(新教材)高中数学人教A版必修第二册 7.1.2 复数的几何意义(课件:30张PPT+学案)

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名称 (新教材)高中数学人教A版必修第二册 7.1.2 复数的几何意义(课件:30张PPT+学案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2020-03-28 21:10:50

文档简介

7.1.2 复数的几何意义
课标要求
素养要求
理解复数的代数表示及其几何意义,掌握用向量的模表示复数模的方法,理解共轭复数的概念.
通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用,共轭复数的概念的理解,体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
19世纪末20世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数”这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础.
问题 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.
1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为|z|或|a+bi|.
(3)公式:|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数,它的模就等于|a|(a的绝对值).
4.共轭复数
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.(√)
2.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)
3.复数的模一定是正实数.(×)
4.两个共轭复数的和是实数.(√)
5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×)
提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.
2.原点在虚轴上,但不是纯虚数.
3.复数的模可以为0.
4.根据共轭复数的定义可知正确.
5.应该是充分条件.
[微训练]
1.向量a=(1,-2)所对应的复数的共轭复数是(  )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-2+i
解析 因为复数与向量一一对应,所以向量a=(1,-2)的复数形式为z=1-2i,所以=1+2i.
答案 A
2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=________.
解析 由题意可知z=-1+2i,所以|z|=.
答案 
3.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为________.
解析 ∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
答案 9
[微思考]
复数的模的几何意义是什么?
提示 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.
题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0.
解得m=-2或m=4.
(2)由题意,∴2(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=.
规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标,在复平面内复数所表示的点所处的位置,决定了复数实部、虚部的取值特征.
【训练1】 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,
得m=1或m=-,
所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
题型二 复数与复平面内的向量的关系
【例2】 (1)向量1对应的复数是5-4i,向量2对应的复数是-5+4i,则1+2对应的复数是(  )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
(2)设O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(  )
A.-5+5i B.-5-5i
C.5+5i D.5-5i
解析 (1)由复数的几何意义,可得
1=(5,-4),2=(-5,4),
所以1+2=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),
所以1+2对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),
所以对应的复数是5-5i.
答案 (1)C (2)D
规律方法 利用复数与向量的联系,可以用向量表示复数,将有些复数问题转化为向量问题处理,借助向量去解决复数问题.
【训练2】 在复平面内,O是原点,向量对应的复数为2+i,若点A关于实轴的对称点为点B,则向量对应的复数为________.
解析 复数2+i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2,-1),∴对应的复数为2-i.
答案 2-i
题型三 复数模的几何意义
复数模的几何意义是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离
【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|=2;
(2)1≤|z|≤2.
解 (1)法一 |z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
法二 设z=a+bi,由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.
规律方法 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.
【训练3】 若复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应点Z,则|z|=时,a=________;此时Z与点(1,2)的距离是________.
解析 ∵|z|==,∴a=±1.
∴z=1+i或z=-1+i.
当z=1+i时,Z为(1,1),两点间距离为
=1;
当z=-1+i时,Z为(-1,1),两点间的距离为
=.
答案 ±1 1或
一、素养落地
1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.
2.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.
3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.
二、素养训练
1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=i+2i2=-2+i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.
答案 B
2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.
答案 C
3.若复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),其中m∈R,则||=________.
解析 复数z=(m-2)+(m+1)i为纯虚数(i为虚数单位),所以m-2=0且m+1≠0,解得m=2,所以z=3i,所以=-3i,∴||=3.
答案 3
4.已知z1=2(1-i),且|z|=1,求|z-z1|的最大值.
解 如图所示,因为|z|=1,所以z的轨迹可看作是圆心为(0,0),半径为1的圆,而z1对应坐标系中的点为Z1(2,-2),|z-z1|可看作点(2,-2)到圆上的点的距离.由图可知点(2,-2)到圆心的距离为2,则|z-z1|max=2+1.
三、审题答题
示范(一) 复数几何意义的应用
【典型示例】 (12分)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R)①.
(1)若z=②,求|z|的值;
(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限③,求实数a的取值范围.
联想解题
看到①可考虑将z化为z=x+yi(x,y∈R)的形式.
看到②可知z的虚部为0.
看到③可知z的实部和虚部均大于0,从而求出a的范围.
满分示范
解 z=(1-i)a2-3a+2+i=(a2-3a+2)+(1-a2)i2分
(1)由z=知,1-a2=0,故a=±1.3分
当a=1时,z=0,|z|=0;
当a=-1时,z=6,|z|=6.5分
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,
即8分
即10分
所以-1满分心得
复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应,和向量一一对应,正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.
基础达标
一、选择题
1.设z=3+4i,则复数z1=z-|z|-(1-i)在复平面内的对应点在(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=3+4i,∴|z|==5,
∴z1=3+4i-5-(1-i)=(3-5-1)+(4+1)i=-3+5i.
∴复数z1在复平面内的对应点在第二象限.
答案 B
2.当A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1).
0,m-1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
答案 D
3.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为(  )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
解析 ∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i.
答案 B
4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 因A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>,即A>-B,sin A>cos B.cos B-tan A=cos B-<cos B-sin A<0,又tan B>0,所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限,故选B.
答案 B
5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹是(  )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
解析 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.
∵|z|≥0,∴|z|=3.∴复数z对应的轨迹是1个圆.
答案 A
二、填空题
6.若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2的距离为________.
解析 z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为(3,-5),由两点间距离公式得=2.
答案 2
7.若复数(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R)所对应的点在第三象限,则k的取值范围是________.
解析 ∵复数对应的点位于第三象限,

∴2答案 (-,-2)∪(2,)
8.复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是________.
解析 因为|z1|=,|z2|==.
又因|z1|<|z2|,所以<,解得-1答案 (-1,1)
三、解答题
9.设复数z=lg(m2+2m-14)+(m2-m-6)i,求当实数m为何值时:
(1)z为实数;
(2)z对应的点位于复平面内的第二象限.
解 (1)由题意得
解得m=3(m=-2舍去).
故当m=3时,z是实数.
(2)由题意得



解得-5<m<-1-.
故当-5<m<-1-时,z对应的点位于复平面内的第二象限.
10.已知z1=-3+4i,|z|=2,求|z-z1|的最大值和最小值.
解 如图,|z|=2表示复数z对应的点在以(0,0)为圆心,2为半径的圆上,而z1在坐标系中的对应点的坐标为(-3,4),∴|z-z1|可看作是点(-3,4)到圆上的点的距离.
由图可知,点(-3,4)到圆心(即原点)的距离为=5,故|z-z1|max=5+2=7,|z-z1|min=5-2=3.
能力提升
11.复数z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点Z(x,y)的轨迹方程是________________.
解析 |z|==3,
即(x+1)2+(y-2)2=9,即为所求方程.
答案 (x+1)2+(y-2)2=9
12.已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,求复数z.
解 设复数z=a+bi(a,b∈R).
∵f(z)=|2+z|-z,∴f(-z)=|2-z|+z.
又∵f(-z)=3+5i,∴|2-z|+z=3+5i,
∴|2-(a+bi)|+a+bi=3+5i.
即+a+bi=3+5i.
根据复数相等的充要条件,

解得
∴复数z=-10+5i.
创新猜想
13.(多选题)已知z1,z2是复数,以下结论错误的是(  )
A.若z1+z2=0,则z1=0,且z2=0
B.若|z1|+|z2|=0,则z1=0,且z2=0
C.若|z1|=|z2|,则向量1和2重合
D.若|z1-z2|=0,则1=2
解析 A中z1+z2=0只能说明z1=-z2;B中|z1|+|z2|=0,说明|z1|=|z2|=0,即z1=z2=0;C中|z1|=|z2|,说明|1|=|2|,但1与2方向不一定相同;D中|z1-z2|=0,则z1=z2,故1=2;故错误的为A,C选项.
答案 AC
14.(多填题)复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=________,|z|=________.
解析 ∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
∴解得a=1,
∴z=2i,
∴|z|=2.
答案 1 2
课件30张PPT。7.1.2 复数的几何意义教材知识探究19世纪末20世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时,首次引进“复数”这个名词,他把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.
复数的几何意义,从形的角度表明了复数的“存在性”,为进一步研究复数奠定了基础.问题 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面复平面中点的横坐标表示复数的实部,点的纵坐标表示复数的虚部实轴虚轴2.复数的几何意义复平面内的点Z(a,b)3.复数的模|z|或|a+bi|4.共轭复数相反数a-bi教材拓展补遗
[微判断]
1.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )
2.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
3.复数的模一定是正实数.( )
4.两个共轭复数的和是实数.( )
5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )√××√×提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的.
2.原点在虚轴上,但不是纯虚数.
3.复数的模可以为0.
4.根据共轭复数的定义可知正确.
5.应该是充分条件.[微训练]
1.向量a=(1,-2)所对应的复数的共轭复数是(  )A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-2+i答案 A2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=________.答案 9[微思考]复数的模的几何意义是什么?
提示 复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:
①满足条件|z|=r的点Z的轨迹为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|<r表示圆的内部,|z|>r表示圆的外部;
②满足条件|z-z0|=r的点Z的轨迹为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|<r表示圆的内部,|z-z0|>r表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0.解得m=-2或m=4.(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,∴2【训练1】 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.题型二 复数与复平面内的向量的关系答案 (1)C (2)D规律方法 利用复数与向量的联系,可以用向量表示复数,将有些复数问题转化为向量问题处理,借助向量去解决复数问题.答案 2-i题型三 复数模的几何意义复数模的几何意义是复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=2;
(2)1≤|z|≤2.解 (1)法一 |z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
法二 设z=a+bi,由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.规律方法 解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决.∴z=1+i或z=-1+i.一、素养落地
1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.
2.复数的几何意义有两种:复数和复平面内的点一一对应,复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.
3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题,也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练
1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于(  )A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z=i+2i2=-2+i,实部小于0,虚部大于0,故复数z对应的点位于第二象限.
答案 B2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.
答案 C答案 34.已知z1=2(1-i),且|z|=1,求|z-z1|的最大值.三、审题答题
示范(一) 复数几何意义的应用
【典型示例】 (12分)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R)①.(1)若 ,求|z|的值;(2)若 ,求实数a的取值范围.在复平面内复数z对应的点在第一象限③联想解题
看到①可考虑将z化为z=x+yi(x,y∈R)的形式.看到②可知z的虚部为0.看到③可知z的实部和虚部均大于0,从而求出a的范围.满分示范
解 z=(1-i)a2-3a+2+i=(a2-3a+2)+(1-a2)i2分当a=1时,z=0,|z|=0;
当a=-1时,z=6,|z|=6.5分
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,所以-1