7.2.2 复数的乘、除运算
课标要求
素养要求
掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
通过本节课的学习体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
提示 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.
1.复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
2.复数的除法运算
复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同
设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di(c＋di≠0))，则＝＝＝＋i.
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
教材拓展补遗
[微判断]
1.复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.(√)
2.若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(×)
3.＝－i.(√)
4.＝－i.(×)
提示 1.复数的混合运算与实数的混合运算的顺序一致.
2.当z1＝1且z2＝i也满足z＋z＝0.
3.＝＝－i.
4.＝＝＝i.
[微训练]
1.若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( )
A.1 B. C.2 D.
解析 z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，所以|z|＝.
答案 B
2.已知i是虚数单位，则＝( )
A.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i
解析 ＝＝＝1＋2i，故选D.
答案 D
3.如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )
A.1 B.－1 C. D.－
解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.
答案 B
[微思考]
1.怎样进行复数的混合运算？
提示 三个或三个以上的复数相乘，可按照从左到右的顺序或利用结合律运算，复数的混合运算与实数的混合运算法则一样.
2.怎样进行复数的乘法运算？
提示 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】 计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
规律方法 复数代数形式的乘法运算常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
(3)(1±i)2＝±2i.
【训练1】 若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a<－1.
答案 B
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】 (1)＝( )
A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
解析 (1)＝＝＝2－i.
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
答案 (1)D (2)A
规律方法 (1)进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可简化运算过程.例如，＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，＝i等.
(2)运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
【训练2】 (1)在复平面内，复数的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算：＝________.
解析 (1)＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限.
(2)法一 ＝＝
＝－2＋i.
法二 ＝
＝＝
＝＝－2＋i.
答案 (1)B (2)－2＋i
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，然后再验证1－i是否为方程的根
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根.
解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
规律方法 解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.
【训练3】 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
解 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的条件得x＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k的值为k＝－2或k＝2.
一、素养落地
1.通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养.
2.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.
二、素养训练
1.设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B.1 C. D.2
解析 ∵＋＝＋＝＋i，
又∵∈R，∴＝0，解得a＝1.
答案 B
2.(1＋i)(2－i)＝( )
A.－3－i B.－3＋i C.3－i D.3＋i
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
答案 D
3.设复数z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数＋的虚部等于________.
解析 ∵＋＝＋＝＋＋i＝－＋i＋＋i＝i，
∴虚部为1.
答案 1
4.已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
基础达标
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
解析 z＝＝－i.
答案 A
2.i为虚数单位，＋＋＋等于( )
A.0 B.2i C.－2i D.4i
解析 ＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0.
答案 A
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1＋i)2 B.i2(1－i)
C.(1＋i)2 D.i(1＋i)
解析 由(1＋i)2＝2i为纯虚数知选C.
答案 C
4.复数＝( )
A.－1 B.1 C.－i D.i
解析 ＝＝－1.
答案 A
5.(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512
解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
答案 C
二、填空题
6.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________.
解析 复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，实部是2.
答案 2
7.已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
答案 －2i
8.若x2＋x＋1－i＝0，则x＝________.
解析 x＝＝
＝＝.
∴x＝i或x＝－1－i.
答案 i或－1－i
三、解答题
9.计算.
解 原式＝
＝＝＝1.
10.已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值.
解 由z＝，
得z＝＝＝1－i，
又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.
能力提升
11.复数z＝－，则1＋z＋z2＝________.
解析 z＝－＝＝－
＝－＋i.
∴1＋z＋z2＝1－＋i＋
＝1－＋i＋＝0.
答案 0
12.二次方程x2＋(a＋bi)x＋c＝0(a，b，c∈R).
(1)求方程有相异两实根的条件；
(2)求方程有一实根一虚根的条件.
解 (1)设原方程的相异两个实根为α，β，
由根与系数的关系得
∴α＋β＝－a，b＝0.
当b＝0时，原方程化为x2＋ax＋c＝0，有相异两个实根的条件为a2－4c>0，b＝0.
(2)设实根为m，虚根为z，则由根与系数的关系得mz＝c，因此m＝c＝0，方程化为x(x＋a＋bi)＝0，要使方程有虚根－a－bi，只有b≠0，综上，方程有一实根一虚根的条件是c＝0，b≠0.
创新猜想
13.(多填题)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
解析 由已知(a＋bi)2＝3＋4i.
即a2－b2＋2abi＝3＋4i.
从而有
解得则a2＋b2＝5，ab＝2.
答案 5 2
14.(多填题)定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则|x|＝________，y＝________.
解析 因为x＝＝＝－i，则|x|＝1，
所以y＝＝＝4i·0－1×2＝－2.
答案 1 －2
课件28张PPT。7.2.2 复数的乘、除运算教材知识探究两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
问题 多项式(a＋b)(c＋d)的运算结果是什么？
提示 (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(ac－bd)＋(ad＋bc)i(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝___________________.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z32.复数的除法运算复数除法的实质就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同分母实数化教材拓展补遗
[微判断]
1.复数加减乘除的混合运算则是先乘除，再加减.( )√×√×提示 1.复数的混合运算与实数的混合运算的顺序一致.[微训练]
1.若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( )答案 BA.1－2i B.2－i C.2＋i D.1＋2i答案 D3.如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( )解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1.
答案 B[微思考]
1.怎样进行复数的混合运算？提示 三个或三个以上的复数相乘，可按照从左到右的顺序或利用结合律运算，复数的混合运算与实数的混合运算法则一样.2.怎样进行复数的乘法运算？提示 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】 计算下列各题：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.规律方法 复数代数形式的乘法运算常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
(3)(1±i)2＝±2i.【训练1】 若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，答案 B题型二 复数代数形式的除法运算A.1＋2i B.1－2i
C.2＋i D.2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i答案 (1)D (2)A(2)∵z(2－i)＝11＋7i，答案 (1)B (2)－2＋i题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).1＋i是方程的根，则代入方程成立，可通过复数相等求出b，c，然后再验证1－i是否为方程的根(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根.解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.(2)方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.规律方法 解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.【训练3】 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.一、素养落地
1.通过学习复数代数形式的乘法和除法运算，提升数学运算素养.通过学习复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律，培养数学抽象素养.
2.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.二、素养训练答案 B2.(1＋i)(2－i)＝( )A.－3－I B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
解析 (1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.
答案 D答案 1∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
