章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.频率与概率
频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
2.求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；
(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解.
3.古典概型概率的计算
关键要分清样本点的总数n与事件A包含的样本点的个数k，再利用公式P(A)＝求解.有时需要用列举法把样本点一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏.
要点一 随机事件的概率
1.有关事件的概念
(1)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件.
(2)不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件.
(3)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
2.对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
【例1】 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【训练1】 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为p＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
要点二 互斥事件与对立事件的概率及应用
1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
2.设事件A的对立事件是，则P(A)＝1－P().
【例2】 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解 (1)从袋中随机取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，所以取出的球的编号之和不大于4的概率p1＝.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有(m，n)有16种，而n≥m＋2有1和3，1和4，2和4三种结果，所以n【训练2】 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二 因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.
要点三 古典概型
古典概型及其解法
(1)古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.
(2)在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.
【例3】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以这6件样品中来自A，B，C三个地区的数量分别为1，3，2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.
记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.
所以P(D)＝，
即这2件商品来自相同地区的概率为.
【训练3】 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解 (1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.
从中选出2名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为p＝.
(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，
所以选出的2名教师来自同一
所学校的概率为p＝＝.
要点四 事件的相互独立性
计算相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
(2)根据相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；
(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.
【例4】 计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解 (1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
【训练4】 甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________.
解析 法一 甲胜的情况：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束；②举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜.①②的概率分别为，×，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为＋×＝.
法二 因为比赛只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜，其概率为×＝，所以甲胜出的概率为1－＝.
答案
课件28张PPT。章末复习课[网络构建][核心归纳]
1.频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率.2.求较复杂概率的常用方法3.古典概型概率的计算要点一 随机事件的概率
1.有关事件的概念(1)随机事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件.
(2)不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件.
(3)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.2.对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验.
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率.
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.【例1】 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.【训练1】 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.要点二 互斥事件与对立事件的概率及应用1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).【例2】 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解 (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
法二 因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.要点三 古典概型古典概型及其解法
(1)古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性.
(2)在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有样本点一一列举出来，以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的穷举法.在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏.【例3】 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2，
则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有样本点为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个.
每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点的出现是等可能的.记事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.【训练3】 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.解 (1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.
从中选出2名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，(2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种.
从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，要点四 事件的相互独立性计算相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；
(2)根据相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；
(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.章末检测(五)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若“A＋B”发生(A，B中至少有一个发生)的概率为0.6，则，同时发生的概率为( )
A.0.6 B.0.36 C.0.24 D.0.4
解析 “A＋B”发生指A，B中至少有一个发生，它的对立事件为A，B都不发生，即，同时发生.
答案 D
2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种( )
A.3 B.4 C.6 D.12
解析 用1，2，3分别表示这三册小说，排序有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)共6种.
答案 C
3.一个骰子连续投2次，点数和为i(i＝2，3，…，12)的概率记作Pi，则Pi的最大值是( )
A. B. C. D.
解析 样本点是
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)；
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)；
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)；
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)；
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)；
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
共有36个.其中两数之和等于7的有6个，两数之和等于其余数字的都少于6个，故P7＝＝最大.
答案 B
4.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析 由互斥事件的定义可得“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.
答案 A
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
解析 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
答案 B
6.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
解析 所求概率为p＝×＋×＝或p＝1－×－×＝.
答案 B
7.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
解析 选取两支彩笔的方法有10种，含有红色彩笔的选法为4种，由古典概型公式，满足题意的概率p＝＝.
答案 C
8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B. C. D.
解析 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数
1
2
3
4
5
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为＝.
答案 D
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是( )
A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C.上京和上海都可能没降雨
D.北京降雨的可能性比上海大
解析 概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此BCD正确，A错误.
答案 BCD
10.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )
A.至少有1件次品与至多有1件正品
B.至少有1件次品与都是正品
C.至少有1件次品与至少有1件正品
D.恰有1件次品与恰有2件正品
解析 对于A，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故A不正确；对于B，至少有1件次品包含着“一件正品一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立事件，故B正确；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故C不正确；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥而不对立事件，故D项正确.
答案 BD
11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是( )
A.颜色相同 B.颜色不全同
C.颜色全不同 D.无红球
解析 有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的结果有8种，其概率为.
答案 ACD
12.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配不合理的是( )
A.甲得9张，乙得3张
B.甲得6张，乙得6张
C.甲得8张，乙得4张
D.甲得10张，乙得2张
解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，
所以继续游戏甲获胜的概率是＋×＝，
乙获胜的概率是×＝.
所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)，故选BCD.
答案 BCD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝________.
解析 事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
答案 1
14.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没有击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}.其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________.（本题第一空3分，第二空2分）
解析 事件“两次都击中飞机”发生，则A与D都发生.
事件“恰有一次击中飞机”发生，则C与D都发生.
A与B，A与C，B与C，B与D都不可能同时发生，B与D中必有一个发生.
答案 A与B，A与C，C与B，B与D B与D
15.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________.
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件(A1A2A3)∪(A12A3)∪(1A2A3)发生，故所求概率为
P＝P[(A1A2A3)∪(A12A3)∪(1A2A3)]
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)·P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5
＝0.46.
答案 0.46
16.将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a－2b＋10＞0成立的事件发生的概率等于________.
解析 甲、乙两人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共81个.由不等式a－2b＋10＞0得2b＜a＋10，于是，当b＝1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每个值，使不等式成立，则共有45种；当b＝6时，a可取3，4，…，9中每个值，有7种；当b＝7时，a可取5，6，7，8，9中每个值，有5种；当b＝8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种；当b＝9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为＝.
答案
四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率.
解 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝.
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
18.(12分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数
2人及以下
3
4
5
6人及以上
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4人或5人培训的概率；
(2)求至少有3人培训的概率.
解 (1)设有2人及以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4人或5人培训为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，故P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4，即有4人或5人培训的概率为0.4.
(2)至少有3人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率公式可知P(B∪C∪D∪E)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9，即至少有3人培训的概率为0.9.
19.(12分)若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求：
(1)甲中奖的概率P(A)；
(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；
(3)只有乙中奖的概率P(C)；
(4)乙中奖的概率P(D).
解 将5张奖券编号为1，2，3，4，5.其中4，5为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽到号码x，乙抽到号码y，则可能的结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共20种.
(1)甲中奖包含8个样本点，
∴P(A)＝＝.
(2)甲、乙都中奖包含2个样本点，
∴P(B)＝＝.
(3)只有乙中奖包含6个样本点，
∴P(C)＝＝.
(4)乙中奖包含8个样本点，
∴P(D)＝＝.
20.(12分)在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支黑色，2支蓝色，1支红色，从中任取3支.
(1)该试验的样本点共有多少个？若将3支黑圆珠笔编号为A，B，C，2支蓝色圆珠笔编号为d，e，1支红色圆珠笔编号为x，用(a，b，c)表示样本点，试列举出该试验的所有样本点.
(2)求恰有两支黑色的概率；
(3)求至少1支蓝色的概率.
解 (1)该试验的所有样本点有(A，B，C)，(A，B，d)，(A，B，e)，(A，B，x)，(A，C，d)，(A，C，e)，(A，C，x)，(A，d，e)，(A，d，x)，(A，e，x)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，C，x)，(B，d，e)，(B，d，x)，(B，e，x)，(C，d，e)，(C，d，x)，(C，e，x)，(d，e，x)，共20种.
(2)事件“恰有两支黑色”包含的样本点有(A，B，d)，(A，B，e)，(A，B，x)，(A，C，d)，(A，C，e)，(A，C，x)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，C，x)，共9种，故恰有两支黑色的概率p＝.
(3)事件“没有蓝色”包含的样本点有(A，B，C)，(A，B，x)，(B，C，x)，(A，C，x)，共4个，
故至少有1支蓝色的概率p＝1－＝.
21.(12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错的概率是，乙、丙两个家庭都回答对的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答对这道题的概率.
解 (1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答对的概率为
p0＝P( )＝P()·P()·P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝××＝，
有1个家庭回答对的概率为p1＝P(A ＋B＋ C)＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答对这道题的概率为p＝1－p0－p1＝1－－＝.
22.(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)，畅通；T∈[2，4)，基本畅通；T∈[4，6)，轻度拥堵；T∈[6，8)，中度拥堵；T∈[8，10]，严重拥堵.在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；
(2)用分层随机抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
解 (1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，
轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，
中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，
严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个).
(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层随机抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为×6＝2，×9＝3，×3＝1，即从交通指数在[4，6)，[6，8)，[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，抽取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，抽取的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为＝.
