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3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
目标定位 重点难点
1.会利用已知函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题. 重点：函数模型的建立.
难点：怎样选择函数模型分析，解决实际应用问题.
1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.
这些步骤用框图表示如图：
2.数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
3.思一思：一次函数y＝kx＋b(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)，对数函数y＝logax(a＞1)增长有什么特点？
【解析】一次函数直线上升，其增长速度固定不变；指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的.随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容.对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度.
【例1】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
二次函数模型
【解题探究】根据利润＝销售收入－成本列出函数关系式，利用二次函数求最值的方法求解.
【方法规律】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
1．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km．已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0．25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求x的取值范围；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电点费用y最少？
分段函数模型
【解题探究】日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日销售量及销售价格(每件)均为t的函数，从而可得日销售金额与t的函数关系.
(2)当25≤t≤30且t∈N*时，
y＝(t－70)2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1 125元.
综合(1)(2)，得ymax＝1 125元.
因此这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天日销售金额达到最大.
【方法规律】建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.
【例3】某公司拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
【解题探究】本题主要考查单利和复利的计算，需先分别计算两种投资方式5年后的本息和，再通过比较作答.
指数、对数函数模型
【解析】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元).
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元).
由此可见，按利率9%每年复利一次计算要比按年利率10%单利计算更有利，5年后多得利息153.86－150＝3.86(万元).
【方法规律】在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
3.20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅.
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
【示例】如图所示，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播.若D是DFE与x轴的交点，设OD＝t(0≤t≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过菱形OABC的面积为S(图中阴影部分)，则函数S＝f(t)的图象大致是( )
审题不清而导致错误
【错解】观察图题可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B．
【错因】本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错.
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到A，C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开A，C点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是上凸的.故选A．
【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.
3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化.
1．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 B．4
C．6 D．12
【答案】A
2．(2018年陕西宝鸡模拟)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL，如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他要开始驾驶机动车至少要等待的时间为( )
A．1小时 B．2小时
C．3小时 D．4小时
【答案】B
【解析】设x小时后，血液中酒精含量为y，则y＝0.8×0.5x，令y＝0.8×0.5x≤0.2，解得x≥2，即要开始驾驶机动车至少要等待2小时．故选B.
3.某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60(－12≤t≤12)，时间单位是小时(h)，温度单位是摄氏度(℃).若t＝0为中午12时，中午12时之前，t取值为负，中午12时之后，t取值为正，则上午8时的温度是______.
【答案】8℃
【解析】上午8时，即t＝－4时，T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃).
3.2.2 函数模型的应用实例
【基础练习】
1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是( )
【答案】A
【解析】从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快．故选A．
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套量至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
【答案】D
【解析】由10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0，得x≥800．
3．(2019年北京期末)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1．2x%．若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
【答案】B
【解析】由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1．2x%)t，则由解得0＜x≤．因为x∈N*，所以x的最大值为16．
4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0．1%，则至少要抽(已知lg 2≈0．301 0)( )
A．6次 B．7次
C．8次 D．9次
【答案】C
【解析】由题意，得(1－0．6)n<0．1%，即0．4n<0．1%，即n>≈7．5，故至少需8次．
5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg、火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln．当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s．
【答案】e6－1
【解析】当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，∴ln＝6，∴＝e6－1．
6．(2019年河南安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是________．
【答案】9
【解析】由题意，第k档次时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴当k＝9时，获得利润最大．
7．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
【解析】(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，
得解得
所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．
(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，
成本总价＝成本单价×销售量＝500y，
代入求毛利润的公式，得
S＝xy－500y＝x(－x＋1 000)－500(－x＋1 000)
＝－x2＋1 500x－500 000
＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)．
所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62 500元，此时销售量为250件．
8．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．
现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？
【解析】由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝．解得h＝10．
故T－24＝(88－24)·．
当T＝35时，代入上式，得
35－24＝(88－24)·，
即＝，＝log，
用计算器求得t≈25．
因此，约需要25 min，可降温到35 ℃．
【能力提升】
9．(2019年河北石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是( )
A B
C D
【答案】D
【解析】当x∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)＝80＋x，“速度差函数”u(x)＝x．当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80．当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20．当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)＝160－60＝100，结合所给的图象．故选D．
10．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－k t．已知新丸经过50天后，体积变为a．若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
【答案】C
【解析】由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝．设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－k t1，∴＝(e－k)t1＝．∴＝，t1＝75．
11．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系为y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1．5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是______．
【答案】①②
【解析】由图象知，t＝2时，y＝4，
∴a2＝4，故a＝2，①正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，
当y＝4时，由4＝2t1，知t1＝2，
当y＝12时，由12＝2t2，知t2＝log212＝2＋log23，
t2－t1＝log23≠1．5，故③错误．
浮萍每月增加的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
12．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5．8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种固定开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费和各种固定开支后的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
【解析】设该店月利润余额为L，则由题设得：
L＝Q(P－14)×100－3 600－2000．①
由销量图，易得Q＝
代入①式，得
L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450(元)，此时P＝19．5(元)；
当20＜P≤26时，Lmax＝(元)，此时P＝(元)．
故当P＝19．5(元)时，月利润余额最大，最大余额为450元．
(2)设可在n年后脱贫，依题意有
12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20，
即最早可望在20年后脱贫．
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