10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
课标要求
素养要求
结合实例，会用频率估计概率.
通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性，理解频率与概率之间的联系与区别，发展数学抽象与逻辑推理素养.
教材知识探究
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次.
问题 (1)你能计算出正面朝上的频率吗？
(2)抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少？
提示 (1)正面朝上的频率为0.48.
(2)正面朝上的概率为0.5.
频率的稳定性 频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
教材拓展补遗
[微判断]
1.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件.(×)
2.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的.(×)
提示 1.小概率事件是发生的可能性非常小的事件.
2.概率是频率的稳定值与试验的次数无关.
[微训练]
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
解析 “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”.故选D.
答案 D
2.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品.
解析 由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.
答案 1 000
[微思考]
1.频率和概率可以相等吗？
提示 可以相等.但因为每次试验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生.
题型一 频率与概率的关系及求法
【例1】 下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表：
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
解 (1)根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计优等品的概率是0.95.
规律方法 利用频率估计概率
(1)①根据频率的计算公式fn(A)＝求出频率值；②用频率的稳定值作为概率的近似值.
(2)注意事项：试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会出现规律性，即在某个常数附近摆动，并且这个常数就是概率.
【训练1】 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解 (1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
题型二 游戏公平性的判断
【例2】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？
解 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率p1＝＝，(2)班代表获胜的概率p2＝＝，即p1＝p2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.
规律方法 游戏规则公平的判断标准：
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等.
【训练2】 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解 (1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性.
题型三 频率的稳定性在实际生活中的应用
频率可以近似地看作随机事件的概率
【例3】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
频数
频率
[700，900)
48
[900，1 100)
121
[1 100，1 300)
208
[1 300，1 500)
223
[1 500，1 700)
193
[1 700，1 900)
165
[1 900，＋∞)
42
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
解 (1)利用频率的定义可得：[700，900)的频率是0.048；[900，1 100)的频率是0.121；[1 100，1 300)的频率是0.208；[1 300，1 500)的频率是0.223；[1 500，1 700)的频率是0.193；[1 700，1 900)的频率是0.165；[1 900，＋∞)的频率是0.042.
所以频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.
规律方法 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【训练3】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.
解 (1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为＝，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为.
一、素养落地
1.通过具体实例抽象出频率的稳定性，提升数学抽象素养.通过频率稳定性的应用，培养逻辑推理素养.
2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.
二、素养训练
1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )
A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
解析 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.
答案 D
2.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( )
A.160 B.7 840 C.7 998 D.7 800
解析 次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.
答案 B
3.下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的说法是________(填序号).
解析 根据频率与概率的定义及关系可知①④⑤正确.
答案 ①④⑤
4.世园会前夕，质检部门对世园会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世园会所需该产品共有20 000件，求其中的不合格产品的件数.
解 不合格产品约有20 000×(1－99%)＝200(件).
基础达标
一、选择题
1.每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3道题选择结果正确”这句话( )
A.正确 B.错误
C.不一定 D.无法解释
解析 3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确.
答案 B
2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，每一次出现正面朝上的概率均为.
答案 D
3.成语“千载难逢”意思是说某事( )
A.一千年中只能发生一次
B.一千年中一次也不能发生
C.发生的概率很小
D.为不可能事件，根本不会发生
解析 根据概率的意义可选择A、B、D都不正确.
答案 C
4.一个保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%.”他的说法( )
A.正确 B.不正确
C.有时正确，有时不正确 D.应由气候条件确定
解析 在大多数时候，人是不得病的，得病与不得病的概率不相等，故选B.
答案 B
5.下列结论正确的是( )
A.事件A的概率为P(A)，则必有0
B.事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
解析 A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，故选C.
答案 C
二、填空题
6.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验.
解析 设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案 500
7.玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________(“公平”或“不公平”).
解析 向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的.
答案 公平
8.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________.
解析 易知袋装白糖质量在497.5 g～501.5 g之间的袋数为5，故其频率为＝0.25，即其概率约为0.25.
答案 0.25
三、解答题
9.某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1 001
1 000
1 004
1 003
1 000
满意人数m
999
998
1 002
1 002
1 000
满意频率
(1)计算表中的各组频率；
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况.
解 (1)表中各个频率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对此教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998”.
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高.
10.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
解 设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕出一定量的天鹅，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝①，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝②，
由①②两式，得＝，解得n＝1 500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
能力提升
11.(多填题)样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为________.
解析 由于[6，10)范围内，频率/组距＝0.08，所以频率＝0.08×4＝0.32，而频数＝频率×样本容量，所以频数＝0.32×200＝64.由频率估计概率可知，在[2，10)范围内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
答案 64 0.4
12.用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：厘米)检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
d∈(6.88，6.89]
1
d∈(6.93，6.94]
26
d∈(6.89，6.90]
2
d∈(6.94，6.95]
15
d∈(6.90，6.91]
10
d∈(6.95，6.96]
8
d∈(6.91，6.92]
17
d∈(6.96，6.97]
2
d∈(6.92，6.93]
17
d∈(6.97，6.98]
2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93，6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91，6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
解 (1)螺母的直径在(6.93，6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41，
所以事件A的频率为＝0.41.
(2)螺母的直径在(6.91，6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75，
所以事件B的频率为＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，
所以事件C的频率为＝0.04.
创新猜想
13.(多选题)有以下一些说法，其中正确的有( )
A.一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是
B.买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖
C.乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D.昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的
解析 根据概率的意义逐一判断可知AC正确，BD不正确.
答案 AC
14.(多填题)一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10，20)2个；[20，30)3个； [30，40)x个；[40，50)5个；[50，60)4个；[60，70)2个；并且样本在[30，40)之间的频率为0.2.则x＝________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10，50)内的概率约为________.
解析 由＝0.2，得x＝4，样本中数据落在[10，50)内的频率＝＝，所以估计总体中数据落在[10，50)内的概率约为0.7.
答案 4 0.7
课件30张PPT。10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性教材知识探究小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次.
问题 (1)你能计算出正面朝上的频率吗？
(2)抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少？
提示 (1)正面朝上的频率为0.48.
(2)正面朝上的概率为0.5.频率的稳定性频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值随机性大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有__________.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的__________.因此我们可以用频率fn(A)估计__________.缩小稳定性概率P(A)教材拓展补遗
[微判断]
1.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件.( )
2.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的.( )提示 1.小概率事件是发生的可能性非常小的事件.
2.概率是频率的稳定值与试验的次数无关.××[微训练]
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
解析 “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”.故选D.
答案 D2.对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品.答案 1 000[微思考]
1.频率和概率可以相等吗？
提示 可以相等.但因为每次试验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
2.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？
提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生.题型一 频率与概率的关系及求法
【例1】 下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：(1)计算各组优等品频率，填入上表：
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计优等品的概率是0.95.【训练1】 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解 (1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.题型二 游戏公平性的判断要判断游戏是否公平，只要看每个参与者获胜的概率是否相等即可【例2】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？解 该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：规律方法 游戏规则公平的判断标准：
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等.【训练2】 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解 (1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性.题型三 频率的稳定性在实际生活中的应用频率可以近似地看作随机事件的概率【例3】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.解 (1)利用频率的定义可得：[700，900)的频率是0.048；[900，1 100)的频率是0.121；[1 100，1 300)的频率是0.208；[1 300，1 500)的频率是0.223；[1 500，
1 700)的频率是0.193；[1 700，1 900)的频率是0.165；[1 900，＋∞)的频率是0.042.
所以频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.规律方法 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.【训练3】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率.一、素养落地
1.通过具体实例抽象出频率的稳定性，提升数学抽象素养.通过频率稳定性的应用，培养逻辑推理素养.
2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.二、素养训练
1.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( )A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
解析 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.
答案 D2.设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( )A.160 B.7 840 C.7 998 D.7 800
解析 次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.
答案 B解析 根据频率与概率的定义及关系可知①④⑤正确.
答案 ①④⑤4.世园会前夕，质检部门对世园会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世园会所需该产品共有20 000件，求其中的不合格产品的件数.解 不合格产品约有20 000×(1－99%)＝200(件).