(共32张PPT)
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
目标定位 重点难点
1.理解对数函数的概念.
2.初步掌握对数函数的图象及性质.
3.会类比指数函数，研究对数函数的性质. 重点：对数函数的概念、图象和性质.
难点：对数函数图象与性质的应用.
1.对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是___________.
x
(0，＋∞)
2.对数函数的图象与性质
(1,0)
y＜0
y＞0
y＞0
y＜0
增函数
减函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)
【答案】(1)√ (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝log0.5(3x＋2)有意义，应有x∈______.
(2)若函数y＝log(a－1)x为增函数，则a的取值范围是_____.
3.思一思：判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？
【解析】对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为大于0且不等于1的常数，真数仅有自变量x这三个条件，才是对数函数.如：y＝logax2，y＝loga(4－x)，y＝logxa都不是对数函数.
【例1】下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝logax2(a>0且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝logxa(x>0且x≠1)；④y＝log5x.
【解题探究】解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条件.
对数函数的定义
【解析】④为对数函数.
①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，∴不是对数函数；
③中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.
【方法规律】判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
1.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
【答案】1
【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1>0且a＋1≠1，∴a＝1.
【例2】(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________.
(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_____.
对数函数的图象
【解题探究】(1)利用loga1＝0确定恒过定点问题；
(2)根据对数函数图象的位置关系，确定底数的大小.
【答案】(1)(0，－2) (2)b>a>1>d>c
【解析】(1)因为函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，
所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).
(2)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
【方法规律】1.对数函数图象过定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
【答案】D
【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c＜1.
【解题探究】解答本题可结合对数定义及对数式的意义列不等式(组)求解.
对数函数有关的定义域问题
【方法规律】求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.
【示例】已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)，求函数y＝f(x)的表达式及定义域、值域.
【错解】因为lg(lg y)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，①
所以lg y＝3x(3－x).
所以y＝103x(3－x)(x∈R，y>0).
忽略对数函数的定义域
【警示】解决含有对数的问题时一定要使对数式有意义，即要使对数的真数大于0，底数大于0且不等于1，也就是说无论是解对数方程、对数不等式，还是解决含对数的函数问题都必须始终关注这一点.
1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0，且a≠1)这种形式.
2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
2.函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是( )
A．0.5
B．2
C．e
D．π
【答案】A
【解析】∵函数y＝logax的图象单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意.
3.已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为______.
4.若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________.
【答案】(2,1)
【解析】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0，∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________.
【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的反函数为y＝ex.
第1课时 对数函数的图象及性质
【基础练习】
1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2.在同一坐标系中，函数y＝log3x与y＝x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【解析】∵y＝x＝－log3x，∴函数y＝log3x与y＝x的图象关于x轴对称.
3.已知函数f(x)＝那么f的值为( )
A．27 B．
C．－27 D．－
【答案】B
【解析】f＝log2＝log22－3＝－3，f＝f(－3)＝3－3＝.
4.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B．
C．logx D．2x－2
【答案】A
【解析】函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
5.已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.
【答案】－
【解析】设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，则－3＝loga8，∴a＝.∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.
6.已知函数y＝|x|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________.
【答案】[1,2]
【解析】作出y＝|x|的图象(如图)，可知f＝f(2)＝1，由题意结合图象知1≤m≤2.
7.求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x).
【解析】(1)要使函数有意义，需满足
解得x＞2且x≠3.故函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
故函数的定义域为(－1,0)∪(0,4).
8.已知f(x)＝lg ，x∈(－1,1)，若f(a)＝，求f(－a).
【解析】方法一：∵f(－x)＝lg ＝lg－1＝－f(x)，
∴f(－a)＝－f(a)＝－.
方法二∶f(a)＝lg ，f(－a)＝lg ＝lg－1＝－lg＝－.
【能力提升】
9.若|loga|＝loga且|logba|＝－logba，则a，b满足的关系式是( )
A．a>1，b>1 B．a>1,0C．b>1,0【答案】C
【解析】由|loga|＝loga，知loga>0，∴01.故选C．
10.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数.所以0＜a＜1,0＜b＜1.所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数，故排除A，B．由g(x)的值域为(b，＋∞).所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C．
11.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，若f(x1x2…x2016)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________.
【答案】16
【解析】∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝logax＋logax＋logax＋…＋logax＝loga(x1x2x3…x2 016)2＝2loga(x1x2x3…x2016)＝2f(x1x2x3…x2 016)，∴原式＝2×8＝16.
12.求函数f(x)＝(log0.25x)2－log0.25x2＋5在x∈[2,4]上的最值.
【解析】设t＝log0.25x，y＝f(x).
由x∈[2,4]，得t∈.
又y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4在区间上单调递减，所以当t＝－1，即x＝4时，y有最大值8；
当t＝－，即x＝2时，y有最小值.
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2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质
第2课时 对数函数及其性质的应用
目标定位 重点难点
1.掌握利用对数函数的单调性解决比较对数大小问题.
2.理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决求最值、解不等式等综合问题. 重点：利用对数函数的单调性比较大小及解简单的对数不等式.
难点：对数函数的综合应用.
1.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质
(1)定义域：__________.
(2)值域：____________.
(3)定点：____________.
(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是________；
0(0，＋∞)
R
(1,0)
增函数
减函数
(5)函数值变化
当a>1，x>1时，y∈__________，
0当01时，y∈__________，
0(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解.
2.对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax互为______，它们的图象关于直线______对称.对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的______，而y＝logax的值域是y＝ax的__________.
(0，＋∞)
(－∞，0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
反函数
y＝x
值域
定义域
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)loga3.10，且a≠1).( )
(2)log0.30.2(3)log3π>logπ3.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【答案】(1)3x (2)(2，＋∞)
3.思一思：函数y＝2x与函数y＝log2x的单调区间相同吗？
【解析】不同.y＝2x的单调增区间为(－∞，＋∞)，y＝log2x的单调增区间为(0，＋∞).
比较大小
【方法规律】比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较.
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.
【答案】(1)D (2)D
简单对数不等式
【方法规律】常见对数不等式的解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解.
2.若a>0且a≠1，loga(2a＋1)对数函数性质的综合应用
【方法规律】对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.
【示例】函数y＝logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值.
忽略底数对对数函数的单调性的影响致误
【错因】此题错误是把y＝logax在[2,4]上直接看成了增函数，但底数a不定，所以函数的单调性也不定，应分类讨论才行.
【警示】在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a>1与00且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.
2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
1．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4,4] D．(－4,4]
【答案】D
2.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b
第2课时 对数函数及其性质的应用
【基础练习】
1.若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A． B．∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
【答案】B
【解析】当a>1时，loga<0<1，成立.当01.
2.函数f(x)＝|x|的单调递增区间是( )
A． B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).
3.函数f(x)＝logax在区间[a2，a]上的最大值是( )
A．0 B．1
C．2 D．a
【答案】C
【解析】由a2＜a，得0＜a＜1，∴f(x)＝logax在区间[a2，a]上是减函数.∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
4．(2018年天津)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【答案】D
【解析】c＝＝log23＞log2e＝a，即c＞a.又b＝ln 2＝<15.比较大小log0.2π________log0.23.14(填“<”“>”或“＝”).
【答案】<
【解析】∵y＝log0.2x在定义域上为减函数，且π>3.14，∴log0.2π6.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数且f＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________.
【答案】
【解析】由题意，可知f(log4x)＜0?－＜log4x＜?log44－＜log4x＜log44?＜x＜2.
7.已知f(x)＝是R上的增函数，求a的取值范围.
【解析】f(x)是R上的增函数，
则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a>1.
又当x<1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数.
∴6－a>0.∴a<6.
又(6－a)×1－4a≤loga1，得a≥.
∴≤a<6.
∴a的取值范围为.
8.解下列不等式.
(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；
(2)logx＞1.
【解析】(1)原不等式等价于
解得＜x＜3，∴原不等式的解集为.
(2)当x>1时，logx>logxx，即>x，不成立.
当0logxx，则∴原不等式的解集为.
【能力提升】
9．(2019年山东济南模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0＜a－1＜b＜1 B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1
【答案】A
【解析】由函数图象可知f(x)在R上递增，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1＜logab＜0，解得＜b＜1.综上有0＜＜b＜1.
10．(2019年安徽六安模拟)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如：[1]＝1，[1.5]＝1，[－1.5]＝
－2，则[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log232]＝( )
A．103 B．104
C．128 D．129
【答案】A
【解析】[log21]＝0，[log22]＝[log23]＝1，[log24]＝[log25]＝…＝[log27]＝2，[log28]＝[log29]＝…＝[log215]＝3，[log216]＝[log217]＝…＝[log231]＝4，[log232]＝5，故原式＝0＋2×1＋4×2＋8×3＋16×4＋5＝103.
11.已知实数a，b满足log2a＝log3b，下列五个关系式：
①a>b>1，②0a>1，④0【答案】②③⑤
【解析】当a＝b＝1；或a＝2，b＝3；或a＝，b＝时，都有a＝B．故②③⑤均可能成立.
12.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值.
【解析】∵f(x)＝2＋log3x，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)
＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2
＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x
＝(log3x)2＋6log3x＋6
＝(log3x＋3)2－3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，
必须满足即1≤x≤3.
∴0≤log3x≤1.∴6≤y＝(log3x＋3)2－3≤13.
当log3x＝1，即x＝3时，y＝13.
∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取得最大值13.
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