(共33张PPT)
3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
目标定位 重点难点
1.能用二分法求出方程的近似解.
2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想. 重点：二分法求给定方程的近似解或函数零点的近似值的步骤.
难点：方程近似解所在初始区间的确定和利用二分法求方程的近似解.
1.二分法的定义
对于在区间[a，b]上__________且__________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
连续不断
f(a)·f(b)＜0
一分为二
零点
2.二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下.
(1)确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点c．
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则____就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈______)；
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈______).
(4)判断是否达到精确度ε：即若__________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).
f(a)·f(b)＜0
c
(a，c)
(c，b)
|a－b|＜ε
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
(2)函数f(x)＝|x|也可以用二分法求零点.( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点所在的区间不确定.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.
(2)设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
【答案】(1)(2,2.5) (2)2
3.思一思：函数f(x)＝x2－2x－1在区间(1,3)内有无零点？若将区间(1,3)平均分为两个区间，其零点在哪个区间？
【解析】f(1)＝1－2－1＝－2＜0，f(3)＝9－6－1＝2＞0，
在(1,3)内有零点且只有一个零点，对于(1,3)的中点为2，f(2)＝22－2×2－1＝－1＜0，故零点在(2,3)内.
【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
【解题探究】根据二分法的定义判断.
二分法的定义
【答案】A
【解析】按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，不存在f(a)·f(b)<0，因此不能用二分法求解.故选A．
【方法规律】1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点存在的方法密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3.故选D．
【例2】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).
用二分法求方程的近似解
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，
又f(1)＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
【方法规律】利用二分法求函数零点应关注三点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能比较清晰地表示函数零点所在的区间.
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.
2.用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解析】令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4＜0，
f(2)＝22＋2－4＞0.
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.
区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号
(1,2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33＞0
(1,1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37＜0
(1.25,1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035＜0
【例3】一日，某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，请问如何迅速查出故障所在？
【解题探究】本题中能否对线段作全面仔细的检查？怎样的方法可以节省时间和精力？这样的方法可以将故障范围缩小到多大？
二分法的实际应用
【方法规律】1.二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
2.本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的.
3.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发现这枚假币？
【解析】将26枚金币分为两组，每组13枚，分别放于天平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中.
从这较轻的13枚金币中任取12枚均分为2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中.
将较轻的6枚再均分为2组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在较轻的那3枚中.
再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为假币；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.
因此，发现假币最多需进行4次比较.
【示例】用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1).
【错解】令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
对“二分法”精确度的理解不正确而出错
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29>0，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237 5).
又f(2.225)≈－0.049 4，f(2.237 5)≈0.006 4，
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的非负近似解可取为2.225.
【错因】本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
[2,3] 2.5 1.25
[2,2.5] 2.25 0.0625
[2,2.25] 2.125 －0.484 4
[2.125,2.25] 2.187 5 －0.214 8
[2.187 5,2.25] 2.218 75 －0.077 1
根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5<0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值，所以其近似值可以为2.187 5.
【警示】求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止.
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)＜0.
上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.
【答案】B
【解析】依题意，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B．
2.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
【答案】B
【解析】由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内.故选B．
【答案】C
【解析】根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5.
4.已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝______.
【答案】－2.25
【解析】显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
【基础练习】
1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )
A B C D
【答案】C
【解析】A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象．故选C．
2．已知f(x)＝－ln x在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0．1)，则需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】B
【解析】用二分法求解，依次可得零点所在的区间为(1．5，2)，(1．75,2)，(1．75,1．875)，(1．75，1．812 5)，|1．812 5－1．75|＝0．062 5＜0．1，故需要将区间等分4次．
3．判断方程x＝x2的根的个数是( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】设y1＝x，y2＝x2，在同一坐标系下作图象(略)可知，它们有两个交点，∴方程x＝x2有两个根．故选C．
4．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
【答案】C
【解析】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴零点x3不能用二分法求．故选C．
5．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数且b－a＝1)内有一根，则a＋b＝________．
【答案】－3
【解析】设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5<0，f(－1)＝1>0，可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3．
6．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1．600 0)≈0．200 f(1．587 5)≈0．133 f(1．575 0)≈0．067
f(1．562 5)≈0．003 f(1．556 25)≈－0．029 f(1．550 0)≈－0．060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确到0．01)为________．
【答案】1．56
【解析】注意到f(1．556 25)＝－0．029和f(1．562 5)＝0．003，显然f(1．556 25)·f(1．562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1．56．
7．利用二分法求方程x2－2＝0的一个正根的近似值．(精确到0．05)
【解析】设f(x)＝x2－2，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的，∵f(1)·f(2)＜0，∴f(x)＝x2－2在(1,2)内有零点，即方程x2－2＝0在(1,2)内有实数解．取(1,2)的中点1．5，f(1．5)＝1．52－2＝0．25＞0，又f(1)＜0，∴方程在(1,1．5)内有解．如此下去，得方程x2－2＝0的正实数解所在区间如下：
实数解 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 …
左端点 1 1 1．25 1．375 1．375 1．406 25 …
右端点 2 1．5 1．5 1．5 1．437 5 1．437 5 …
|1．437 5－1．406 25|＝0．031 25＜0．05，
∴方程的一个正根的近似值为1．406 25．
8．确定函数f(x)＝logx＋x－4的零点个数．
【解析】设y1＝logx，y2＝4－x，则f(x)的零点个数，即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0；
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
∴两曲线有两个交点，
即函数f(x)＝logx＋x－4有两个零点．
【能力提升】
9．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是( )
A． B．
C． D．(1,2)
【答案】A
【解析】设f(x)＝x－x，则f(0)＝1>0，f＝－＝－<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2<0，显然有f(0)·f<0．
10．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C． D．
【答案】D
【解析】由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，第三次所取区间为，，或．
11．用二分法求方程x3－9＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0．01．
【答案】7
【解析】设n次“二分”后精确度达到0．01，∵区间(2,3)的长度为1，∴<0．01，即2n>100．注意到26＝64<100,27＝128>100．故要经过7次二分后精确度达到0．01．
12．用二分法求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解．(精确度为0．1)
【解析】令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)在(2,3)内的零点．
∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下．
区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2．5 0．416
(2,2．5) 2．25 0．061
(2,2．25) 2．125 －0．121
(2．125,2．25) 2．187 5 －0．030
∵2．25－2．187 5＝0．062 5＜0．1，
∴在区间(2．187 5,2．25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2．25．
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