(共33张PPT)
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
目标定位 重点难点
1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.
2.能正确使用区间表示数集.
3.会求一些简单函数的定义域、函数值. 重点：函数概念的理解及对区间的认识.
难点：函数概念和符号y＝f(x)的理解及求函数的定义域、值域.
1.函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的____________，在集合B中都有_________________和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作______________.
任意一个数x
唯一确定的数f(x)
y＝f(x)，x∈A
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做______，____________叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做______，函数值的集合__________叫做函数的值域.显然，值域是集合B的________.
自变量
x的取值范围
函数值
{f(x)|x∈A}
子集
2.区间概念(a，b为实数，且a＜b)
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
3.其他区间的表示
4.函数相等
如果两个函数______相同，并且________完全一致，我们称这两个函数相等.
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
定义域
对应关系
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 (－∞，＋∞) ________ _______ _______ _______
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的定义域中的元素可以由具体的人或事组成.( )
(2)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )
(3)f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)集合{x|1(2)已知函数f(x)＝x－1，则f(1)＝________.
【答案】(1)(1,10] (2)0
3.思一思：若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是否是相等函数？
【答案】不一定
【解析】如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系是否相同.
函数概念的应用
【解析】(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；
(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应，故是集合A到集合B的函数.
【方法规律】1．判断一个对应关系是否为函数，要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任一元素在B中必须有唯一元素与其对应．
2．根据图形判断对应是否为函数的步骤：(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
1．下列图形中不是函数图象的是( )
【答案】A
【解析】A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于A中至少有一个元素在B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
求函数的定义域
【方法规律】求函数的定义域应关注四点
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化.
(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
【解题探究】求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算.
求函数值
【方法规律】求函数值遵循的原则
(1)已知f(x)的表达式求f(a)时，只需用a替换表达式中的x.
(2)求f[f(a)]的值应遵循由里往外的原则.
(3)注意：用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值.
相等函数的判断误区
【错因】若只注意对应关系，忽视定义域，误认为①中f(x)与g(x)是同一函数，从而导致解题错误；认为不同的字母表示的函数是不同的函数，误认为⑤中的两个函数不同，从而导致解题错误．
【警示】讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
2.对区间的几点认识
(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点.
(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆.
(4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.
1.下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
【答案】B
【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确.
【答案】A
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
A．11 B．12
C．13 D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
【答案】D
【解析】A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D．
1.2.1 函数的概念
【基础练习】
1．下列说法正确的是( )
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
【答案】C
【解析】根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调集合A中元素的任意性和集合B中对应元素的唯一性，所以集合A中的多个元素可以对应集合B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A，B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→1－x，x∈A，还可以是x→x2，x∈A．
2．函数y＝＋的定义域是( )
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
【答案】D
【解析】由得0≤x≤1．
3．下列函数完全相同的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2 B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x＋3
【答案】B
【解析】A，C，D的定义域均不同．
4．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )
【答案】D
【解析】A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
5．若[a,3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意3a－1>a，则a>．
6．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝______．
【答案】－1
【解析】由f(a)＝2，得＝2，解得a＝－1．
7．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝＋；
(3)y＝2x＋3；
(4)y＝．
【解析】(1)要使函数有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1．故函数的定义域为{x|x≠－1}．
(2)要使函数有意义，则即
所以x2＝1，从而函数的定义域为{x|x＝±1}＝{1，－1}．
(3)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．
(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以原函数的定义域是{x|x∈R，且x≠±1}．
8．已知f(x)＝(x≠－2，且x∈R)，g(x)＝x2＋1(x∈R)．
(1)求f(2)，g(1)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
【解析】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝．
∵g(x)＝x2＋1，∴g(1)＝12＋1＝2．
(2)f[g(2)]＝f(22＋1)＝f(5)＝＝．
(3)f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠－2}，
由函数图象知y≠0，∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
g(x)＝x2＋1的定义域是R，
由二次函数图象知最小值为1．
∴值域是[1，＋∞)．
【能力提升】
9．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】B
【解析】y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
10．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
【答案】B
【解析】f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q．
11．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________．
【答案】(0,2)
【解析】由题意知即 ∴0＜x＜2．
12．已知函数f(x)＝．
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f的值．
【解析】(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1．
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1．
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2 019)＋f＝1．
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 019)＋f＝2 018．
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