数据由小到大排列得79，84，84，84，86，87，93，可知众数和中位数都是84.
答案 A
3.已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为( )
A. B.
C. D.
解析 前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10.
答案 B
4.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
解析 把数据由小到大排列可得：
10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，
故a＝14.7，b＝15，c＝17，所以c>b>a.
答案 D
5.一组数据1，10，5，2，x，2，且2A.3 B.4 C.4.5 D.5
解析 因为2答案 B
二、填空题
6.已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________.
解析 由条件知＝＝5，则所求平均数
0＝＝
＝2＋1＝2×5＋1＝11.
答案 11
7.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为165，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________.
解析 数据的和相差了165－105＝60，平均相差＝2，故求出的平均数与实际平均数相差2.
答案 2
8.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
解析 ∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
答案 65 62.5
三、解答题
9.一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
解 众数＝＝40；
中位数为39.99＋＝39.998；
四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1，0.02×10＝0.2，0.02×25＝0.5，0.02×10＝0.2.
平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996.
10.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
能力提升
11.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人，根据统计图可计算该校学生每人捐款的平均数约为________元(结果保留整数).
解析 根据统计图，得
高一人数为3 000×32%＝960，
捐款960×15＝14 400(元)；
高二人数为3 000×33%＝990，
捐款990×13＝12 870(元)；
高三人数为3 000×35%＝1 050，
捐款1 050×10＝10 500(元)；
所以该校学生共捐款14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元).
故捐款的平均数为37 770÷3 000＝12.59≈13(元).
答案 13
12.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？
解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5，
故直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数为＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，
0.45＋0.012 5×20＝0.7>0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，
设中位数为a，
由0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，
得a＝224，即月平均用电量的中位数为224.
(3)月平均用电量在[220，240)内的有0.012 5×20×100＝25(户)，
月平均用电量在[240，260)内的有0.007 5×20×100＝15(户)，
月平均用电量在[260，280)内的有0.005×20×100＝10(户)，
月平均用电量在[280，300]内的有0.002 5×20×100＝5(户)，
抽取比例为＝，
∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×＝5(户).
创新猜想
13.(多选题)如图，样本A，B分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A，B，中位数分别为yA，yB，则( )
A.A>B B.A<B
C.yA>yB D.yA解析 由题图知，A组的6个数从小到大排列为2.5，2.5，5，7.5，10，10；B组的6个数从小到大排列为6，6，6，7.5，7.5，9，
所以A＝＝6.25，
B＝＝7.
显然A<B.
又yA＝(5＋7.5)＝6.25，yB＝＝6.75，
所以yA答案 BD
14.(多填题)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示.现用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时.
解析 由分层随机抽样可知，
第一分厂应抽取100×50%＝50(件).
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时).
答案 50 1015
课件40张PPT。9.2.3 总体集中趋势的估计教材知识探究现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.问题 三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？
提示 三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年.1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中______________的数.
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_______位置的数.如果个数是偶数，则取_______两个数据的平均数.
(3)平均数：一组数据的____除以数据个数所得到的数.出现次数最多中间中间和2.众数、中位数和平均数的比较教材拓展补遗
[微判断]
1.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.( )
3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变.( )提示 2.样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
3.若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变.√××[微训练]
1.一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为( )A.14，14 B.12，14
C.14，15.5 D.12，15.5
解析 把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.
答案 A2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.答案 6[微思考]一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？
提示 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.题型一 众数、 、平均数的计算 求解步骤：先排后算中位数【例1】 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示 ：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11
则下面结论中正确的是________(填序号).
①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24.解析 把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23答案 ①②③【训练1】 贵阳地铁1号线于2017年12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数、平均数、中位数的和为( )
A.170 B.165 C.160 D.150规律方法 计算一组数据的众数、中位数和平均数时，一般都要先处理数据，即按从小到大的顺序排列数据，然后根据众数、中位数、平均数的概念及计算方法求解.答案 D题型二 利用众数、中位数、平均数估计总体
【例2】 据了解，某公司的33名职工月工资(单位：元)如下：(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从10 000元提升到20 000元，董事长的工资从11 000元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法.解 (1)平均数是：中位数是4 000元，众数是4 000元.
(2)平均数是中位数是4 000元，众数是4 000元.(3)在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.规律方法 众数、中位数、平均数的意义
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算、不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势.【训练2】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？题型三 利用频率分布直方图求数据的众数、中位数及平均数注意应用“方程的思想方法”【例3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数.(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，设为x，得0.1＝0.03×(x－70)，所以x≈73.3，即这80名学生的数学成绩的中位数为73.3分.【迁移1】 (变结论)若例3的条件不变，求数学成绩的平均分.【迁移2】 (变结论)若例3条件不变，求80分以下的学生人数.解 分数在[40，80)内的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，
所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.规律方法 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和.【训练3】 从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩.频率分布直方图中，从左到右前3个和前4个矩形的面积和分别是(0.004＋0.006＋0.02)×10＝0.3＜0.5，(0.004＋0.006＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5，设中位数是m，则70＜m＜80，则0.3＋(m－70)×0.03＝0.5，解得m≈76.7(分)，即这50名学生成绩的中位数约是76.7分.即这50名学生的平均成绩约是76.2分.一、素养落地
1.通过学习平均数、中位数和众数的计算及应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养.
2.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序.
3.利用频率分布直方图求数字特征：
(1)众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.二、素养训练
1.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为( )A.5 B.6 C.4 D.5.5答案 B2.一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为( )A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64答案 A3.已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示：4.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.解 (1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，第二个小矩形的面积为0.4，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分.三、审题答题
示范(五) 频率分布直方图中的数字特征问题
【典型示例】 (12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图①；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的频率②；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水③？(一年按365天计算，同一组
中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)联想解题
看到①想到画频率分布直方图的步骤.看到②想到各小矩形的面积即为数据落在各小矩形内的频率.看到③想到一天平均能节约多少水.满分示范
解 (1)频率分布直方图如图：4分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天的日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的频率的估计值为0.48.7分
(3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).12分满分心得
解题的关键是理解频率分布直方图的意义，即各小矩形的面积表示的是数据落在相应区间上的频率.
