7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课标要求
素养要求
熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义.
通过本节课的学习，体会数学运算素养及数学抽象素养.
教材知识探究
乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算.
问题 复数集内可进行复数的四则运算吗？
提示 能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按照向量的加减运算进行.
1.复数的加法法则
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
图(1)
(2)复数加法的几何意义
如图(1)，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
(3)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
(4)复数加法的几何意义
两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行.
2.复数的减法法则
(1)运算法则
复数的减法是加法的逆运算；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数.
图(2)
(2)复数减法的几何意义
如图(2)，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数.
教材拓展补遗
[微判断]
1.复数与复数相加减后结果只能是实数.(×)
2.因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.(×)
3.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.(√)
4.复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.(×)
提示 1.复数与复数相加减后结果为确定的复数.
2.虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小.
3.复数加法的运算法则即为实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.
4.(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)根据复数的运算法则可知是成立的.
[微训练]
1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A.8i B.6 C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
答案 B
2.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
答案 D
3.(5－i)－(3－i)－5i＝________.
解析 根据复数的减法法则可得(5－i)－(3－i)－5i＝2－5i.
答案 2－5i
[微思考]
1.两个复数的和是什么数，它的值唯一确定吗？
提示 是复数，唯一确定.
2.怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
提示 z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).图中1对应复数z1，2对应复数z2，则对应复数z1－z2.
题型一 复数的加、减运算
类比实数运算，若有括号先计算括号内的，若没有括号可从左到右依次进行
【例1】 设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.
解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2是虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞).
规律方法 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并.
(2)复数的加、减运算结果仍是复数.
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算.
(4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
【训练1】 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
题型二 复数加、减法的几何意义
明确复数的几何意义是解决这类问题的关键，如果这类问题较复杂，可以画出图形帮助解决
【例2】 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解 (1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i，
所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋＝＋，
所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
所以||＝＝.
规律方法 (1)复数z与复平面内的向量是一一对应的关系，复数的加法可以按照向量的加法来进行运算，即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
(2)类比实数减法的意义，复数的减法也是加法的逆运算.
(3)若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离，则d＝||＝|z1－z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
【训练2】 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i，3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.
答案 (1) (2)(－∞，1)
题型三 复数加、减法及几何意义的综合应用
【例3】 已知z∈C，指出下列等式所表示的几何图形.
|z－z1|＝r(r>0)表示复数z对应点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆
(1)|z＋1＋i|＝1；
(2)|z－1|＝|z＋2i|.
解 (1)表示以点(－1，－1)为圆心，以1为半径的圆.
(2)表示以点(1，0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线.
规律方法 (1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.
(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB满足：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
【训练3】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
答案 [0，3]
一、素养落地
1.通过理解复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运算素养.
2.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.
3.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
二、素养训练
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A.0 B.2i C.6 D.6－2i
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
答案 D
2.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为( )
A.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋2i
解析 ＝－＝－(＋)＝3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i.
∴表示的复数为4－4i.
答案 C
3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在( )
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上.
答案 B
4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
答案 －1
基础达标
一、选择题
1.复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于( )
A.0 B.＋i
C.－i D.－i
解析 z1＋z2＝－i＝－i.
答案 C
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( )
A.1＋i B.1＋3i
C.－1－i D.－1－3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
答案 B
3.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为( )
A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i
解析 由得∴a＋bi＝－2－i.
答案 D
4.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，则z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A.1 B.2 C.－2 D.－2或1
解析 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得得a＝－2.
答案 C
5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.
解析 设复数－2i，2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值.
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故选A.
答案 A
二、填空题
6.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________.
解析 两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.
答案 4＋i
7.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________.
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1，0)的距离.∴|z－1|min＝1.
答案 1
8.设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________.
解析 z1＋z2＝3＋3i，f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝3＋|3＋3i|＝3＋3.
答案 3＋3
三、解答题
9.一个复数与它的模的和为5＋i，求这个复数.
解 设这个复数为x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴∴
∴x＋yi＝＋i.
10.计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)＋(2－i)－；
(3)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)＋(2－i)－
＝＋i＋2－i－＋i
＝＋i＝1＋i.
(3)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
能力提升
11.复平面内点A，B，C对应的复数分别为i，1，4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作?ABCD，则||等于( )
A.5 B. C. D.
解析 如图，设D(x，y)，F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝(3，3)－(1，0)＝(2，3)，
所以||＝.
答案 B
12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.指出集合P在复平面内所表示的图形.
解 由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1，0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1，1)和(2，0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
创新猜想
13.(多填题)已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
解析 z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
答案 5－9i －8－7i
14.(多填题)已知复数|z|＝1，则复数3＋4i＋z的模的最大值为________，最小值为________.
解析 令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).
∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，
∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A所对应的复数ωA的模最大，为＋1＝6；圆上的点B所对应的复数ωB的模最小，为－1＝4，∴复数3＋4i＋z的模的最大值和最小值分别为6和4.
答案 6 4
课件27张PPT。7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义教材知识探究乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算.问题 复数集内可进行复数的四则运算吗？
提示 能进行复数的四则运算，复数的加减运算可以按照向量的加减运算进行.1.复数的加法法则(a＋c)＋(b＋d)i图(1)复数z2＋z1z1＋(z2＋z3)向量2.复数的减法法则(1)运算法则
复数的减法是_______的逆运算；
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝__________________，两个复数的差是一个确定的_______.图(2)加法(a－c)＋(b－d)i复数教材拓展补遗
[微判断]
1.复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
2.因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.( )
3.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( )
4.复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.( )提示 1.复数与复数相加减后结果为确定的复数.
2.虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小.
3.复数加法的运算法则即为实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.
4.(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)根据复数的运算法则可知是成立的.××√×[微训练]
1.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )A.8i B.6 C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
答案 B2.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.
答案 D3.(5－i)－(3－i)－5i＝________.解析 根据复数的减法法则可得(5－i)－(3－i)－5i＝2－5i.
答案 2－5i[微思考]
1.两个复数的和是什么数，它的值唯一确定吗？提示 是复数，唯一确定.2.怎样作出与复数z1－z2对应的向量？题型一 复数的加、减运算类比实数运算，若有括号先计算括号内的，若没有括号可从左到右依次进行∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R.
即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞).规律方法 (1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并.
(2)复数的加、减运算结果仍是复数.
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算.
(4)实数集中的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.【训练1】 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.题型二 复数加、减法的几何意义明确复数的几何意义是解决这类问题的关键，如果这类问题较复杂，可以画出图形帮助解决【例2】 如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.题型三 复数加、减法及几何意义的综合应用
【例3】 已知z∈C，指出下列等式所表示的几何图形.|z－z1|＝r(r>0)表示复数z对应点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆(1)|z＋1＋i|＝1；
(2)|z－1|＝|z＋2i|.解 (1)表示以点(－1，－1)为圆心，以1为半径的圆.
(2)表示以点(1，0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线.【训练3】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
答案 [0，3]一、素养落地
1.通过理解复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养，通过运用复数加、减运算法则，培养数学运算素养.
2.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.
3.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.二、素养训练
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )A.0 B.2i C.6 D.6－2i
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
答案 DA.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋2i答案 C3.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在( )A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上.
答案 B4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案 －1
