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2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数的运算
第1课时 对数
目标定位 重点难点
1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.
2.掌握对数的基本性质及对数恒等式. 重点：指数式与对数式的互化.
难点：对数的概念及对数恒等式.
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的______，N叫做______.
底数
真数
2.常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以____为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以____为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.
3.对数与指数的关系
当a＞0且a≠1时，ax＝N?x＝______.
10
e
logaN
4.对数的基本性质
(1)______和____没有对数.
(2)loga1＝____(a＞0且a≠1).
(3)logaa＝____(a＞0且a≠1).
负数
零
0
1
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)3＝8，所以log(－2)8＝3.( )
(2)对数式log43与log34的意义一样.( )
(3)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立.( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若5x＝2 019，则x＝________.
(2)lg 10＝________；ln e＝________.
(3)将log3a＝2化为指数式为________．
【答案】(1)log52 019 (2)1 1 (3)a＝32
3.思一思：为什么零和负数没有对数？
【解析】在logaN＝b中，必须N>0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab＝N中，N总是正数.
指数式与对数式的互化
【方法规律】指数式与对数式互化的方法：将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，而底数不变即可；而将对数式化为指数式，则反其道而行之.指数式与对数式的互化是一个重要内容，应熟练掌握.
对数的性质
【方法规律】1.对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
2.使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.
对数恒等式alogaN＝N的应用
【方法规律】对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N，要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数.
【示例】对数式log(a－2)(5－a)＝b中，求实数a的取值范围．
【错解】由题意得5－a>0，∴a<5.
【错因】只注意真数大于0，即5－a>0，忽视底数a－2的取值范围，从而得出a<5的错误结论．
忽视对数式底数和真数的取值范围致误
【警示】在求解对数形式表达式中参数的取值范围时，应根据对数中的底数和真数满足的要求列出不等式组，进而求解即可．
1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，已知a和N求x的运算是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
【答案】C
【解析】根据对数的定义知选C．
5.已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于( )
A．5 B．7
C．10 D．12
【答案】D
【解析】∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12.
第1课时 对数
【基础练习】
1．已知b＝log(a－2)(7－a)，则实数a的取值范围是( )
A．a>7或a<2 B．2
C．2【答案】C
【解析】由得22.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
【答案】C
【解析】由指对互化的关系ax＝N?x＝logaN，可知A，B，D都正确；C中log39＝2?9＝32.
3.下列各式中正确的个数是( )
①lg 100＝10；②ln(lg 10)＝0；③若ex＝5，则x＝ln 5；④若log25x＝，得x＝±5.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】①102＝100，故lg 100＝2；②lg 10＝1，则ln(lg 10)＝0；③若ex＝5，则x＝loge5＝ln 5；④0和负数没有对数，故x≠－5.所以②③正确，①④错误.
4.已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
【答案】B
【解析】由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1.∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
5．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.
【答案】－
【解析】∵log2(1－2x)＝1＝log22，∴1－2x＝2.∴x＝－.
6．log6[log4(log381)]＝________.
【答案】0
【解析】令t＝log381，则3t＝81＝34，∴t＝4，即log381＝4.原式＝log6(log44)＝log61＝0.
7．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
(1)log2x＝－；
(2)logx3＝－.
【解析】(1)因为log2x＝－，所以x＝2－＝.
(2)因为logx3＝－，所以x－＝3，所以x＝3－3＝.
8．若log x＝m，logy＝m＋2，求的值．
【解析】logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
【能力提升】
9.若logx＝z，则( )
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
【答案】B
【解析】由logx＝z，得xz＝，∴()7＝(xz)7，则y＝x7z.
10.对数式log(a－2)(5－a)＝b成立，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)
【答案】C
【解析】由log(a－2)(5－a)必满足得2＜a＜5且a≠3，∴a∈(2,3)∪(3,5).
11.方程9x－6·3x－7＝0的解是________.
【答案】x＝log37
【解析】设3x＝t(t＞0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，∴t＝7，即3x＝7.∴x＝log37.
12.已知logax＝4，logay＝5(a＞0且a≠1)，求A＝的值.
【解析】由logax＝4，得x＝a4，由logay＝5，得y＝a5，
所以A＝＝x·[(x－·y－2)]
＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－·y－2))＝x·y－
＝(a4) ·(a5)－＝a－＝a0＝1.
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2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数的运算
第2课时 对数的运算
目标定位 重点难点
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 重点：对数的运算性质及换底公式.
难度：应用运算性质进行对数的各类运算.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)log381＝________.
(2)若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.
对数的运算性质
【方法规律】解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质.常用方法有
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开.
(2)将同底数的对数的和、差、倍合并.
(3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
【例2】已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
【解题探究】解答本题可借助对数的运算性质及对数的换底公式等，建立所求结果与已知条件之间的关系.
换底公式
【方法规律】换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.
对数的综合应用
【方法规律】对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键.
将对数形式化为代数形式忽略范围致误
【错因】忽略了对数的真数必须大于0这一前提，因而出现了0和4这两个结果.
【警示】根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指数式中的指数幂，故为正数.所以在求解含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零.求解过程不等价时，在求出答案后需进一步进行检验.
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；
②loga(MN)＝logaM·logaN；
③logaM±logaN＝loga(M±N).
3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为( )
A．b－a＋1 B．b(a－1)
C．b－a－1 D．b(1－a)
【答案】A
第2课时 对数的运算
【基础练习】
1.已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为( )
A．a－b B．
C．ab D．a＋b
【答案】B
【解析】log32＝＝.
2.若lg x－lg y＝t，则lg 3－lg 3＝( )
A．3t B．t
C．t D．
【答案】A
【解析】lg3－lg3＝3lg －3lg ＝3lg ＝3(lg x－lg y)＝3t.
3．若3x＝4y＝36，则＋＝( )
A．1 B．－1
C． D．－3
【答案】A
【解析】3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴＝log63，＝log64，即＝log62，故＋＝log63＋log62＝1.
4.已知x，y，z都是大于1的正数，m>0且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为( )
A． B．60
C． D．
【答案】B
【解析】由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
5.方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________.
【答案】2
【解析】原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，
∴解得x＝2.
6.＝________.
【答案】1
【解析】＝＝＝＝＝1.
7.计算下列各式的值：
(1)；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06.
【解析】(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2
＝3·lg 5·lg 2＋3lg 5＋3lg22－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.
8.已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0且a≠1)，求log8的值.
【解析】由对数的运算法则，可将等式化为
loga[(x2＋4)·(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]，
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1).
整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0，
配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0，
∴∴＝.
∴log8＝log8＝－.
【能力提升】
9.已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝( )
A．lg 2 B．lg 32
C．lg D．lg 2
【答案】D
【解析】令x5＝2，得x＝2.∵f(x5)＝lg x，∴f(2)＝lg 2＝lg 2.故选D．
10.若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2 B．
C．4 D．
【答案】A
【解析】由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，∴2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
11.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M＝lg E－3.2，其中E(J)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震(里氏8.0级)所释放的能量相当于________颗广岛原子弹.
【答案】1 000
【解析】设里氏8.0级，6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg ＝3.∴＝103＝1 000，即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹.
12.(1)求2(lg )2＋lg ·lg 5＋的值；
(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值.
【解析】(1)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋
＝lg (lg 2＋lg 5)＋1－lg
＝lg ＋1－lg ＝1.
(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1.所以log4x＝3.
所以x＝43＝64.
又因为log3[log4(log2y)]＝0，
所以log4(log2y)＝1.所以log2y＝4.
所以y＝24＝16.所以x＋y＝80.
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