(共32张PPT)
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
目标定位 重点难点
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.
2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题. 重点：掌握建立函数模型解应用题的方法和步骤.
难点：指数函数、对数函数、幂函数的增长差异的理解.
1.三种函数模型的性质
变陡
变缓
函 数 y＝ax(a＞1) y＝logax
(a＞1) y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
内的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x增大逐
渐______ 随x增大逐
渐______ 随n值
而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)内，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是____________，但____________不同，且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0，＋∞)内随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会__________.因此，总会存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
增函数
增长速度
越来越慢
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系为________.
(2)某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
【答案】(1)b
3.思一思：函数y＝x2与y＝2x在(0,2)内具有相同的增长速度吗？
【解析】增长速度不同.y＝x2在(0,2)之间函数值由0增大到4；y＝2x在(0,2)之间函数值由1增大到4，故增长速度不同.
【例1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
关于x呈指数函数变化的变量是________.
几类函数模型增长差异比较
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
【解题探究】从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化.
【答案】y2
【解析】从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
【方法规律】 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0，就有logax＜xn＜ax.
1.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
【答案】A
【解析】由题中图象可知，该函数模型为指数函数.
【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 019)的大小.
几种函数模型的比较
【解题探究】(1)随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3；(2)结合图象比较大小.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)g(10)，∴1x2.
从图象上可以看出，当x1∴f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2 019)>g(2 019).
又g(2 019)>g(6)，∴f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
【方法规律】由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0＜xf(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
函数模型的选取
【解题探究】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.
【方法规律】不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
3.某公司为了实现100万元的利润目标，准备制定一个激励公司员工的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y随利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
【解析】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略).观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合公司的要求.
【示例】某厂转换机制，两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了多少？
未读懂题意列出函数关系式致误
【错因】对增长率问题的公式y＝N(1＋P)x未能理解透彻而造成指数写错.事实上，指数x是基数所在时间与所跨过的时间的间隔数.
【警示】正确地将实际问题转化为函数模型是解应用题的关键.通过对已知条件的综合分析、归纳和抽象，以及与熟知函数模型的比较来确定函数模型的类型.对于幂函数，要准确确定幂指数.
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快.
1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
【答案】D
【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D．
2.三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
【答案】C
【解析】对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.故选C．
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.
4.若a>1，n>0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是________.
【答案】ax>xn>logax
【解析】∵a>1，n>0，∴函数y1＝ax，y2＝xn，y3＝logax都是增函数.由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，ax>xn>logax.
5.函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)内增长较快的一个是________.
【答案】y＝x2
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
3.2.1 几类不同增长的函数模型
【基础练习】
1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
【答案】A
【解析】几种函数模型中，指数函数增长最快．故选A．
2．有一组实验数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1．5 5．9 13．4 24．1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
【答案】C
【解析】通过所给数据可知s随t增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．
3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x
C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x
【答案】A
【解析】结合y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lg x．
4．a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动的时间足够长，则运动在最前面的物体一定是( )
A．a B．b
C．c D．d
【答案】D
【解析】根据四种函数的变化特点，指数函数是一个增长最快的函数，当运动时间足够长，最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体，故选D．
5．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1．585 2 2．322 2．585 2．807 3 …
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
【答案】y1
【解析】从表格可以看出变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1．
6．某工厂8年来某种产品的累计产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年累计产量增长的速度越来越快；
②前三年累计产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后每年产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
【答案】②③
【解析】由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，累计产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
7．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
x 0．2 0．6 1．0 1．4 1．8 2．2 2．6 3．0 3．4 …
y＝2x 1．149 1．516 2 2．639 3．482 4．595 6．063 8 10．556 …
y＝x2 0．04 0．36 1 1．96 3．24 4．84 6．76 9 11．56 …
y＝log2x －2．322 －0．737 0 0．485 0．848 1．138 1．379 1．585 1．766 …
(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
【解析】(1)随着x的增大，各函数的函数值都增大．
(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．
8．某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1．2万件、1．3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用函数y＝p·qx＋r(其中p，q，r常数)或二次函数．又已知当年4月份该产品的产量为1．36万件，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【解析】若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，
由已知得解得
则有y＝－0．05x2＋0．35x＋0．7．
因此当x＝4时，y＝1．3．
若模拟函数为y＝p·qx＋r，
由已知得解得则有y＝－0．8×0．5x＋1．4．
因此当x＝4时，y＝1．35．
1．35比1．3更接近1．36．
故应将y＝－0．8×0．5x＋1．4作为模拟函数．
【能力提升】
9．(2019年浙江湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
A B C D
【答案】B
【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．故选B．
10．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能更好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
【答案】C
【解析】分别代入数据进行验证，可得A与B在x＝4时误差较大；D中的函数，当x＝4时，结果为300，与实际差很远．故选C．
11．如图所示，表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1．5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1．5 h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
【答案】①②③
【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4．5，故③正确；④错误．
12．某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58．为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？
【解析】令y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，
由题意，得解得a＝1，b＝－1，c＝52，
∴f(x)＝x2－x＋52．
∴f(4)＝42－4＋52＝64＜66，
f(5)＝52－5＋52＝72＜82，
f(6)＝62－6＋52＝82＜115．
设y＝g(x)＝p·qx＋r，
由题意，得解得p＝1，q＝2，r＝50，
∴g(x)＝2x＋50．
∴g(4)＝24＋50＝66，
g(5)＝25＋50＝82，
g(6)＝26＋50＝114＜115．
∵g(4)，g(5)，g(6)比f(4)，f(5)，f(6)更接近真实值，
∴应将y＝2x＋50作为模拟函数．
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