9.2.4 总体离散程度的估计
课标要求
素养要求
1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).
2.理解离散程度参数的统计含义.
在学习和应用标准差、方差和极差的过程中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.
教材知识探究
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
提示 不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
1.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a，方差为m2s2
数据x1，x2，…，xn的方差为__(xi－)2＝x－2，标准差为.
2.总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝__(Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2.
3.样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝__(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
4.标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
5.分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2].
教材拓展补遗
[微判断]
1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.(√)
2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(√)
3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(×)
提示 3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中.
[微训练]
1.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
A.s3＞s1＞s2 B.s2＞s1＞s3
C.s1＞s2＞s3 D.s3＞s2＞s1
解析 所给图是成绩分布图，平均分是75，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.
答案 D
2.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________.
解析 (1)＝＝7.
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
答案 (1)7 (2)2
[微思考]
1.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均分为80，方差为2，乙班的数学成绩的平均分为82，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是＝81吗？方差是＝3吗？为什么？
提示 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的.
2.如何理解方差与标准差的概念？
提示 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
题型一 标准差、方差的计算与应用
【例1】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
解 (1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm).
所以甲<乙.
即乙种玉米苗长得高.
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝×1 288＝128.8(cm2).
所以s即甲种玉米苗长得齐.
规律方法 用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.
【训练1】 某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
求全班这次考试成绩的平均数和标准差.
解 设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40，全班平均成绩为，标准差为s.
根据题意，有＝＝85，
42＝(x＋x＋…＋x－20×902)，
62＝(x＋x＋…＋x－20×802)，
∴x＋x＋…＋x＝20×(42＋62＋902＋802)
＝291 040.
∴s2＝(x＋x＋…＋x－402)
＝(291 040－40×852)＝51，
∴s＝.
题型二 分层随机抽样的方差
【例2】 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
解 由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝，
乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为＝，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
规律方法 计算分层随机抽样的方差s2的步骤：
(1)确定1，2，s，s，
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2.
【训练2】 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
解析 设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.
答案 118.52
题型三 方差、标准差与统计图表的综合应用
【例3】 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
解 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；
乙：13，14，12，12，14.
甲＝＝13，
乙＝＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)s>s可知乙的成绩较稳定.
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
规律方法 折线统计图中数字特征的求解技巧
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.
【训练3】 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________________(用“>”连接).
解析 根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分数都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1>s2>s3.
答案 s1>s2>s3
一、素养落地
1.通过学习方差、标准差的计算与应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养.
2.标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
二、素养训练
1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数
解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
答案 B
2.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( )
A.1 B. C. D.2
解析 ∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
＝.
答案 B
3.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2 C.2.6 D.2.5
解析 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6.
答案 C
4.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
解 (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
基础达标
一、选择题
1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
解析 平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据从小到大或从大到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶数，则取中间两个数据的平均数.平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度.
答案 B
2.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32
解析 令yi＝2xi－1(i＝1，2，3，…，10)，则所求的标准差为s＝2×8＝16.
答案 C
3.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91.则7个剩余分数的方差为( )
A. B. C.36 D.
解析 由题意知去掉的两个数是87，99，
所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.
故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.
答案 B
4.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为甲、乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )
A.甲<乙，σ甲<σ乙 B.甲<乙，σ甲>σ乙
C.甲>乙，σ甲<σ乙 D.甲>乙，σ甲>σ乙
解析 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都远高于乙同学，可知甲>乙，观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙，故选C.
答案 C
5.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数录错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )
A.70，75 B.70，50
C.75，1.04 D.65，2.35
解析 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，
而更正前有75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，
化简整理得s2＝50.
答案 B
二、填空题
6.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).
解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.
答案 丙
7.已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.
解析 这组数据的平均数＝(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，故s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.
答案 0.1
8.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.
解析 设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知
s2＝ω男[s＋(男－)2]＋ω女[s＋(女－)2]，即
ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝，ω女＝，
因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.
答案 200
三、解答题
9.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
解 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
高＝＝45(岁)，
年龄的方差为
s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]
＝73，
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
＝×38＋×45≈39.2(岁)，
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]
＝20.64.
10.已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？
时刻(时)
4
8
12
16
20
24
温度(℃)
甲地
－5
7
15
14
－4
－3
乙地
1
4
10
7
2
0
解 ①甲＝×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4(℃)，
乙＝×(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4(℃).
②标准差：
s甲＝≈8.4，
s乙＝≈3.5，
显然两地的平均温度相等，乙地温度的标准差较小，说明乙地温度波动较小.
因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
能力提升
11.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________.
解析 设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋402－2 (x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
答案 0.9
12.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100户居民的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)用每组区间的中点的横坐标作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差.
解 (1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.
(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是
1＝0.25，2＝0.75，3＝1.25，4＝1.75，5＝2.25，6＝2.75，7＝3.25，8＝3.75，9＝4.25，
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03，
则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6.
创新猜想
13.(多选题)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(每项能力的指标值满分均为5分，分值高者为优)，绘制如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造能力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述正确的是( )
A.乙的记忆能力优于甲
B.乙的观察能力优于创造能力
C.甲的六大能力整体水平优于乙
D.甲的六大能力比乙较均衡
解析 由六维能力雷达图，知乙的记忆能力指标值是4，甲的记忆能力指标值是5，故甲的记忆能力优于乙的记忆能力，故A错误；乙的创造能力指标值是3，观察能力指标值是4，故乙的观察能力优于创造能力，故B正确；甲的六大能力之和为25，乙的六大能力之和为24，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故C正确；甲的六大能力指标值的方差为s＝，乙的六大能力指标值的方差为s＝，所以s答案 BCD
14.(多填题)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：
班级
平均分
众数
中位数
标准差
甲班
79
70
87
19.8
乙班
79
70
79
5.2
根据上述表格，对比甲、乙两班的成绩，对甲班提出的教学建议是________，对乙班提出的教学建议是________.
解析 甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；
乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.
答案 对学习有困难的同学多一些帮助 采取措施提高优秀率
课件36张PPT。9.2.4 总体离散程度的估计教材知识探究甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
提示 不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.1.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差数据x1，x2，…，xn的方差为________________＝________________，标准差为________________.2.总体方差和标准差3.样本方差和标准差4.标准差的意义标准差刻画了数据的___________或___________，标准差越大，数据的离散程度越_____；标准差越小，数据的离散程度越_____.5.分层随机抽样的方差离散程度波动幅度大小教材拓展补遗
[微判断]
1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.( )
2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( )提示 3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中.√√×[微训练]
1.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )A.s3＞s1＞s2 B.s2＞s1＞s3
C.s1＞s2＞s3 D.s3＞s2＞s1解析 所给图是成绩分布图，平均分是75，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间.由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.
答案 D2.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________.答案 (1)7 (2)2[微思考]提示 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的.2.如何理解方差与标准差的概念？提示 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.题型一 标准差、方差的计算与应用
【例1】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？ 方差是体现一组数据波动大小的特征数规律方法 用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.【训练1】 某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：求全班这次考试成绩的平均数和标准差.题型二 分层随机抽样的方差
【例2】 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？【训练2】 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.答案 118.52题型三 方差、标准差与统计图表的综合应用
【例3】 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.解 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.规律方法 折线统计图中数字特征的求解技巧
根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.【训练3】 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________________(用“>”连接).解析 根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差比甲的小；丙的数据大部分数都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故s1>s2>s3.
答案 s1>s2>s3一、素养落地
1.通过学习方差、标准差的计算与应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养.
2.标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.二、素养训练
1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数
解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
答案 B2.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( )答案 B3.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：答案 C4.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
