10.1.3 古典概型
课标要求
素养要求
结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
问题 上述试验中所有不同的样本点有何特点？
提示 (1)任何两个样本点之间是互斥的，(2)所有样本点出现可能性相等.
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率.事件A的概率用P(A)表示.
2.古典概型
有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据
定义：一般地，若试验E有如下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算公式
应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点的个数.
教材拓展补遗
[微判断]
判断下列有关古典概型的说法是否正确.
(1)试验中样本点只有有限个.(√)
(2)每个样本点发生的可能性相同.(√)
(3)每个事件发生的可能性相同.(×)
(4)样本点的总数为n，随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝.(√)
提示 根据古典概型的定义知(1)(2)(4)正确，而(3)中一个事件可能包含多个样本点，因此说每个事件发生的可能性相同，不正确.
[微训练]
1.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是样本点的是( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
解析 取出的两球的标号的和为8包括取出的两球的标号为1和7，或3和5两个样本点.
答案 D
2.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点数是________.
解析 从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8个样本点.
答案 8
3.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝________.
解析 从1，2，3中任取两个数字，所有可能的结果有：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，其中含有2的结果有2个，故P(A)＝.
答案
[微思考]
1.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？
提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.
2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示 不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是.
3.掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示 不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.
题型一 古典概型的判断
【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？
解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号.故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同.因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.
因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.
因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.
同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.
显然这三个样本点出现的可能性不相等，
所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.
规律方法 (1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性.
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能.
②样本点个数无限，但等可能.
③样本点个数无限，也不等可能.
【训练1】 下列问题中是古典概型的是( )
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
解析 A、B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的个数是无数多个；D项中样本点的发生是等可能的，且是有限个.
答案 D
题型二 古典概型的概率计算
使用古典概型概率公式应注意：①首先确定是否为古典概型，②所求事件是什么，包含的样本点有哪些
【例2】 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解 (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，
则所求事件的概率为p＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为p＝.
规律方法 求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型；
(2)确定样本点的总数n；
(3)确定事件A包含的样本点个数m；
(4)计算事件A的概率，即P(A)＝.
【训练2】 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：
(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}.
解 这个试验样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，所以样本点总数n＝10.
(1)因为事件A＝{(2，3，4)}，
所以事件A包含的事件数m＝1.
所以P(A)＝＝.
(2)因为事件B＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，
所以事件B包含的样本点数m＝9.
所以P(B)＝＝.
题型三 “放回”与“不放回”问题
【例3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？无论放回还是不放回，每件产品被抽到的机会相等
解 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
规律方法 解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
【训练3】 某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为________.
解析 a，b，c三名学生选择食堂的结果有：(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)共8个，三人在同一食堂用餐的结果有：(A，A，A)，(B，B，B)，共2个，所以“三人在同一食堂用餐”的概率为.
答案
一、素养落地
1.通过具体实例，研究古典概型的特点，提升数学抽象素养.通过计算古典概型中简单随机事件的概率培养数学运算素养.
2.古典概型是一种最基本的概型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解样本点与事件A的关系，从而求出m，n.
3.求某个随机事件A包含的样本点的个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
二、素养训练
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 该生选报的所有可能情况：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以样本点有3个.
答案 C
2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为
C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为
解析 所有可能的事件有“下雨帐篷到”，“下雨帐篷未到”，“不下雨帐篷到”，“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为，故选D.
答案 D
3.下列试验中是古典概型的是( )
A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0，5]内任取一数，求此数小于2的概率
解析 A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，不满足等可能性，故不是古典概型，B，D中的试验中的样本点有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个样本点，且每个样本点发生的概率相同，是古典概型.
答案 C
4.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，求甲被选中的概率.
解 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，共有3个结果：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，其中甲被选中的有2个，故所求的概率为p＝.
三、审题答题
示范(六) 古典概型的求解问题
【典型示例】 (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人①？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果②；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率③.
联想解题
看到①想到计算各年级人数之比，再按比例划分人数.
看到②想到用列举法写出所有可能的抽取结果.
看到③想到古典概型，用事件M发生的可能结果除以所有可能的结果.
满分示范
解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.2分
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.8分
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种.所以，事件M发生的概率P(M)＝.12分
满分心得
容易错误的地方是列举不全或重复.
基础达标
一、选择题
1.下列是古典概型的是( )
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D.抛掷一枚质地不均匀硬币首次出现正面为止
解析 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.
答案 C
2.甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( )
A. B. C. D.
解析 甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝.
答案 B
3.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )
A. B. C. D.
解析 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率为＝.
答案 B
4.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )
A. B. C. D.
解析 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54，其中大于40的有8个，故所求的概率为＝.
答案 B
5.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A. B. C. D.
解析 所有样本点的个数为6×6＝36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为p＝＝.
答案 C
二、填空题
6.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面朝上的概率是________.
解析 试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是.
答案
7.在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
解析 用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为＝.
答案
8.一次掷两枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有实数根的概率是________.
解析 样本点共有36个.因为方程有实根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其对立事件是m＋n<4，其中有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点.
所以所求概率为1－＝.
答案
三、解答题
9.解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是.
解 (1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的.
(2)每次购买额满200元，抽奖中奖的可能性为0.6.
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)出生一个新婴儿，这个婴儿将是女孩的可能性是.
10.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球.
(1)共有多少个样本点？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 (1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1、2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).
因此，共有10个样本点.
(2)上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝.
故摸出2只球都是白球的概率为.
能力提升
11.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )
A. B. C. D.
解析 3块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率p＝＝.
答案 B
12.做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示试验结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，写出：
(1)试验的样本点；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”；
(4)事件“出现点数之和等于7”.
解 (1)这个试验的样本点，列举如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个.
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
(3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
创新猜想
13.(多选题)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有( )
A.出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率
B.只要连掷6次，一定会“出现1点”
C.投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大
D.连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
解析 掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故A正确；“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确.
答案 AD
14.(多填题)从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是________.若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是________.
解析 从5个数字中不放回地任取两数，样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个.因为都为奇数的样本点有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3个，所以所求概率p＝.从5个数字中有放回的任取两数，样本点共有25个，都为偶数的样本点有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)共4个，故概率p＝.
答案
课件32张PPT。10.1.3 古典概型教材知识探究我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
问题 上述试验中所有不同的样本点有何特点？
提示 (1)任何两个样本点之间是互斥的，(2)所有样本点出现可能性相等.1.概率对随机事件发生_________大小的度量(数值)称为事件的概率.事件A的概率用_____表示.可能性P(A)2.古典概型定义：一般地，若试验E有如下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.有限性与等可能性是判断古典概型的两个重要依据3.计算公式应用公式的关键是分清样本空间中样本点的个数及事件A中包含的样本点的个数教材拓展补遗
[微判断]判断下列有关古典概型的说法是否正确.
(1)试验中样本点只有有限个.( )
(2)每个样本点发生的可能性相同.( )
(3)每个事件发生的可能性相同.( )提示 根据古典概型的定义知(1)(2)(4)正确，而(3)中一个事件可能包含多个样本点，因此说每个事件发生的可能性相同，不正确.√√×√[微训练]
1.袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件不是样本点的是( )A.取出的两球标号为3和7 B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3 D.取出的两球的标号的和为8
解析 取出的两球的标号的和为8包括取出的两球的标号为1和7，或3和5两个样本点.
答案 D2.袋中装有红白球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，所有的样本点数是________.解析 从装有红白两球的袋中有放回的取出，所有取法有：共8个样本点.
答案 83.从1，2，3中任取两个数字，设取出的数字含有2为事件A，则P(A)＝________.[微思考]
1.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？
提示 不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.
2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？
提示 不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是.
3.掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？
提示 不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.题型一 古典概型的判断根据判断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号.故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同.因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.规律方法 (1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性.
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能.
②样本点个数无限，但等可能.
③样本点个数无限，也不等可能.【训练1】 下列问题中是古典概型的是( )A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率
C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
解析 A、B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的个数是无数多个；D项中样本点的发生是等可能的，且是有限个.
答案 D题型二 古典概型的概率计算使用古典概型概率公式应注意：①首先确定是否为古典概型，②所求事件是什么，包含的样本点有哪些【例2】 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.【训练2】 从1，2，3，4，5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件A＝{三个数字中不含1和5}；
(2)事件B＝{三个数字中含1或5}.
解 这个试验样本空间Ω＝{(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}，所以样本点总数n＝10.题型三 “放回”与“不放回”问题
【例3】 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“”这一条件换成“”，则取出的两件
产品中恰有一件次品的概率是多少？每次取出后不放回 每次取出后放回无论放回还是不放回，每件产品被
抽到的机会相等解 (1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.
用B表示“恰有一件次品”这一事件，
则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.规律方法 解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.【训练3】 某校有A，B两个学生食堂，若a，b，c三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为________.一、素养落地
1.通过具体实例，研究古典概型的特点，提升数学抽象素养.通过计算古典概型中简单随机事件的概率培养数学运算素养.3.求某个随机事件A包含的样本点的个数和试验中样本点的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.二、素养训练
1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 该生选报的所有可能情况：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，所以样本点有3个.
答案 C2.某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期收到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )答案 D3.下列试验中是古典概型的是( )A.种下一粒花生，观察它是否发芽
B.向正方形ABCD内，任意投掷一点P，观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0，5]内任取一数，求此数小于2的概率
解析 A中花生发芽与不发芽的概率不一定相等，不满足等可能性，故不是古典概型，B，D中的试验中的样本点有无数多个，不是古典概型；C中试验有6个样本点，且每个样本点发生的概率相同，是古典概型.
答案 C4.从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，求甲被选中的概率.三、审题答题
示范(六) 古典概型的求解问题
【典型示例】 (12分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人①？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果②；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率③.联想解题
看到①想到计算各年级人数之比，再按比例划分人数.
看到②想到用列举法写出所有可能的抽取结果.
看到③想到古典概型，用事件M发生的可能结果除以所有可能的结果.满分示范
解 (1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.2分(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.8分满分心得
容易错误的地方是列举不全或重复.
