10.2 事件的相互独立性
课标要求
素养要求
结合有限样本空间，了解两个事件独立性的含义，结合古典概型，利用独立性计算概率.
结合具体实例了解事件独立性的含义及利用独立性计算概率，发展数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
问题 上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
提示 因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立.
1.相互独立事件
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2.相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与__，__与B，__与也相互独立.
教材拓展补遗
[微判断]
甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列求解过程是否正确.
(1)目标恰好被命中一次的概率为＋.(×)
(2)目标恰好被命中两次的概率为×.(√)
(3)目标被命中的概率为×＋×.(×)
(4)目标被命中的概率为1－×.(√)
提示 目标恰好被命中一次的概率为×＋×，故(1)错；目标被命中包括命中一次，恰好被命中两次，则其概率为×＋×＋×，故(3)错.
[微训练]
1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件.
答案 A
2.从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )
A. B. C. D.
解析 p＝××＝.
答案 C
[微思考]
1.不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
提示 相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
2.必然事件与任何一个事件相互独立吗？
提示 相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A＝“抽到老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解 由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽到红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽到红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，因此A与B互为独立事件.
规律方法 两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【训练1】 掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
解析 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本点空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
答案 B
题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为p＝P( )＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则与B，A与，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解.
【训练2】 设事件A与事件B相互独立，两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是，求P(A)、P(B).
解 只有A发生，即A发生；只有B发生，即B发生.因为A，B相互独立，所以与B，与A也相互独立.所以P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，
P(B)＝P()P(B)＝P(B)[1－P(A)]＝，
即解得
题型三 相互独立事件概率的综合应用
【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
p1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
p2＝1－P( )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
【迁移】 (变问法)在例3条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.
解 恰有一列火车正点到达的概率
p3＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
规律方法 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
【训练3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A)∪(B)，D＝C∪(AB).
(1)由题意知，A与B是相互独立事件，P(B)＝1－P()＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，
所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.
(2)由于事件A与B互斥，所以恰有一件是正品的概率为
P(C)＝P[(A)∪(B)]
＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.
(3)由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P[(AB)∪C]
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.
一、素养落地
1.通过学习事件独立性的含义，培养数学抽象素养.通过利用独立性计算概率提升数学运算素养.
2.相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
二、素养训练
1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件 D.不相互独立的事件
解析 ∵P(A1)＝，若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件.
答案 D
2.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，，，则此密码能译出的概率是( )
A. B. C. D.
解析 用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∵P( )＝P()·P()·P()＝××＝.
∴此密码破译出的概率为1－＝.
答案 C
3.已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________.
解析 ∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
答案 0.65
4.已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，求P(A)和P( ).
解 ∵A、B是相互独立事件，
∴A与，与也是相互独立事件.
又∵P(A)＝，P(B)＝，
故P()＝，P()＝1－＝，
∴P(A)＝P(A)×P()＝×＝；
P( )＝P()×P()＝×＝.
基础达标
一、选择题
1.一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2是( )
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
解析 由题意可得2表示“第二次摸到的不是白球”，即2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与2是相互独立事件.
答案 A
2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B. C. D.
解析 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
停车一次即为事件BC＋AC＋AB，
故概率为p＝××＋××＋××＝.
答案 D
3.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A. B. C. D.
解析 满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
p＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
答案 C
4.从甲袋中摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A.2个球都是白球
B.2个球都不是白球
C.2个球不都是白球
D.2个球恰好有1个白球
解析 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为p1＝×＝，
∴两个球不都是白球的概率为p＝1－p1＝.
答案 C
5.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
解析 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，
ABC，AB，AC互斥，所以
P(E)＝P[(ABC)∪(AB)∪(AC)]
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××
＝.
答案 B
二、填空题
6.甲、乙两人独立地求解同一问题，甲解出这个问题的概率是p1，乙解出这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解出这个问题的概率是________.
解析 恰好有1人解出可分为甲解出乙没解出、甲没解出乙解出.这两个事件显然是互斥的.所以恰好有1人解出这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1).
答案 p1(1－p2)＋p2(1－p1)
7.在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________.
解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率p＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
答案 0.09
8.国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝.
答案
三、解答题
9.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话.
解 设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通电话可表示为1 2A3，
于是所求概率为P(1 2A3)＝××＝；
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋1A2＋1 2A3，由于事件A1，1A2，12A3两两互斥，
于是所求概率为P(A1＋1A2＋1 2A3)
＝P(A1)＋P(1A2)＋P(1 2A3)
＝＋×＋××＝.
10.甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.
解 设甲、乙、丙三人击中飞机的事件分别为A、B、C，依题意知，A、B、C相互独立，故所求概率为
p＝[P(A )＋P(B)＋P( C)]×0.2＋[P(AB)＋P(AC)＋P(BC)]×0.6＋P(ABC)＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.4×0.5×0.8＋0.6×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.
能力提升
11.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为( )
A. B. C. D.
解析 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.故选C.
答案 C
12.某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示，
P( )＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示.
由于事件BC，AC和AB两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)·[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
创新猜想
13.(多填题)两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率为________.
解析 利用P(AB)＝P(A)P(B)得P(AB)＝0.8×0.7＝0.56，P()＝P()P()＝(1－0.8)(1－0.7)＝0.06.
答案 0.56 0.06
14.(多填题)事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
解析 ∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，
∴P()＝，即P(C)＝.
又P(C)＝P()·P(C)＝，
∴P()＝，P(B)＝.
又P(AB)＝，则P(A)＝，
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
答案
课件28张PPT。10.2 事件的相互独立性教材知识探究3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
问题 上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？事件A和事件B相互独立吗？
提示 因为抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立.1.相互独立事件对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝__________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为_______.P(A)·P(B)2.相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与____，____与B，____与也相互独立.独立教材拓展补遗
[微判断]×√×√[微训练]
1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥
解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件.
答案 A答案 C[微思考]
1.不可能事件与任何一个事件相互独立吗？
提示 相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.
2.必然事件与任何一个事件相互独立吗？
提示 相互独立.必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响.题型一 相互独立事件的判断
【例1】 从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A＝“抽到老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？规律方法 两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.【训练1】 掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥答案 B题型二 相互独立事件同时发生的概率
【例2】 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率.要清楚事件包含几种情况哟解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.题型三 相互独立事件概率的综合应用正难则反思想是解决此类问题的常用方法【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.【迁移】 (变问法)在例3条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.解 恰有一列火车正点到达的概率＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.【训练3】 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.一、素养落地
1.通过学习事件独立性的含义，培养数学抽象素养.通过利用独立性计算概率提升数学运算素养.2.相互独立事件与互斥事件的区别二、素养训练
1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件 D.不相互独立的事件答案 D答案 C3.已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________.解析 ∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.
答案 0.65
