课件28张PPT。6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
提示 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量不共线向量λ1e1＋λ2e2不共线教材拓展补遗
[微判断]
1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( )
2.零向量可以作为基底.( )
3.若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基底.( )提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底.
2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底.
3.由于a＋b和a－b不共线，故可作基底.××√[微训练]
1.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( )A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2
C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2
解析 因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴两向量共线不可作为基底.
答案 BA.BD＝2CD B.BD＝CD
C.BD＝3CD D.CD＝2BD答案 B[微思考]
1.若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1λ2∈R}表示的是什么？提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.2.若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？提示 当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b＝d一定成立.题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.
(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.
(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.规律方法 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.【训练1】 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为 是( )基底的考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.
答案 B题型二 用基底表示向量零向量与任一向量平行，故不能作为基底规律方法 用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.题型三 平面向量基本定理的综合应用若a是平面内的非零向量，且能表示为a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分别共线，由平面向量基本定理，规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.一、素养落地
1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.
2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.二、素养训练
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )解析 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案 D答案 A6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
课标要求
素养要求
理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.
教材知识探究
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
问题1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
提示 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.
问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
提示 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.
平面向量基本定理
定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量
条件
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
教材拓展补遗
[微判断]
1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)
2.零向量可以作为基底.(×)
3.若a，b不共线，则a＋b与a－b可以作为基底.(√)
提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底.
2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底.
3.由于a＋b和a－b不共线，故可作基底.
[微训练]
1.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( )
A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2
C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2
解析 因为3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，
∴两向量共线不可作为基底.
答案 B
2.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是( )
A.BD＝2CD B.BD＝CD
C.BD＝3CD D.CD＝2BD
解析 由＝(＋)得2＝＋，即－＝－，即＝，所以||＝||，故BD＝CD.
答案 B
[微思考]
1.若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1λ2∈R}表示的是什么？
提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.
2.若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？
提示 当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b＝d一定成立.
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
解 (1)正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.
(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.
(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.
规律方法 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.
【训练1】 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.
答案 B
题型二 用基底表示向量
【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
解 法一 由题意知，
＝＝＝a，
＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二 设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
规律方法 用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
【训练2】 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
解 法一 ∵＝e2，＝k，
∴＝k＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.
又＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e2.
法二 同法一得＝ke2，
＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，
由＝(＋)得
＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.
题型三 平面向量基本定理的综合应用
若a是平面内的非零向量，且能表示为a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
【迁移】 (变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解 由典例解析知BP∶PN＝，
则＝，
＝＋＝＋
＝b＋(－)
＝b＋a－b＝b＋a.
规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
【训练3】 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，∴＝(＋)，
即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
答案
一、素养落地
1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养.
2.对基底的理解
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
3.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
二、素养训练
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2
解析 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案 D
2.如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2) B.(5e－3e2)
C.(2e2＋5e1) D.(5e2＋3e1)
解析 ＝＝(－)＝(＋)
＝(5e1＋3e2).
答案 A
3.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
又∵与不共线，∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.
答案
4.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示.
解 ＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.
基础达标
一、选择题
1.设e1，e2是同一个平面内的两个向量，则有( )
A.e1，e2平行
B.e1，e2的模相等
C.同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D.若e1，e2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
解析 由平面向量基本定理知，选D.
答案 D
2.设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝( )
A.2 B.3 C.－2 D.－3
解析 由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，
即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，
则λ＝－3.
答案 D
3.如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.－a＋b
C.a＋b D.－a＋b
解析 因为＝3，所以－＝3(－).
所以4＝＋3，
因为＝，所以＝，
所以4＝＋，所以4＝－＋(－)，
所以4＝－2＋，所以＝－＋，
所以＝－a＋b.
答案 B
4.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为( )
A.(4a＋5b) B.(9a＋7b)
C.(2a＋b) D.(3a＋b)
解析 ＝＋，
＝＋＝＋＝＋＝.
而＝b－a，所以＝b－a，
所以＝＋＝a＋＝a＋b.
答案 A
5.△ABC中，＝，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设＝a，＝b，用a，b表示等于( )
A.(a－b) B.(b－a)
C.(a－b) D.(b－a)
解析 由题意得＝＝(－)＝(－)＝(b－a)，故选D.
答案 D
二、填空题
6.设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，则p＝________.
解析 设p＝xm＋yn，
则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
得?所以p＝－m＋n.
答案 －m＋n
7.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用a和b表示).
解析 设＝λ，
则＝λ(＋)＝λ＝λ＋λ.
因为D，O，B三点共线，所以λ＋λ＝1，所以λ＝，
所以＝＋＝a＋b.
答案 a＋b
8.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.
解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
三、解答题
9.如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解 ＝＋＝＋＝＋－＝2a－b.＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来.
解 ＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b).
能力提升
11.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
解析 连接CD，OD，图略，
∵点C，D是半圆弧的两个三等分点，
∴＝，∴CD∥AB，∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°，
∴∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO，
∴四边形ACDO为平行四边形，＝＋.
∵＝＝a，＝b，
∴＝a＋b.故选D.
答案 D
12.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
(1)证明 若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线得，
?
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.
(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
由于e1与e2是不共线的非零向量，
所以?
所以c＝2a＋b.
(3)解 由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
又e1与e2是不共线的非零向量，
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
创新猜想
13.(多选题)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 B中与共线，D中与共线，AC中两向量不共线，故选AC.
答案 AC
14.(多填题)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
解析 ∵向量e1，e2不共线，
∴解得
答案 －15 －12
