(共29张PPT)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第1课时 指数函数的图象及性质
目标定位 重点难点
1.理解指数函数的概念和意义.
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.
3.初步掌握指数函数的有关性质. 重点：指数函数的图象与性质.
难点：运用指数函数的图象与性质解决有关数学问题.
1.指数函数的定义
函数____________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
y＝ax(a>0，且a≠1)
2.指数函数的图象和性质
(0，＋∞)
(0,1)
0
1
增函数
减函数
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图象一定在y轴的左侧.( )
(2)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>0.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝______.
(2)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.
【答案】(1)2 (2)3x
3.思一思：指数函数解析式中底数a能否小于0或等于0?
【解析】不能.因为当a<0时，ax不一定有意义，如(－2)x；当a＝0时，0x不一定有意义，如00,0－2，故a的取值范围不能小于或等于0.
【例1】给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解题探究】判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一形式，否则就不是指数函数.
指数函数的概念
【答案】B
【解析】①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
【方法规律】1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
【例2】若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．0＜a＜1，b＞0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＜0 D．a＜1，b＞0
【解题探究】根据题意画出函数y＝ax＋b－1的大致图象，借助函数的单调性及图象过定点来解决.
指数函数的图象问题
【答案】C
【解析】根据题意画出函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的大致图象，如图所示.所以0＜a＜1，且f(0)＝1＋b－1＜0，即0＜a＜1，且b＜0.故选C．
【方法规律】1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.
2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
2.如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】B
【解析】作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜C．故选B．
指数函数的定义域、值域问题
【示例】 若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值.
忽略分类讨论致求指数型函数值域出错
【错因】虽然结果正确，但解题过程缺少步骤，没有分类讨论的意识.实际上在不知底数a的取值的情况下，要对a的取值分a>1和0
【警示】1.在解题的时候切记分类讨论思想的应用.
2.对一些常用的函数的性质要记准、记牢，避免不必要的错误.
3.做解答题时注意解题的规范性，不要漏掉步骤而使解题过程不完整.
1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.
2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快.当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.
1.已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
【答案】C
【解析】由于0【答案】B
【解析】由题意知此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a>1，解得a<0.
3．(2019年山东青岛期中)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )
A．(0,1) B．(2,3)
C．(3,2) D．(2,2)
【答案】B
【解析】由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．
第1课时 指数函数的图象及性质
【基础练习】
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则( )
A．a＝1 B．a＝2
C．a＝1或a＝2 D．a>0且a≠1
【答案】B
【解析】由题意得解得a＝2.
2.当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．1<|a|< B．|a|<1
C．|a|>1 D．|a|>
【答案】D
【解析】依题意得a2－1>1，a2>2，∴|a|>.
3.函数y＝(0
【答案】D
【解析】当x>0时，y＝ax(04.若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】A
【解析】∵a>1，且－1
5.指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则实数a的取值范围是________.
【答案】(1,2)
【解析】由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
6.函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________.
【答案】(5,2)
【解析】指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2).
7.函数y＝|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
【解析】因为|x|＝所以当x≥0时，函数为y＝x；当x<0时，函数为y＝－x＝2x，其图象由y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成.而y＝x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0)，递减区间是[0，＋∞).
8.若关于x的方程ax＝3m－2(a＞0且a≠1)有负根，求实数m的取值范围.
【解析】若a＞1，由x＜0，则0＜ax＜1，即0＜3m－2＜1，∴＜m＜1；若0＜a＜1，由x＜0，则ax＞1，即3m－2＞1，∴m＞1.综上可知，当a>1时，1.
【能力提升】
9.函数y＝5－|x|的图象是( )
【答案】D
【解析】当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝x，又原函数为偶函数，故选D．
10.已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】A
【解析】依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，∵2x＞0，∴a≤0.∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3.故选A．
11．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
【答案】{a|a≥1，或a＝0}
【解析】作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，则a≥1或a＝0.
12．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，在区间[1,2]上的最大值为m，最小值为n.
(1)若m＋n＝6，求实数a的值；
(2)若m＝2n，求实数a的值．
【解析】(1)∵无论01，函数f(x)的最大值都是a和a2的其中一个，最小值为另一个，
∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a的值为2.
(2)当0由a＝2a2，解得a＝0(舍去)或a＝，∴a＝.
当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，其最小值为f(1)＝a，最大值为f(2)＝a2.
由a2＝2a，解得a＝0(舍去)或a＝2.∴a＝2.
综上，实数a的值为或2.
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(共32张PPT)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质
第2课时 指数函数及其性质的应用
目标定位 重点难点
1.掌握利用指数函数的单调性比较大小的方法技巧.
2.理解并能运用指数函数的单调性解决指数不等式的解法. 重点：比较幂值大小，简单不等式的解法.
难点：指数函数的综合问题.
1.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由________变______；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由________变______；
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增.
大
小
大
小
3.函数y＝f(x)向左平移k(k>0)个单位，得到函数______________的图象，向右平移k个单位，得到函数____________的图象.
4.关于指数型函数y＝af(x)(a>0且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0y
y＝f(x＋k)
y＝f(x－k)
y＝au，u＝f(x)
5.y＝f(u)，u＝g(x)，函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：
6.求复合函数的单调区间，首先求出函数的________，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性.
增
减
减
增
定义域
u＝g(x) y＝f(u) y＝f[g(x)]
增 增 ________
增 减 ________
减 增 ________
减 减 ________
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)3－1.8>3－2.5( )
(2)7－0.5<8－0.5( )
(3)0.20.3>0.30.2( )
【答案】(1)√ (2)× (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
如果a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，
(1)当a>1时，x的取值范围是______；
(2)当0
3.思一思：指数函数图象的大致走势有几种？主要取决于什么？
【解析】指数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反，图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.
利用指数函数的单调性比较大小
【方法规律】三类指数式的大小比较问题
(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小．
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)5－1.8,5－2.5；(2)4－0.5,5－0.5；(3)6－0.8,70.7.
【解析】(1)因为5>1，所以函数y＝5x在定义域R上单调递增．又－1.8>－2.5，所以5－1.8>5－2.5.
(2)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y＝4x与y＝5x的图象(图略)，可得4－0.5>5－0.5.
(3)因为1<6<7，所以指数函数y＝6x与函数y＝7x在定义域R上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.
【例2】设0a2x2＋2x－3.
【解题探究】0【解析】∵0又a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
∴不等式的解集是(1，＋∞).
解简单的指数不等式
【方法规律】解指数不等式应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解.
2.本例中若将“00且a≠1”，则不等式的解集又是什么？
【解析】当0a2x2＋2x－3，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1.
∴不等式的解集为(1，＋∞).
当a>1时，y＝ax在R上是增函数，
又a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3，
∴2x2－3x＋2>2x2＋2x－3，解得x<1.
∴不等式的解集是(－∞，1).
综上可知，当0当a>1时，不等式的解集为(－∞，1).
指数函数性质的综合应用
【方法规律】1.解决指数函数性质的综合问题应关注两点
(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义.
(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.,2.与指数函数复合的单调性问题归根结底是由x1【示例】求函数y＝9x＋2·3x－2的值域.
【错解】设3x＝t，则9x＝t2，
∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
∴ymin＝－3，
从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3，＋∞).
因忽略换元后新变量的范围而出错
【错因】若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立.错因在于没有注意t＝3x>0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围.
【正解】设3x＝t(t>0)，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.
y在t＞0时，单调递增，y＞－2.
∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞).
【警示】指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)，在利用换元法解题时，若假设t＝ax，则t>0，一定要注意换元后新变量的范围.
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am＜c且c＜bn，则am＜bn；若am＞c且c＞bn，则am＞bn.
2.指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数.
(2)形如ax＞ay的不等式，当a＞1时，ax＞ay?x＞y；当0＜a＜1时，ax＞ay?x＜y.
4.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成________个.
【答案】512
【解析】3 h＝9×20 min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个.
第2课时 指数函数及其性质的应用
【基础练习】
1．设x<0，且1A．0C．1【答案】B
【解析】∵1a，∴02．(2019年山东烟台模拟)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可知函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.
3．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
【答案】D
【解析】由题意得解得4≤a＜8.
4．(2019年浙江宁波模拟)设y1＝40.7，y2＝80.45，y3＝－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】A
【解析】因为y1＝40.7＝21.4，y2＝80.45＝21.35，y3＝－1.5＝21.5，又函数y＝2x在R上为增函数，且1.35＜1.4＜1.5，所以21.35＜21.4＜21.5，即y2＜y1＜y3.故选A.
5．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
【答案】{x|0≤x≤1}
【解析】当x≥0时，由f(x)≥，得x≥，∴0≤x≤1.当x＜0时，不等式≥明显不成立，综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
6．已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________．
【答案】(－∞，1]
【解析】f(x)＝|x－1|＝由f(x)的图象得其单调递增区间为(－∞，1]．
7．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
【解析】当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即
∴a＝±.
又a>1，∴a＝.
当0∴即解得a∈?，
综上所述，a＝.
8．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域．
【解析】f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.
令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.
∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.
∴函数f(x)的值域为[－24,12]．
【能力提升】
9．已知实数a，b满足等式a＝b，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】作y＝x与y＝x的图象．当a＝b＝0时，a＝b＝1；当ab>0时，也可以使a＝b.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
10．若方程x＋x－1＋a＝0有正数解，则实数a的取值范围是( )
A．(－3,0) B．(0,1)
C．(0,3) D．(3,6)
【答案】A
【解析】令x＝t，∵方程有正根，∴t∈(0,1)．
方程转化为t2＋2t＋a＝0，∴a＝1－(t＋1)2.
∵t∈(0,1)，∴a∈(－3,0)．
11．(2019年浙江丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】(－1,2)
【解析】原不等式变形为m2－m＜x，因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，所以x≥－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立，等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
12.已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.
【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝x在R上是减函数，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞).
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.
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