第六章 平面向量及其应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
向量的发展与起源
向量又称为矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
牛顿
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学.
亚里士多德
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一枝好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒涤，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这枝箭要射雁行内第三只雁头上，射不中时，众头领休笑.”花荣打上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下.急叫军士取来看时，那枝箭正穿在雁头上.晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”.
图1
2.高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要头脑和全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”.方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远.
图2
3.我们骑车的时候经常会遇到顺风与逆风，你对顺风骑车和逆风骑车有怎样的感受？
图3
4.一个人打算从北京去重庆旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车到武汉，然后乘轮船沿长江到重庆，如图3所示.
图4
问题1：你能从数学的角度来解释“花荣射雁”的功夫及高尔夫球运动中“方向比距离更重要”原因吗？
问题2：骑车运动中的顺风与逆风的感受不同，你能从数学的角度去解释一下理由吗？
问题3：图4中这几种情况下：①他的位置变动是不同的；②他走过的路程相同；③他的运动轨迹不一样；④他的位移是相同的.你能从数学的角度解释它们是否正确吗？
链接：(1)在高尔夫球运动中用到的是数学中向量的有关知识，打球时既要考虑力量的大小同时还要考虑球前进的方向.
(2)顺风骑车快，逆风骑车慢，用向量的知识来解释就是，车速与风速都是既有方向又有大小的量，都可以用向量来刻画.
(3)这几种情况下的路程各不相同，但是直线距离与方向是没有发生变化的，可以从向量的角度来解释.
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
课标要求
素养要求
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
从力、速度、位移等实际情景入手，经历从具体到抽象的知识发展过程，发展学生的数学抽象素养及直观想象素养.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)?
问题 猫能否追到老鼠？
提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了.
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量.
生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.
1.向量的定义及表示
向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示：
①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
2.向量的有关概念
相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
向量名称
定义
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
教材拓展补遗
[微判断]
1.如果|| >||，那么>.(×)
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(×)
3.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(√)
4.零向量的大小为0，没有方向.(×)
提示 1.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同.
3.若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.
4.任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
[微训练]
1.下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速.其中向量有( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
解析 由向量的概念可知：浮力与风速是向量，密度与温度是数量，故选C.实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等.
答案 C
2.下列关于向量的说法中，正确的是( )
A.长度相等的两向量必相等
B.两向量相等，其长度不一定相等
C.向量的大小与有向线段的起点无关
D.向量的大小与有向线段的起点有关
解析 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错误；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点无关，故C正确，D错误.
答案 C
3.设O是正△ABC的中心，则向量，，是______(填上正确的序号).
①平行向量；②模相等的向量；③相等向量.
解析 由O是正△ABC的中心，知O点到三个顶点A，B，C的距离相等，但三个向量的方向既不相同也不相反，所以，，的模相等.
答案 ②
[微思考]
1.向量与有向线段有什么区别？
提示 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.
有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.
2.若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？
提示 不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.
3.不相等的两个向量a，b可能平行吗？
提示 可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：
(1)两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；
(2)两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；
(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.
题型一 向量的概念
【例1】 下列说法正确的是( )
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b＝0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
答案 A
规律方法 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的.
【训练1】 下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
答案 D
题型二 相等向量与共线向量
两个向量共线不一定同向，但同向一定共线，同时相等向量的起点也不一定相同
【例2】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.
解 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，.
(2)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
规律方法 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
【训练2】 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量为______；
(2)若||＝3，则向量的模等于________.
解析 (1)在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵＝，＝，∴＝.
(2)由(1)知，＝，
∴E、D、C三点共线，||＝||＋||＝2||＝6.
答案 (1)、 (2)6
题型三 向量的表示及应用
我们在用有向线段表示向量时要注意两者的区别，有向线段是个几何图形，有起点、大小和方向，可以直观的表示向量，但不等于向量
【例3】 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
(1)作出，，；
(2)求||.
解 (1)如图所示，作出，，.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝BC＝400 km，所以||＝400 km.
【迁移】 在例3的四边形ABCD中，是否一定有＝？
解 是，因为AB与DC平行且相等，与的方向也相同，所以＝.
规律方法 平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
【训练3】 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)作出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置.
解 (1)向量，，，，如图所示.
(2)由题意知＝，
∴AD綉BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置为“北偏东60°，长度为6千米”.
一、素养落地
1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养.
2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.
3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
4.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
二、素养训练
1.下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于0；③正确；④错，向量不能比较大小.
答案 B
2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
A.＝ B.||＝||
C.> D.<
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
答案 B
3.有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量0＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等.
其中，正确的说法是________(填序号).
解析
序号
正误
原因
①
√
||＝||＝CB
②
×
0是一个向量，而0是一个数量
③
×
向量不能比较大小
④
×
单位向量的模均为1，但方向不一定相同
答案 ①
4.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等方向相同(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略).
基础达标
一、选择题
1.下列说法错误的是( )
A.若a＝0，则|a|＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.
答案 B
2.下列结论中，正确的是( )
A.2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得，是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D.一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
解析 一个单位长度取作2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误，B正确；C中两向量为平行向量，故C错误；D中表示从点A到点B的位移，故D错误.
答案 B
3.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.与共线 B.与共线
C.与相等 D.与相等
解析 如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以与共线.
答案 B
4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析 ∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，则AO＝OC，即＝.
答案 D
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是( )
A.与相等的向量只有1个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
解析 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确.由于＝，因此与是共线的，故选D.
答案 D
二、填空题
6.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析 易知||＝CA＝×2＝.
答案
7.给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是________(填序号).
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立.
答案 ①③④
8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________.
解析 ∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形.
答案 菱形
三、解答题
9.中国象棋中规定：马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量与表示马走了“一步”，试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
解 根据规则，画出符合要求的所有向量，马在B处走了“一步”的情况如图所示，
马在C处走了“一步”的情况如图所示.
10.如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
解 (1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF綉BC.所以与共线的向量有：
，，，，，，.
(2)由(1)知EF綉BC，又D是BC的中点，故与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
能力提升
11.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是________.
解析 如图所示，此人从点A出发， 经点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝＝＝，
∵∠BAC是三角形的内角，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
答案 南偏东30°
12.如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
解 (1)画出所有满足条件的向量，即(i＝1，2，…，8)，如图所示.
(2)由(1)所画的图知，
当点C位于点C1或C2的位置时，||取得最小值＝；当点C位于点C5或C6的位置时，||取得最大值＝，
故||的最大值为，最小值为.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )
A.||＝||
B.与共线
C.与共线
D.＝
解析 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定正确.
答案 ABD
14.(多选题)给出下列说法正确的是( )
A.若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B.在平行四边形ABCD中，一定有＝
C.若a＝b，b＝c，则a＝c
D.若a∥b，b∥c，则a∥c
解析 ＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A不正确.在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故B正确.若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故C正确.对于D，当b＝0时，a与c不一定平行，故D不正确.
答案 BC
课件38张PPT。第六章 平面向量及其应用[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
向量的发展与起源
向量又称为矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的作用可用平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.牛顿 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学.亚里士多德[读图探新]——发现现象背后的知识
1.《水浒传》中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一枝好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒涤，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这枝箭要射雁行内第三只雁头上，射不中时，众头领休笑.”花荣打上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下.急叫军士取来看时，那枝箭正穿在雁头上.晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”.图1 2.高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要头脑和全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Direction)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”.方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远.图2 3.我们骑车的时候经常会遇到顺风与逆风，你对顺风骑车和逆风骑车有怎样的感受？
4.一个人打算从北京去重庆旅游，可以乘火车，也可以乘飞机，还可以先乘火车到武汉，然后乘轮船沿长江到重庆，如图所示.图3 问题1：你能从数学的角度来解释“花荣射雁”的功夫及高尔夫球运动中“方向比距离更重要”原因吗？
问题2：骑车运动中的顺风与逆风的感受不同，你能从数学的角度去解释一下理由吗？
问题3：图4中这几种情况下：①他的位置变动是不同的；②他走过的路程相同；③他的运动轨迹不一样；④他的位移是相同的.你能从数学的角度解释它们是否正确吗？图4 链接：(1)在高尔夫球运动中用到的是数学中向量的有关知识，打球时既要考虑力量的大小同时还要考虑球前进的方向.
(2)顺风骑车快，逆风骑车慢，用向量的知识来解释就是，车速与风速都是既有方向又有大小的量，都可以用向量来刻画.
(3)这几种情况下的路程各不相同，但是直线距离与方向是没有发生变化的，可以从向量的角度来解释.6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量教材知识探究老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)?问题 猫能否追到老鼠？提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了.
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量.生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.1.向量的定义及表示向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移(1)定义：既有 又有 的量叫做向量.
(2)表示：
①有向线段：带有 的线段，它包含三个要素： 、方向、长度；大小方向方向起点②向量的表示：长度|AB|2.向量的有关概念相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量1个单位相同或相反平行相等相同教材拓展补遗
[微判断]提示 1.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同.
3.若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.
4.任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.××√×[微训练]
1.下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速.其中向量有( )A.①② B.②③ C.②④ D.③④
解析 由向量的概念可知：浮力与风速是向量，密度与温度是数量，故选C.实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等.
答案 C2.下列关于向量的说法中，正确的是( )A.长度相等的两向量必相等
B.两向量相等，其长度不一定相等
C.向量的大小与有向线段的起点无关
D.向量的大小与有向线段的起点有关
解析 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错误；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点无关，故C正确，D错误.
答案 C①平行向量；②模相等的向量；③相等向量.答案 ②[微思考]
1.向量与有向线段有什么区别？提示 向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小相等和方向相同，则这两个向量就是相同的向量.
有向线段有起点、方向与长度三个要素，若起点不同，尽管方向与长度相同，也是不同的有向线段.2.若平行向量有相同的起点，那么它们是否一定有相同的终点？提示 不一定，只有当两个平行向量相等时，它们才有相同的终点.3.不相等的两个向量a，b可能平行吗？提示 可能.事实上，考虑到零向量的特殊性，向量平行有如下三种情况：
(1)两个向量a，b中，有一个为零向量，另一个为非零向量；
(2)两个向量均为非零向量，方向相同，但模不相等；
(3)两个向量均为非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可.题型一 向量的概念
【例1】 下列说法正确的是( )解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；C选项，当b＝0时，a与c可能不共线；两个单位向量平行也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
答案 A规律方法 对于向量的相关概念问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量，还有如单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关.零向量的模为零，方向则是任意的.【训练1】 下列说法中正确的是( )A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
答案 D题型二 相等向量与共线向量两个向量共线不一定同向，但同向一定共线，同时相等向量的起点也不一定相同(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.规律方法 相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.【训练2】 如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.解析 (1)在平行四边形ABCD和ABDE中，题型三 向量的表示及应用我们在用有向线段表示向量时要注意两者的区别，有向线段是个几何图形，有起点、大小和方向，可以直观的表示向量，但不等于向量【例3】 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，规律方法 平面向量在实际生活中的应用
生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.【训练3】 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.一、素养落地
1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养.
2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用.3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.
4.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.二、素养训练
1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于0；
③正确；④错，向量不能比较大小.
答案 B答案 B3.有下列说法：解析 答案 ①4.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等方向相同(作图略).
