7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课标要求
素养要求
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.
通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几何表示，复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数.
问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
2.辐角主值
规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z.
3.复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].
4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√)
2.复数0的辐角是任意的.(√)
3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√)
[微训练]
1.复数1＋i的辐角主值为( )
A. B. C. D.
解析 因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝.
答案 C
2.将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是( )
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
解析 i＝cos ＋isin ，将绕原点按逆时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝－＋i.
答案 B
3.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
解析 因为z＝cos 30°＋isin 30°，
则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°.
答案 B
[微思考]
1.复数的辐角有怎样的特征？
提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
2.你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？
提示 i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示.而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0).
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 将下列复数代数式化成三角形式：
(1)＋i；(2)1－i.
解 (1)r＝＝2，所以cos θ＝，
对应的点在第一象限，所以arg(＋i)＝，
所以＋i＝2.
(2)r＝＝，所以cos θ＝，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，
所以1－i＝.
规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.
【训练1】 复数z＝－i的三角形式为( )
A.2 B.2
C.2 D.2
解析 因为r＝2，所以cos θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，
所以z＝－i＝2.
答案 D
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】 复数z＝化为代数形式为( )
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
解析 z＝
＝sin ＋icos ＝×＋i×
＝－i.
答案 D
规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.
【训练2】 将复数z＝化为代数形式为________.
解析 z＝＝×cos －i×sin ＝1－i.
答案 1－i
题型三 复数三角形式的乘法运算
【例3】 计算：
(1)2×；
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°).
解 (1)2×
＝2
＝－2i.
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×(cos 25°＋isin 25°)
＝4(cos 60°＋isin 60°)
＝2＋2i.
规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
【训练3】 计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________.
解析 法一 (＋i)(cos 60°＋isin 60°)
＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°)
＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i.
法二 (＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝
＝＋i＋i－＝2i.
答案 2i
题型四 复数三角形式的除法运算
【例4】 (1)设π<θ<，则复数的辐角主值为( )
A.2π－3θ B.3θ－2π
C.3θ D.3θ－π
解析 ＝
＝cos 3θ＋isin 3θ，
∵π<θ<，∴3π<3θ<，
∴π<3θ－2π<，故本题应选B.
答案 B
(2)计算：8÷.
解 8÷
＝2
＝2
＝－＋i.
规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
【训练4】 计算：2i÷.
解 2i÷
＝2(cos 90°＋isin 90°)÷
＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
一、素养落地
1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.
2.代数形式与三角形式的互化：
3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z的一个辐角，不一定是辐角主值.
二、素养训练
1.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是( )
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
解析 i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i.
答案 A
2.将复数z＝8化为代数形式为________.
解析 z＝8＝8×＋8×i＝4＋4i.
答案 4＋4i
3.arg＝________.
解析 复数z＝－－i对应的点位于第三象限，且cos θ＝－，所以arg＝.
答案
4.计算(cos π＋isin π)÷＝________.
解析 (cos π＋isin π)÷＝cos ＋isin ＝－＋i.
答案 －＋i
基础达标
一、选择题
1.复数z1＝1，z2由z1绕原点O逆时针方向旋转而得到，则arg(z2z1)的值为( )
A. B. C. D.
解析 由题可知z1＝1＝cos 0＋isin 0，z2＝cos ＋isin ，所以z2z1＝cos ＋isin ，所以arg(z2z1)＝.
答案 B
2.复数－＋i的三角形式是( )
A.cos 60°＋isin 60° B.－cos 60°＋isin 60°
C.cos 120°＋isin 60° D.cos 120°＋isin 120°
解析 令z＝－＋i＝a＋bi，
则r＝|z|＝1，a＝－，b＝，
∴可取θ＝120°.
∴z＝cos 120°＋isin 120°＝－＋i.
答案 D
3.设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.形状不能确定
解析 arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝.
答案 C
4.复数cos ＋isin 经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于( )
A.3 B.12
C.6k－1(k∈Z) D.6k＋1(k∈Z)
解析 由题意，得＝cos ＋isin ＝cos －isin ，
由复数相等的定义，得
解得＝2kπ－(k∈Z)，∴n＝6k－1.
答案 C
5.复数z＝cos ＋isin 是方程x5＋α＝0的一个根，那么α的值为( )
A.＋i B.＋i
C.－－i D.－－i
解析 因为z＝cos ＋isin 是方程x5＋α＝0的一个根，
所以α＝－x5＝－
＝－cos －isin ＝－－i.
答案 D
二、填空题
6.设z＝1＋i，则复数的三角形式是________.
解析 将z＝1＋i代入，得
原式＝＝＝1－i
＝.
答案
7.·＝______.
解析 ·
＝3
＝3
＝－3－3i.
答案 －3－3i
8.设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________.
解析 ∵(1＋i)z＝i，
∴z＝＝＝(1＋i)＝.
答案
三、解答题
9.写出下列复数的三角形式：
(1)ai(a∈R)；(2)tan θ＋i；(3)－(sin θ－icos θ).
解 (1)ai＝
(2)tan θ＋i
＝－
(3)－(sin θ－icos θ)
＝
10.求证：
(1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)；
(2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝r3(cos 3θ＋isin 3θ).
证明 (1)[r(cos θ＋isin θ)]2＝r2(cos θ＋isin θ)2
＝r2(cos2 θ－sin2θ＋2icos θsin θ)
＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，
所以待证式成立.
(2)[r(cos θ＋isin θ)]3＝[r(cos θ＋isin θ)]2· [r(cos θ＋isin θ)]＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)·r(cos θ＋isin θ)
＝r3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)]
＝r3(cos 3θ＋isin 3θ)，
所以待证式成立.
能力提升
11.若复数为实数，则正整数n的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 因为＝＝i，所以＝in为实数，所以n的最小值为2.
答案 B
12.设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求的值.
解 ∵z1＝＋i＝2，
z2＝1－i＝，
∴待求式＝
＝
＝4
＝4
＝－2－2i.
创新猜想
13.(多填题)复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________.
解析 因为复数2＋2i对应的点在第一象限，
所以arg(2＋2i)＝，
所以对应的三角形式为2.
答案 2
14.(多填题)计算：z＝2÷＝______，则|z|＝________.
解析 2÷＝2(cos 0＋isin 0)÷
＝4＝2－2i，
则|z|＝|2－2i|＝＝＝4.
答案 2－2i 4
课件28张PPT。7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教材知识探究问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 1.复数的三角形式r(cos θ＋isin θ)辐角三角形式代数形式2.辐角主值
规定在__________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作_______.
3.复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的_____，积的辐角等于各复数的辐角的_____.
r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝___________________________.0≤θ<2πarg z积和r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]4.复数三角形式的除法商差教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( )
2.复数0的辐角是任意的.( )
3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.( )√√√[微训练]
1.复数1＋i的辐角主值为( )答案 C答案 B3.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )A.30° B.60° C.90° D.120°
解析 因为z＝cos 30°＋isin 30°，
则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z2＝60°.
答案 B[微思考]
1.复数的辐角有怎样的特征？提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.2.你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？提示 i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示.而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0).题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 将下列复数代数式化成三角形式：规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.答案 D题型二 复数的三角形式化为代数形式答案 D答案 1－i题型三 复数三角形式的乘法运算
【例3】 计算：规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.答案 2i题型四 复数三角形式的除法运算A.2π－3θ B.3θ－2π
C.3θ D.3θ－π答案 B规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.一、素养落地
1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.
2.代数形式与三角形式的互化：3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z的一个辐角，不一定是辐角主值.二、素养训练答案 A
