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3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
目标定位 重点难点
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.
2.掌握函数零点的判定方法.
3.了解函数的零点与方程的根的联系. 重点：函数零点概念的理解.
难点：方程的根与函数零点的联系及零点所在区间和个数的判断.
1.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使______的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系；
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与______有交点?函数y＝f(x)________.
f(x)＝0
x轴
有零点
3.函数零点存在的判定方法
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________的一条曲线，并且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得______，这个c也就是方程f(x)＝0的根.
连续不断
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( )
(2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函数在区间(a，b)内可能没有零点.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________.
(2)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________.
【答案】(1)0和2 (2)(1.25,1.5)
3.思一思：函数的零点是一个点吗？
【解析】函数的零点并不是指一个点，而是一个数.它是使得f(x)＝0的自变量x的值，即方程f(x)＝0的根，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
【例1】下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由.
(1)y＝ax＋2(a≠0)；
(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；
(3)y＝ln x－1.
【解题探究】根据函数零点的概念知，函数是否有零点关键在于相应方程是否有实根.
求函数的零点
(3)函数y＝ln x－1存在零点.
令ln x－1＝0?ln x＝1?x＝e.
即e是使ln x－1＝0成立的x值，
故x＝e是此函数的零点.
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
1.判断下列说法是否正确.
(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错.
(2)虽然f(1)＝0，但1?[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
判断零点所在的区间
【答案】C
【方法规律】1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.
2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内不一定没有零点.
2.函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【答案】C
【解析】∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0.∴f(x)在(0,1)内有零点.
判断函数零点的个数
【方法规律】判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程f(x)＝0的根的个数即为函数零点的个数.
【答案】B
【错解】因为f(－1)＝－2<0，f(1)＝2>0，所以函数f(x)有一个零点，故选B．
忽略图象的不连续而判断失误
1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理的逆命题不成立；(3)结论是至少存在一个零点，即也可能有多个零点.
2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.
1.函数f(x)＝log5(x－1)的零点是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】log5(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是2.故选C．
2.根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
【答案】C
【解析】设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f(1)·f(2)＜0.由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2).故选C．
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
3.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________.
4.方程ln x＝8－2x的实数根x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
【答案】3
【解析】令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0，∴零点在(3,4)内，∴k＝3.
5.求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数.
【解析】令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，
即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
【基础练习】
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
【答案】A
【解析】B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．
2．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】f(x)＝0时，得或解得x＝－1或x＝1．故选C．
3．(2018年甘肃模拟)函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是( )
A． B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】C
【解析】函数f(x)＝log2x＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，f＝－1＋－4＝－<0，f(1)＝0＋1－4＝－3<0，f(2)＝1＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23－1>0，故函数f(x)的零点所在区间为(2,3)．故选C．
4．(2019年宁夏银川校级月考)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1,0)
【答案】D
【解析】当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a．当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)．故选D．
5．已知函数f(x)为奇函数且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
【答案】0
【解析】∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0．
6．若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]∪
【解析】因为函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，所以或解得a≥或a≤－1．
7．若方程x2－2ax＋a＝0在区间(0,1)内恰有一个解，求a的取值范围．
【解析】设f(x)＝x2－2ax＋a．
由题意知f(0)·f(1)＜0，
即a(1－a)＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况．
或
∴a＜0或a＞1．
8．判断方程log2x＋x2＝0在区间上有没有实数根？为什么？
【解析】设f(x)＝log2x＋x2，
f＝log2＋2＝－1＋＝－＜0，
f(1)＝log21＋1＝1＞0，即f·f(1)＜0，函数f(x)＝log2x＋x2的图象在区间上是连续的，因此，f(x)在区间上有零点，即方程log2x＋x2＝0在区间上有实根．
【能力提升】
9．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】设f(x)＝x3－x－2，则f(0)＝0－－2<0，f(1)＝1－－1<0，f(2)＝23－0>0．∴函数f(x)的零点在(1,2)内．
10．(2019年山东济南校级模拟)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【答案】B
【解析】由f(x)＝0得ex＝－x．由g(x)＝0得ln x＝－x．由h(x)＝0得x＝1，即c＝1．在坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝－x，y＝ln x的图象，由图象可知a＜0，0＜b＜1，所以a＜b＜c．故选B．
11．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________．
【答案】0或－
【解析】a＝0时，f(x)只有一个零点－1；a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－．
12．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3，f(x＋1)＝f(x)＋2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的取值范围．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3．∴f(x)＝ax2＋bx＋3．
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴解得a＝1，b＝－1．
∴f(x)＝x2－x＋3．
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示．
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点．
由图象，得
解得－3＜m＜－，
即实数m的范围是．
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