(共33张PPT)
2.3 幂函数
1.幂函数的概念
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
y＝xα
2.幂函数的图象与性质
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
[0，＋∞)
奇
偶
奇
奇
增
增
减
增
增
减
减
(1,1)
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x3是幂函数.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)，(1,1)点.( )
(3)函数y＝ax不是幂函数( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
【答案】(1)y＝x－2 (2)(0,3)
3.思一思：函数y＝x2与y＝2x有什么区别？
【解析】y＝x2是幂函数，也可认为是特殊的二次函数，自变量x是幂的底数，x∈R，其图象是抛物线；而y＝2x是指数函数，x是指数，其图象是单调递增的指数函数图象.
【例1】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求函数f(x)的解析式.
【解题探究】只要使得(m2－m－1)＝1，且m2＋m－3>0即可满足条件.
幂函数的定义
【解析】根据幂函数定义，得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
【方法规律】1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系，导致解题受阻.
2.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.
1.若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
【答案】2或1
【解析】令m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.当m＝2时，函数y＝x－13，当m＝1时，函数y＝x－8，都是幂函数.
幂函数的图象
【方法规律】幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图象由上到下，指数α由小变大.(2)当α＞0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲线下凸.当α＜0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.
2.已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
B．aC．bD．c【答案】A
【解析】由幂函数的图象特征知，c<0，a>1，0＜b＜1.所以c比较幂的大小
【方法规律】比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.
幂函数性质理解不透致误
【警示】本题从幂函数的概念、图象，单调性以及奇偶性来考查，综合性较强，解题的关键是准确把握幂函数的图象，抓住了幂函数的图象就抓住了性质，也就有效地解决了应用中的困难.
1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.
3.简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.
3.以下关于函数y＝xα当α＝0时的图象的说法正确的是( )
A．一条直线
B．一条射线
C．除点(0,1)以外的一条直线
D．以上选项都不正确
【答案】C
【解析】∵y＝x0，可知x≠0，∴y＝x0的图象是直线y＝1挖去(0,1)点.
2.3 幂函数
【基础练习】
1．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
【答案】C
【解析】根据幂函数的定义知y＝是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2.下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为( )
①y＝x－2；②y＝x；③y＝x；④y＝x.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；④中函数符合条件.故选A．
3.当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x)
B．h(x)＜f(x)＜g(x)
C．g(x)＜h(x)＜f(x)
D．f(x)＜g(x)＜h(x)
【答案】D
【解析】在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示.∴当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，即f(x)＜g(x)＜h(x).
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
【答案】A
【解析】由于y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B，D不合题意.又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C不合题意.y＝x－2＝是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，故A满足题意.
5.幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是________.
【答案】f(x)＝x
【解析】设f(x)＝xα，则有3α＝＝3?α＝.
6.设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________.
【答案】(－∞，1)
【解析】结合幂函数的图象性质可知p<1.
7.函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值.
【解析】根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求.故m＝3.
8.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.
【解析】(1)若f(x)为正比例函数，
则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，
则?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.
【能力提升】
9.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．a＜b＜c D．b＞c＞a
【答案】C
【解析】∵函数y＝x在R上是减函数，又＞，∴＜，即a＜B．∵函数y＝x在R上是增函数且＞，∴＞，即c＞B．∴a＜b＜C．
10．(2019年吉林长春模拟)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是( )
A．f(－2)＞f(1) B．f(－2)＜f(1)
C．f(2)＝f(1) D．f(－2)＞f(－1)
【答案】B
【解析】由于幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则有f(－2)＝f(2)＝，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)＜f(1)．
11.如图所示的函数F(x)的图象，由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xα“拼接”而成，则aa，aα，αa，αα按由小到大的顺序排列为________.
【答案】aα＜αα＜aa＜αa
【解析】依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))α＝\f(1,2)))?所以aa＝＝，aα＝＝，αa＝，αα＝＝，由幂函数y＝x单调递增知aα＜αα＜aa＜αA．
12.已知幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)的图象关于y轴对称且在区间(0，＋∞)上为减函数.
(1)求m的值和函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x＋2)【答案】【解析】(1)幂函数f(x)＝xm2－4m(m∈Z)在区间(0，＋∞)上为减函数，所以m2－4m＜0，解得0＜m＜4.因为m∈Z，所以m＝1,2,3.m＝1时，f(x)＝x－3，其图象不关于y轴对称；m＝2时，f(x)＝x－4，其图象关于y轴对称；m＝3时，f(x)＝x－3，其图象不关于y轴对称.所以m＝2，f(x)＝x－4.
(2)不等式f(x＋2)＜f(1－2x)，函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上为减函数，所以|1－2x|＜|x＋2|，解得x∈.又因为1－2x≠0，x＋2≠0，所以x∈∪.
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