6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标要求
素养要求
1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直.
通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中体会逻辑推理素养及数学运算素养.
教材知识探究
“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
提示 由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8.
8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆
2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式
数量积的主要应用有求模、求夹角、判断垂直，而此三个公式是解决此类问题的重要依据
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
教材拓展补遗
[微判断]
1.向量的模等于向量坐标的平方和.(×)
2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(×)
3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(×)
提示 1.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.
2.只有a与b为非零向量时才正确.
3.当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角.
[微训练]
1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是________.
解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
答案 10
2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.
答案 2
3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
解析 由|a|＝|b|得＝，解得x＝±2.
答案 ±2
[微思考]
1.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a与b平行或垂直时，有什么关系式成立？
提示 当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0；当a⊥b时，有x1x2＋y1y2＝0，这两种公式，在使用的过程中一定要分清.
2.非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么？
提示 (1)当θ为锐角或零角?x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角?x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角?x1x2＋y1y2<0.
题型一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
答案 B
规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【训练1】 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
题型二 两向量的夹角的坐标表示
【例2】 已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使·取得最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解 (1)∵点C是直线OP上的一点，
∴向量与共线，
设＝t(t∈R)，则＝t(2，1)＝(2t，t)，
∴＝－＝(1－2t，7－t)，
＝－＝(5－2t，1－t)，
∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2).
(2)由(1)知＝(4，2)，
∴＝(－3，5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.
∴cos∠ACB＝＝－.
规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角.
【训练2】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
解 (1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝＝＝.
(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝＝＝.
题型三 向量垂直的坐标表示
【例3】 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标.
解 设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得
∴||＝＝，
即||＝，点D的坐标为(1，1).
规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
【训练3】 已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
解 设向量b＝(x，y).
根据题意，得·＝0，||＝||.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，
∴|a|＝|b|，a·b＝0.
又∵a＝，即
解得或
∴b＝或b＝.
一、素养落地
1.通过学习数量积坐标运算的推导，培养逻辑推理的素养.通过求向量的夹角和模及在向量垂直中应用坐标运算提升数学运算素养.
2.注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：①a·b＝x1x2＋y1y2，②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，③cos θ＝.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
二、素养训练
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A.3 B.－3 C. D.－
解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
答案 A
2.已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A. B. C. D.
解析 cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案 D
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.1 B. C.2 D.4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.
∴|a|＝＝2.
答案 C
4.已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝( )
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3.
∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3，6).
答案 A
基础达标
一、选择题
1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析 设a，b的夹角为θ，∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos θ＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π].
∴a与b的夹角为.
答案 B
2.已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B.3 C.－ D.－3
解析 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.
答案 D
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B.2 C.4 D.12
解析 a＝(2，0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.
答案 B
4.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定
解析 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>，即A>－B.
又因函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B>0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
答案 A
5.已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A.－2 B.2 C.4 D.6
解析 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.
答案 B
二、填空题
6.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.
解析 a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.
答案 4
7.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析 由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，
∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案 8
8.设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
解析 法一 a＋b＝(m＋1，3)，
又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.
∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2.
法二 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，
得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解 (1)∵a⊥b，
∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，
∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝2.
∴|a－b|＝2或2.
10.已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角.
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).
能力提升
11.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A.－ B.
C.或－ D.或
解析 ∵tan α＝－2，
∴可设P(x，－2x)，与的夹角为θ，
cos θ＝＝，
当x>0时，cos θ＝，
当x<0时，cos θ＝－.
答案 C
12.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解 (1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
创新猜想
13.(多选题)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为( )
A.－ B.
C. D.
解析 ∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3).
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
答案 ABC
14.(新定义问题)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1，2)，p?q＝(－4，－3)，则q的坐标为________.
解析 设q＝(x，y)，则p?q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3).
∴∴∴q＝(－2，1).
答案 (－2，1)
课件26张PPT。6.3.5 平面向量数量积的坐标表示教材知识探究“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
提示 由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8.
8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2.1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.它们对应坐标的乘积的和a⊥b?x1x2＋y1y2＝0注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆x1x2＋y1y22.与向量的模、夹角相关的三个重要公式数量积的主要应用有求模、求夹角、判断垂直，而此三个公式是解决此类问题的重要依据教材拓展补遗
[微判断]
1.向量的模等于向量坐标的平方和.( )
2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( )
3.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.( )提示 1.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.
2.只有a与b为非零向量时才正确.
3.当θ＝180°时，cos θ＝－1<0，但不是钝角.×××[微训练]
1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是________. 解析 a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
答案 102.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.解析 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.
答案 23.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.[微思考]
1.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a与b平行或垂直时，有什么关系式成立？提示 当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0；当a⊥b时，有x1x2＋y1y2＝0，这两种公式，在使用的过程中一定要分清.2.非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么？提示 (1)当θ为锐角或零角?x1x2＋y1y2>0；
(2)当θ为直角?x1x2＋y1y2＝0；
(3)当θ为钝角或平角?x1x2＋y1y2<0.题型一 平面向量数量积的坐标运算熟练的运用平面向量数量积的坐标公式，是解决此类问题的关键【例1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )A.10 B.－10 C.3 D.－3
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
答案 B规律方法 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.【训练1】 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).题型二 两向量的夹角的坐标表示规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角.【训练2】 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.解 (1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，题型三 向量垂直的坐标表示解 设D点坐标为(x，y)，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.解 设向量b＝(x，y).∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，∴|a|＝|b|，a·b＝0.一、素养落地
1.通过学习数量积坐标运算的推导，培养逻辑推理的素养.通过求向量的夹角和模及在向量垂直中应用坐标运算提升数学运算素养.3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.二、素养训练
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
答案 A答案 D3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )答案 CA.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)答案 A
