第七章 复 数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
复数的发展史
1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.
但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.
直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的.
到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函数论都有着重要应用.
[读图探新]——发现现象背后的知识
问题1：1545年，数学家卡尔丹在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)＝40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？
问题2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡当的问题？在正数范围内，方程x＋2＝0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2＝2有解吗？我们又是怎样让它有解的？
问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？
链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算；定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课标要求
素养要求
通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.
通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛.一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.
张明：海纳百川，心阔容海.海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较.
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必.
问题 同学们，你能准确回答张明的问题吗？
提示 若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小.
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.
(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
2.复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.
3.复数的分类
(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：
复数
(2)集合表示：
教材拓展补遗
[微判断]
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(×)
2.若a为实数，则z＝a一定不是虚数.(√)
3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(√)
提示 1.当b≠0时，z＝a＋bi为虚数.
2.z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，为实数.
3.当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等.
[微训练]
1.在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 由纯虚数的定义可知i，(1－)i为纯虚数.
答案 C
2.若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
解析 由a－2i＝bi＋1，所以a＝1，b＝－2，所以a2＋b2＝5.
答案 5
3.若(x＋y－2)＋(x－y－4)i＝0(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
解析 根据复数相等的充要条件有
∴
答案 3 －1
[微思考]
1.(1)两个复数一定能比较大小吗？
(2)复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？
提示 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.
(2)可以.当b＝0时，z为实数.
2.(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝0，则a＋b的值为多少？
(2)若复数z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？
提示 (1)0；(2)4.
题型一 复数的概念
【例1】 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
规律方法 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
【训练1】 下列命题中，正确命题的个数是( )
按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行判断，否定一个命题只需举出一个反例即可
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
答案 A
题型二 复数的分类
根据复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、纯虚数、虚数的充要条件求解
【例2】 (1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________；
(2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.
解析 (1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
(2)由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，
∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z).
答案 (1)±1 (2)kπ＋(k∈Z)
规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：
第一步，判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；
第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；
第四步，明确结论.
【训练2】 实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
解 (1)当即m＝2时，复数z是实数.
(2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数.
题型三 两个复数相等
把复数问题转化为实数问题解方程(组)求解
【例3】 已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.
解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
规律方法 求解复数相等问题
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
【训练3】 关于x的方程3x－－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值.
解 设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m－－1＝(10－m)i，
∴
解得a＝58.
一、素养落地
1.通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养.通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养.
2.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
3.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
二、素养训练
1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
解析 令得a＝±，b＝5.
答案 C
2.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A.±1 B.±i
C.±i D.±2i
解析 x2＝－1×2，∴x＝±i.
答案 C
3.i2 021＝________.
解析 i2 021＝i2 020·i＝(i2)1 010·i＝(－1)1 010·i＝i.
答案 i
4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.
解析 关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.
所以所以m＝n＝1.
答案 1
基础达标
一、选择题
1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A.－i B.i C.－1 D.1
解析 ∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.
答案 A
2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
答案 B
3.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i B.－＋i
C.2＋i D.＋i
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
答案 A
4.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1 B.0 C.－1 D.－1或1
解析 由题意知∴m＝0.
答案 B
5.若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A.2kπ－(k∈Z) B.2kπ＋(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
解析 由题意，得解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
答案 B
二、填空题
6.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________.
解析 因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得所以x＝y＝1，所以xy＝1.
答案 1
7.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________.
解析 依题意知解得
即m＝3.
答案 3
8.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
解析 由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
答案 {0}
三、解答题
9.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解 (1)由得m＝2.
∴当m＝2时，z是实数.
(2)由得即m≠2且m≠－3.
∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.
(3)由得即m＝3或m＝4.
∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.
10.已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
能力提升
11.下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若复数z满足z2∈R，则z∈R；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数是________.
解析 ①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小.
②若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝±i，不满足z∈R.
③若a＝0，则ai不是纯虚数.
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知此命题不正确.
答案 0
12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围.
解 由z1＝z2，λ，m∈R，可得
整理，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4－.
∵θ∈，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈.
创新猜想
13.(多选题)在给出的下列几个命题中错误的是( )
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.－1没有平方根
解析 因实数是复数，故A错，B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错.
答案 ACD
14.(多填题)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________.
解析 设a是方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－，
＋＋3m＝0，所以m＝.
答案 －
课件28张PPT。第七章 复 数[数学文化]——了解数学文化的发展与应用但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.
直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的.
到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函数论都有着重要应用.[读图探新]——发现现象背后的知识
问题1：1545年，数学家卡尔丹在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)＝40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？
问题2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡当的问题？在正数范围内，方程x＋2＝0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2＝2有解吗？我们又是怎样让它有解的？问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？
链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算；定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念教材知识探究希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛.一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.
张明：海纳百川，心阔容海.海、心孰大？
王华：夸张的手法，不可比较.
张明：那么数m，n可否比较大小？
王华：未必.问题 同学们，你能准确回答张明的问题吗？
提示 若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小.1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，__________所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.
(2)复数通常用字母_____表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
2.复数相等
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________.全体复数a＝c且b＝dz3.复数的分类(2)集合表示：b＝0b≠0a＝0且b≠0教材拓展补遗
[微判断]
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )
3.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )提示 1.当b≠0时，z＝a＋bi为虚数.
2.z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，为实数.
3.当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等.×√√[微训练]A.0 B.1 C.2 D.3答案 C2.若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.解析 由a－2i＝bi＋1，所以a＝1，b＝－2，所以a2＋b2＝5.
答案 53.若(x＋y－2)＋(x－y－4)i＝0(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.答案 3 －1[微思考]
1.(1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？
提示 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.
(2)可以.当b＝0时，z为实数.2.(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z＝0，则a＋b的值为多少？(2)若复数z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？
提示 (1)0；(2)4.题型一 复数的概念
【例1】 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.规律方法 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.【训练1】 下列命题中， 的个数是( )正确命题按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法进行判断，否定一个命题只需举出一个反例即可①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
答案 A题型二 复数的分类根据复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、纯虚数、虚数的充要条件求解【例2】 (1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________；(2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：
第一步，判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；
第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；
第四步，明确结论.题型三 两个复数相等把复数问题转化为实数问题解方程(组)求解【例3】 已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，规律方法 求解复数相等问题
复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.一、素养落地
1.通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养.通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养.
2.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
3.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.二、素养训练
1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )答案 C2.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )答案 C3.i2 021＝________.解析 i2 021＝i2 020·i＝(i2)1 010·i＝(－1)1 010·i＝i.
答案 i4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.答案 1
