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1.1 集合
1.1.2 集合间的基本关系
目标定位 重点难点
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质. 重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.
难点：包含关系与属于关系的区别.
1.Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的______代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法.
(2)适用范围：元素个数较少的集合.
(3)使用方法：把______写在封闭曲线的内部.
内部
元素
2.子集的概念
任意一个
包含关系
3.集合相等与真子集的概念
A?B且B?A
x∈B，且x?A
4.空集
(1)定义：________________的集合叫做空集.
(2)用符号表示为：________.
(3)规定：空集是任何集合的________.
5.子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的______，即______.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么______.
不含任何元素
?
子集
子集
A?A
A?C
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{0}不是空集.( )
(2)正整数集就是自然数集.( )
(3)空集是任何集合的真子集.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)集合{0,1}的子集有__________________.
(2)集合{2，－2}与集合{x|x2－4＝0}的关系是________.
【答案】(1)?，{0}，{1}，{0,1} (2)相等
3.思一思：正整数集N＋是自然数N的子集吗？
【解析】显然N＋中的任何元素都是N中的元素，故N＋?N.
【例1】写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A．
【解题探究】解答本题可根据子集、真子集的概念求解.
【解析】由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面集合{a，b}又是A的真子集，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个.
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}.
子集与真子集的概念问题
【方法规律】1.正确区分子集与真子集概念是解题的关键.
2.写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定顺序来写，不易发生重复和遗漏现象.
【解析】当A中含有一个元素时，A为{a}，{b}，{c}，{d}；当A中含有两个元素时，A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}；当A中含有三个元素时，A为{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}；当A中含有四个元素时，A为{a，b，c，d}.
【例2】指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.
【解题探究】要判断两个集合之间的关系，首先要明确两集合中元素具体是什么，再分析元素之间的关系.
集合间的关系的判断
【方法规律】判断集合间关系的方法
(1)定义法：首先判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；其次判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
(2)数形结合法：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.
2.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断M与P的关系.
【解析】∵a∈R，∴x＝1＋a2≥1，
x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1.
∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}.
∴M＝P.
【例3】设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}.如果B?A，求实数a的取值集合.
【解题探究】因为B?A，故应该注意B＝?时的情况.本题要注意运用分类讨论的思想，先将A的子集写出来，然后进行逐个讨论.同时也要注意一元二次方程的根与判别式的关系.
由集合间的关系求参数或参数的范围
【方法规律】利用集合关系求参数的关注点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合.
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示.
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.
3.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A，求实数m的取值范围.
【示例】已知M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{x|x2－2x＋a＝0}，若N?M，求实数a的取值范围.
因忽视空集而出错
【错因】空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略?，错解中没有考虑集合N为?的情况.
【警示】1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“?”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记.
2.在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论.
1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A．
2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7
C．8 D．16
【答案】B
【解析】可知A＝{0,1,2}，其真子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个).
2．设B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是( )
A．A?B B．B?A
C．B∈A D．A＝B
【答案】C
【解析】∵A＝{x|x?B}，∴A＝{?，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A．
3.已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )
【答案】C
4.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.
【答案】－1
【解析】∵A＝B，∴1－m＝2.∴m＝－1.
1.1.2 集合间的基本关系
【基础练习】
1．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；
②若A?B，B?C，则A?C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B．
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由Venn图易知④正确．
2．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【答案】A
【解析】集合{0,1,2}的子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．
3．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U．
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
【答案】D
【解析】元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a满足( )
A．a＜4 B．a≤4
C．a＞4 D．a≥4
【答案】D
【解析】由A?B，结合数轴，得a≥4．
5．集合{－1,0,1}共有________个子集．
【答案】8
【解析】由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．
6．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N?M，则实数m的取值集合为________．
【答案】
【解析】集合M＝．若N?M，则N＝{3}或或?．于是当N＝{3}时，m＝；当N＝时，m＝－2；当N＝?时，m＝0．所以m的取值集合为．
7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
【解析】∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
8．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合．
【解析】由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3．
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝?时，m＝0，满足B?A．
(2)当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝．
∵B?A，∴＝1或＝3，解得m＝3或m＝1．
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
【能力提升】
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(0，－1) D．(1,1)
【答案】B
【解析】当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．故选B．
10．已知集合A＝，B＝，则( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A与B关系不确定
【答案】A
【解析】对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定义，必有A?B．
11．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则实数a的值为________．
【答案】－1或2
【解析】A?B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2．
12．已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
【解析】当B＝?时，只需2a＞a＋3，即a＞3．
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得
或解得a＜－4或2＜a≤3．
综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}．
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