6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课标要求
素养要求
借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加减运算.
借助平面直角坐标系及平面向量基本定理，学会平面向量的坐标表示及加减运算，体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？
问题 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
提示 a＝2i＋2j.
1.平面向量正交分解的定义
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
2.平面向量的坐标表示
(1)基底
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标.
(3)坐标表示：a＝(x，y).
(4)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).
3.平面向量的坐标运算 可类比实数的加减运算法则进行记忆
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
,教材拓展补遗
[微判断]
1.相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.(√)
2.当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(√)
3.两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(×)
提示 1.相等向量的大小相等、方向相同，与向量位置没有关系.
2.根据向量坐标运算法则用终点坐标减去起点坐标知正确.
3.求解向量差的坐标时两向量是有顺序的.
[微训练]
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )
A.(－2，1) B.(2，－1)
C.(2，0) D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.
答案 B
2.已知＝(1，2)，A(3，4)，则B点坐标是________.
解析 设B点的坐标为(x，y)，
则＝(x－3，y－4)＝(1，2).
∴解得
∴B点的坐标是(4，6).
答案 (4，6)
3.根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.
答案 a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)
[微思考]
1.如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)?
提示 不能.当a＝xi＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).
2.向量的终点坐标与此向量的坐标完全相同吗？
提示 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同.
题型一 平面向量的坐标表示
表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等，加减法运算求坐标，也可以用向量、点的坐标定义求坐标
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
规律方法 求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【训练1】 已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝3a，则点N的坐标为( )
A.(2，0) B.(－3，6)
C.(6，2) D.(－2，0)
解析 ＝3a＝(1，－2)＋(1，－2)＋(1，－2)＝(2，－4)＋(1，－2)＝(3，－6).设N(x，y)，则＝(5－x，－6－y)＝(3，－6)，
所以即
答案 A
题型二 平面向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则进行
【例2】 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4) B.(7，4)
C.(－1，4) D.(1，4)
解析 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则＝(－7，－4)，故选A.
答案 A
(2)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，试用坐标来表示＋＋.
解 ＝(－3，5)，＝(－4，2)，＝(－5，1)，
∴＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8).
规律方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.
【训练2】 已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标.
解 a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7).
题型三 平面向量坐标运算的应用
【例3】 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时：
(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内.
解 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)
＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵＝＋，且与不共线，
∴则
(1)若点P在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等.
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
【训练3】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
解 设D点的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2).
当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6).
当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)，
故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
一、素养落地
1.通过学习平面向量的正交分解及坐标表示培养数学抽象素养.通过会用坐标表示平面向量的加减运算提升数学运算素养.
2.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.
3.向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止错误.
二、素养训练
1.已知点A(－2，1)，B(3，－2)，则的坐标是( )
A.(－5，3) B.(5，－3)
C.(－5，－3) D.(5，3)
解析 ＝(－2，1)－(3，－2)＝(－5，3).
答案 A
2.若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于( )
A.(4，3) B.(－4，－3)
C.(－4，3) D.(4，－3)
解析 ＝－＝(3，5)－(－1，2)＝(4，3).
答案 A
3.已知平面向量a＝(－1，0)，b＝(－2，－2)，则a－b等于( )
A.(1，2) B.(－1，－2)
C.(－1，2) D.(1，－2)
解析 a－b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2).
答案 A
4.已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________.
解析 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1).由＝，则x＝0，y＝4.
答案 (0，4)
基础达标
一、选择题
1.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A.2i＋3j B.4i＋2j
C.2i－j D.－2i＋j
解析 记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
答案 C
2.已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A.(1，－2) B.(1，2)
C.(5，6) D.(2，0)
解析 b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2).
答案 A
3.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝( )
A.(－2，4) B.(4，6)
C.(－6，－2) D.(－1，9)
解析 在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4)，故选A.
答案 A
4.已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A. B.
C. D.
解析 因为与同向的单位向量为，
＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，
||＝＝5，
所以＝.
答案 A
5.如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是( )
A. B.
C.(－1，) D.
解析 设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)，
则x＝||cos(120°＋30°)＝－，y＝||sin(120°＋30°)＝，
由此可知B点坐标为，故的坐标是，故选D.
答案 D
二、填空题
6.若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋＝________.
解析 法一 由题意得＝(2，3)，＝(－3，3).
所以＋＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6).
法二 ＋＝＝(－1，6).
答案 (－1，6)
7.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________.
解析 设点A(x，y)，
则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3).
答案 (－3，3)
8.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
解析 ∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案 －3
三、解答题
9.已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，求点P的坐标.
解 设P点坐标为(x，y)，||＝||.
当P在线段AB上时，＝.
∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(1，－1).
当P在线段AB延长线上时，＝－.
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，
∴此时无解.
综上所述，点P的坐标为(1，－1).
10.已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，且a＝b－c，求点A的坐标.
解 ∵b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，
∴b－c＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，
即a＝(－7，10)＝.
又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，
∴?
即A点坐标为(8，－10).
能力提升
11.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3，6)平移后得向量，则的坐标为( )
A.(10，1) B.(4，－11)
C.(7，－5) D.(3，6)
解析 与方向相同且长度相等，
故＝＝(7，－5).
答案 C
12.已知点O(0，0)，A(1，2).
(1)若点B(3t，3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由.
解 (1)＝＋＝(1，2)＋(3t，3t)＝(1＋3t，2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－.
若点P在第二象限，则∴－(2)＝(1，2)，＝－＝(3－3t，3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，则＝，
∴该方程组无解.
故四边形OABP不能成为平行四边形.
创新猜想
13.(多选题)下面几种说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应于唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误.
答案 ABD
14.(多填题)已知A(2，0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
解析 由题意知解得
答案 －1 －2
课件29张PPT。6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示教材知识探究“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？问题 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?1.平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个____________的向量.互相垂直2.平面向量的坐标表示向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征.使向量运算完全代数化(1)基底
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为i，j，取{i，j}作为_______.
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝_______，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标.
(3)坐标表示：a＝(x，y).
(4)特殊向量的坐标：i＝_______，j＝_______，0＝(0，0).单位向量基底xi＋yj(1，0)(0，1)3.平面向量的坐标运算可类比实数的加减运算法则进行记忆设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：和差终点起点(x2－x1，y2－y1)教材拓展补遗
[微判断]
1.相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关.( )
2.当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
3.两向量差的坐标与两向量的顺序无关.( )提示 1.相等向量的大小相等、方向相同，与向量位置没有关系.
2.根据向量坐标运算法则用终点坐标减去起点坐标知正确.
3.求解向量差的坐标时两向量是有顺序的.√√×[微训练]
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝( )A.(－2，1) B.(2，－1)
C.(2，0) D.(4，3)
解析 b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.
答案 B答案 (4，6)3.根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.答案 a＝(2，3)，b＝(－2，3)，c＝(－3，－2)，d＝(3，－3)[微思考]
1.如果a＝xi＋yj，那么能不能说向量a的坐标为(x，y)，即a＝(x，y)?提示 不能.当a＝xi＋yj，i，j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量时，才能把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).2.向量的终点坐标与此向量的坐标完全相同吗？提示 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点的坐标才相同.题型一 平面向量的坐标表示表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等，加减法运算求坐标，也可以用向量、点的坐标定义求坐标【例1】 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.解 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，规律方法 求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.A.(2，0) B.(－3，6)
C.(6，2) D.(－2，0)答案 A题型二 平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则进行A.(－7，－4) B.(7，4)
C.(－1，4) D.(1，4)答案 A规律方法 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.【训练2】 已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标.解 a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7).题型三 平面向量坐标运算的应用(1)点P在第一、三象限的角平分线上；
(2)点P在第三象限内.规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等.
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.【训练3】 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.一、素养落地
1.通过学习平面向量的正交分解及坐标表示培养数学抽象素养.通过会用坐标表示平面向量的加减运算提升数学运算素养.2.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系.关系图如图所示.3.向量坐标形式的计算，要牢记公式，细心计算，防止错误.二、素养训练A.(－5，3) B.(5，－3)
C.(－5，－3) D.(5，3)答案 AA.(4，3) B.(－4，－3)
C.(－4，3) D.(4，－3)答案 A3.已知平面向量a＝(－1，0)，b＝(－2，－2)，则a－b等于( )A.(1，2) B.(－1，－2)
C.(－1，2) D.(1，－2)
解析 a－b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2).
答案 A答案 (0，4)
