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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第二册
第七章 复数
7.1 复数的概念
(新教材)高中数学人教A版必修第二册 7.1.2 复数的几何意义(课件:30张PPT+学案)
文档属性
名称
(新教材)高中数学人教A版必修第二册 7.1.2 复数的几何意义(课件:30张PPT+学案)
格式
zip
文件大小
6.1MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2020-03-28 21:10:50
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文档简介
7.1.2 复数的几何意义
课标要求
素养要求
理解复数的代数表示及其几何意义,掌握用向量的模表示复数模的方法,理解共轭复数的概念.
通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用,共轭复数的概念的理解,体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
19世纪末20世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数”这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础.
问题 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.
(3)公式:|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数,它的模就等于|a|(a的绝对值).
4.共轭复数
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.(√)
2.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)
3.复数的模一定是正实数.(×)
4.两个共轭复数的和是实数.(√)
5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)
提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.
2.原点在虚轴上,但不是纯虚数.
3.复数的模可以为0.
4.根据共轭复数的定义可知正确.
5.应该是充分条件.
[微训练]
1.向量a=(1,-2)所对应的复数的共轭复数是( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-2+i
解析 因为复数与向量一一对应,所以向量a=(1,-2)的复数形式为z=1-2i,所以=1+2i.
答案 A
2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=________.
解析 由题意可知z=-1+2i,所以|z|=.
答案
3.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为________.
解析 ∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
答案 9
[微思考]
复数的模的几何意义是什么?
提示 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.
题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0.
解得m=-2或m=4.
(2)由题意,∴2
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=.
规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.
【训练1】 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,
得m=1或m=-,
所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
题型二 复数与复平面内的向量的关系
【例2】 (1)向量1对应的复数是5-4i,向量2对应的复数是-5+4i,则1+2对应的复数是( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
(2)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是( )
A.-5+5i B.-5-5i
C.5+5i D.5-5i
解析 (1)由复数的几何意义,可得
1=(5,-4),2=(-5,4),
所以1+2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),
所以1+2对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),
所以对应的复数是5-5i.
答案 (1)C (2)D
规律方法 利用复数与向量的联系,可以用向量表示复数,将有些复数问题转化为向量问题处理,借助向量去解决复数问题.
【训练2】 在复平面内,O是原点,向量对应的复数为2+i,若点A关于实轴的对称点为点B,则向量对应的复数为________.
解析 复数2+i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2,-1),∴对应的复数为2-i.
答案 2-i
题型三 复数模的几何意义
复数模的几何意义是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离
【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|=2;
(2)1≤|z|≤2.
解 (1)法一 |z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
法二 设z=a+bi,由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.
规律方法 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
【训练3】 若复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应点Z,则|z|=时,a=________;此时Z与点(1,2)的距离是________.
解析 ∵|z|==,∴a=±1.
∴z=1+i或z=-1+i.
当z=1+i时,Z为(1,1),两点间距离为
=1;
当z=-1+i时,Z为(-1,1),两点间的距离为
=.
答案 ±1 1或
一、素养落地
1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.
2.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.
3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.
二、素养训练
1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=i+2i2=-2+i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.
答案 B
2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.
答案 C
3.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则||=________.
解析 复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),所以m-2=0且m+1≠0,解得m=2,所以z=3i,所以=-3i,∴||=3.
答案 3
4.已知z1=2(1-i),且|z|=1,求|z-z1|的最大值.
解 如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是圆心为(0,0),半径为1的圆,而z1对应坐标系中的点为Z1(2,-2),|z-z1|可看作点(2,-2)到圆上的点的距离.由图可知点(2,-2)到圆心的距离为2,则|z-z1|max=2+1.
三、审题答题
示范(一) 复数几何意义的应用
【典型示例】 (12分)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R)①.
(1)若z=②,求|z|的值;
(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限③,求实数a的取值范围.
联想解题
看到①可考虑将z化为z=x+yi(x,y∈R)的形式.
看到②可知z的虚部为0.
看到③可知z的实部和虚部均大于0,从而求出a的范围.
满分示范
解 z=(1-i)a2-3a+2+i=(a2-3a+2)+(1-a2)i2分
(1)由z=知,1-a2=0,故a=±1.3分
当a=1时,z=0,|z|=0;
当a=-1时,z=6,|z|=6.5分
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,
即8分
即10分
所以-1
满分心得
复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应,和向量一一对应,正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.
基础达标
一、选择题
1.设z=3+4i,则复数z1=z-|z|-(1-i)在复平面内的对应点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=3+4i,∴|z|==5,
∴z1=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i=-3+5i.
∴复数z1在复平面内的对应点在第二象限.
答案 B
2.当
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1).
由
0,m-1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
答案 D
3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
解析 ∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i.
答案 B
4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 因A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,sin A>cos B.cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B.
答案 B
5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是( )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.
∵|z|≥0,∴|z|=3.∴复数z对应的轨迹是1个圆.
答案 A
二、填空题
6.若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2的距离为________.
解析 z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为(3,-5),由两点间距离公式得=2.
答案 2
7.若复数(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R)所对应的点在第三象限,则k的取值范围是________.
解析 ∵复数对应的点位于第三象限,
∴
∴2
答案 (-,-2)∪(2,)
8.复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是________.
解析 因为|z1|=,|z2|==.
又因|z1|<|z2|,所以<,解得-1
答案 (-1,1)
三、解答题
9.设复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i,求当实数m为何值时:
(1)z为实数;
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限.
解 (1)由题意得
解得m=3(m=-2舍去).
故当m=3时,z是实数.
(2)由题意得
即
即
得
解得-5<m<-1-.
故当-5<m<-1-时,z对应的点位于复平面内的第二象限.
10.已知z1=-3+4i,|z|=2,求|z-z1|的最大值和最小值.
解 如图,|z|=2表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心,2为半径的圆上,而z1在坐标系中的对应点的坐标为(-3,4),∴|z-z1|可看作是点(-3,4)到圆上的点的距离.
由图可知,点(-3,4)到圆心(即原点)的距离为=5,故|z-z1|max=5+2=7,|z-z1|min=5-2=3.
能力提升
11.复数z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点Z(x,y)的轨迹方程是________________.
解析 |z|==3,
即(x+1)2+(y-2)2=9,即为所求方程.
答案 (x+1)2+(y-2)2=9
12.已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,求复数z.
解 设复数z=a+bi(a,b∈R).
∵f(z)=|2+z|-z,∴f(-z)=|2-z|+z.
又∵f(-z)=3+5i,∴|2-z|+z=3+5i,
∴|2-(a+bi)|+a+bi=3+5i.
即+a+bi=3+5i.
根据复数相等的充要条件,
得
解得
∴复数z=-10+5i.
创新猜想
13.(多选题)已知z1,z2是复数,以下结论错误的是( )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量1和2重合
D.若|z1-z2|=0,则1=2
解析 A中z1+z2=0只能说明z1=-z2;B中|z1|+|z2|=0,说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0;C中|z1|=|z2|,说明|1|=|2|,但1与2方向不一定相同;D中|z1-z2|=0,则z1=z2,故1=2;故错误的为A,C选项.
答案 AC
14.(多填题)复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=________,|z|=________.
解析 ∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
∴解得a=1,
∴z=2i,
∴|z|=2.
答案 1 2
课件30张PPT。7.1.2 复数的几何意义教材知识探究19世纪末20世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数”这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础.问题 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部实轴虚轴2.复数的几何意义复平面内的点Z(a,b)3.复数的模|z|或|a+bi|4.共轭复数相反数a-bi教材拓展补遗
[微判断]
1.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )
2.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
3.复数的模一定是正实数.( )
4.两个共轭复数的和是实数.( )
5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )√××√×提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.
2.原点在虚轴上,但不是纯虚数.
3.复数的模可以为0.
4.根据共轭复数的定义可知正确.
5.应该是充分条件.[微训练]
1.向量a=(1,-2)所对应的复数的共轭复数是( )A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-2+i答案 A2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=________.答案 9[微思考]复数的模的几何意义是什么?
提示 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0.解得m=-2或m=4.(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,∴2
【训练1】 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.题型二 复数与复平面内的向量的关系答案 (1)C (2)D规律方法 利用复数与向量的联系,可以用向量表示复数,将有些复数问题转化为向量问题处理,借助向量去解决复数问题.答案 2-i题型三 复数模的几何意义复数模的几何意义是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=2;
(2)1≤|z|≤2.解 (1)法一 |z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
法二 设z=a+bi,由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.规律方法 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.∴z=1+i或z=-1+i.一、素养落地
1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.
2.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.
3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练
1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=i+2i2=-2+i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.
答案 B2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.
答案 C答案 34.已知z1=2(1-i),且|z|=1,求|z-z1|的最大值.三、审题答题
示范(一) 复数几何意义的应用
【典型示例】 (12分)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R)①.(1)若 ,求|z|的值;(2)若 ,求实数a的取值范围.在复平面内复数z对应的点在第一象限③联想解题
看到①可考虑将z化为z=x+yi(x,y∈R)的形式.看到②可知z的虚部为0.看到③可知z的实部和虚部均大于0,从而求出a的范围.满分示范
解 z=(1-i)a2-3a+2+i=(a2-3a+2)+(1-a2)i2分当a=1时,z=0,|z|=0;
当a=-1时,z=6,|z|=6.5分
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,所以-1
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同课章节目录
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.2 平面向量的运算
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.4 平面向量的应用
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.2 复数的四则运算
7.3 * 复数的三角表示
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
8.2 立体图形的直观图
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5 空间直线、平面的平行
8.6 空间直线、平面的垂直
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.2 用样本估计总体
9.3 统计分析案例 公司员工
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.2 事件的相互独立性
10.3 频率与概率
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