10.1.2 事件的关系和运算
课标要求
素养要求
了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算.
通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算，发展数学抽象与数学运算素养.
教材知识探究
在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}，F＝{出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.
问题 在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？
提示 (1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)事件C1与事件C2互斥；(4)事件E与事件F对立.
1.事件的运算
定义
表示法
图示
并事件
A与B的并事件有三层意思：①事件A发生事件B不发生；②事件A不发生事件B发生；③事件A和事件B同时发生
事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
2.事件的关系 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
定义
表示法
图示
包含关系
若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
互斥事件
如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容)
若A∩B＝?，则A与B互斥
对立事件
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，则A与B对立
3.事件关系或运算的含义
事件关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝?，A∪B＝Ω
教材拓展补遗
[微判断]
从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，判断下列事件哪些是互斥而不对立的两事件.
(1)“至少有1个黑球”和“都是黑球”.(×)
(2)“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”.(×)
(3)“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”.(√)
(4)“至少有1个黑球”和“都是红球”(×)
提示 (1)(2)中两事件能同时发生，(4)中两事件既互斥又对立.
[微训练]
1.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有( )
A.M?N B.M?N
C.M＝N D.M∩N＝?
答案 A
2.如果事件A，B互斥，那么( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与 一定不互斥
解析 A，B互斥，不一定是对立事件，故A不正确；当A，B不是对立事件时，与不互斥，故C不正确；当A，B是对立事件时，与也是对立事件，当然也是互斥事件，故D也不正确.另外，用集合表示方法中的“Venn图”来解决此题比较直观.如图所示，∪是必然事件，故选B.
答案 B
3.袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个白球；红、黑球各1个
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；都是白球
解析 至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件.
答案 A
[微思考]
1.一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
提示 因为5>4，故B发生时A一定发生.
2.在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示 因为1为奇数，所以A?B.
3.判断两个事件是对立事件的条件是什么？
提示 ①看是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.
题型一 事件关系的判断
解决此类问题要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断，或利用集合的观点，结合图形解题
【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
解 (1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
规律方法 互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA.
【训练1】 从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
解析 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
答案 ①②⑤
题型二 事件的运算
【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
规律方法 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
【训练2】 在例2中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
解 由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
题型三 事件运算的综合问题
在求某些复杂事件的概率时，可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易
【例3】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}.
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果.
解 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种样本点，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?，C∩D＝?.
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}，
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}，B∪D＝{出现点数2或3或4或6}，
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}，
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}.
规律方法 事件运算应注意的两个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【训练3】 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A.A?D B.B∩D＝?
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案 D
一、素养落地
1.通过学习随机事件的交、并和互斥的含义，提升数学抽象素养.通过进行简单的随机事件的运算，培养数学运算素养.
2.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
二、素养训练
1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A.A?B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
解析 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
答案 B
2.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
解析 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件.
答案 C
3.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
解析 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案 A
4.抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
解析 “至少有2件次品”的对立事件为“至多有1件次品”.
答案 B
基础达标
一、选择题
1.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则与事件A互斥的事件为( )
A.恰有两件次品 B.恰有一件次品
C.恰有两件正品 D.至少有两件正品
解析 事件“恰有一件次品”与事件A不会同时发生，故选B.
答案 B
2.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A.A?B
B.A?B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
解析 由互斥事件的定义知C正确.
答案 C
3.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件：
①“恰有1件次品”和“2件都是次品”；
②“至少有1件次品”和“都是次品”；
③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”；
④“至少有1件次品”和“都是正品”.
其中互斥事件有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
解析 对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件；
对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；
对于④“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件.
答案 B
4.从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中是对立事件的是( )
A.① B.②④ C.③ D.①③
解析 从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数.至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2).故选C.
答案 C
5.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是( )
A.对立事件 B.不可能事件
C.互斥事件 D.以上答案都不对
解析 “甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件.
答案 C
二、填空题
6.打靶3次，事件Ai表示“击中i次”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示________.
解析 A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次.
答案 至少有一次击中
7.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是________.
解析 A与D互斥但不对立.
答案 A与D
8.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有______(填序号).
①恰有1名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生.
解析 ①是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件，至少有一名男生与全是女生不可能同时发生.
答案 ①④
三、解答题
9.某城市有甲，乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C；
(2)B与D；
(3)B与C；
(4)C与D.
解 事件A为“只订甲报纸”；事件B“至少订一种报纸”包括“只订甲报纸”，“只订乙报纸”和“订甲乙两种报纸”；事件C“至多订一种报纸”包括“一种报纸也不订”，“只订甲报纸”和“只订乙报纸”；事件D为“一种报纸也不订”.
(1)事件C包含事件A，所以不是互斥事件；
(2)B与D既是互斥事件，也是对立事件；
(3)事件B和事件C可以同时发生，所以不是互斥事件；
(4)事件C包含事件D，所以不是互斥事件.
10.设某人向一个目标射击3次，用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i＝1，2，3)，指出下列事件的含义：
(1)A1∩A2；
(2)A1∩A2∩3；
(3)A1∪A；
(4)1∩2∩3.
解 (1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩3表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标.
(3)A1∪A表示第1次和第2次都没击中目标.
(4)1∩2∩3表示三次都没击中目标.
能力提升
11.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为( )
A.一个是5点，另一个是6点
B.一个是5点，另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
解析 同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
答案 C
12.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；
(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
解 试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出1点”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因为A∩B＝{(1，5)}≠?，A∩C＝{(1，4)}≠?，B∩C＝?，所以事件A与事件B，事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
创新猜想
13.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
解析 对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件.
答案 ACD
14.(多填题)掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”.其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________.
解析 A、B既是互斥事件，也是对立事件.
答案 A，B A，B
课件30张PPT。10.1.2 事件的关系和运算教材知识探究在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}，F＝{出现的点数大于4}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}.问题 在上述事件中，(1)事件C1与事件C2的并事件是什么？(2)事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？(3)事件C1与事件C2间有什么关系？(4)事件E与事件F间有什么关系？
提示 (1)C1∪C2＝{出现1点或2点}；(2)D2∩G＝C2；(3)事件C1与事件C2互斥；(4)事件E与事件F对立.1.事件的运算事件A与事件B至少有一个发生A与B的并事件有三层意思：①事件A发生事件B不发生；②事件A不发生事件B发生；③事件A和事件B同时发生并事件A∪BA＋B事件A与事件B同时发生A∩BAB2.事件的关系对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件一定发生B?AA?B不能同时发生A∩B＝?有且仅有一个发生A∩B＝?3.事件关系或运算的含义教材拓展补遗
[微判断]从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，判断下列事件哪些是互斥而不对立的两事件.
(1)“至少有1个黑球”和“都是黑球”.( )
(2)“至少有1个黑球”和“至少有1个红球”.( )
(3)“恰有1个黑球”和“恰有2个红球”.( )
(4)“至少有1个黑球”和“都是红球”( )
提示 (1)(2)中两事件能同时发生，(4)中两事件既互斥又对立.××√×[微训练]
1.同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有( )A.M?N B.M?N
C.M＝N D.M∩N＝?
答案 A2.如果事件A，B互斥，那么( )答案 B3.袋内红、白、黑球分别为3个、2个、1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有一个白球；红、黑球各1个
B.至少有一个白球；至少有一个红球
C.恰有一个白球；一个白球一个黑球
D.至少有一个白球；都是白球
解析 至少有一个白球与红、黑球各1个是互斥事件但不是对立事件.
答案 A[微思考]
1.一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则事件B发生时，事件A一定发生吗？
提示 因为5>4，故B发生时A一定发生.
2.在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，A与B应有怎样的关系？
提示 因为1为奇数，所以A?B.
3.判断两个事件是对立事件的条件是什么？
提示 ①看是否是互斥事件，②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.题型一 事件关系的判断解决此类问题要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断，或利用集合的观点，结合图形解题【例1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解 (1)是互斥事件，不是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.规律方法 互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即A＝?ΩB或B＝?ΩA.【训练1】 从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立.
解析 A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，它包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
答案 ①②⑤题型二 事件的运算事件运算的常见类型：A发生或B发生；A发生且B发生【例2】 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为：1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.规律方法 事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.【训练2】 在例2中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解 由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.题型三 事件运算的综合问题在求某些复杂事件的概率时，可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易【例3】 在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}.(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果.解 在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种样本点，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?，C∩D＝?.
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}，
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}，B∪D＝{出现点数2或3或4或6}，
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}，
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}.规律方法 事件运算应注意的两个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.【训练3】 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A.A?D B.B∩D＝?
C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D
解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案 D一、素养落地
1.通过学习随机事件的交、并和互斥的含义，提升数学抽象素养.通过进行简单的随机事件的运算，培养数学运算素养.
2.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.二、素养训练
1.掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )A.A?B
B.A∩B＝{出现的点数为2}
C.事件A与B互斥
D.事件A与B是对立事件
解析 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}.
答案 B2.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
解析 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件.
答案 C3.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
解析 由于每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时不发生，故是互斥事件，但不是对立事件.
答案 A4.抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
解析 “至少有2件次品”的对立事件为“至多有1件次品”.
答案 B
