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1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
目标定位 重点难点
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数. 重点：函数解析式的求法及函数图象的画法.
难点：求函数的解析式和图象的表示方法.
1.函数的表示法
(1)解析法：用___________表示两个变量之间的对应关系.
(2)图象法：用______表示两个变量之间的对应关系.
(3)列表法：列出______来表示两个变量之间的对应关系.
数学表达式
图象
表格
2.对三种表示法的说明
(1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域.
(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点.
(3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示.( )
(2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.( )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________.
(2)某教师将其1周课时节次列表如下：
从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________.
【答案】(1)f(x)＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1}
X/星期 1 2 3 4 5
Y/节次 2 4 5 3 1
3.思一思：根据函数的图象能够准确求出每一个自变量对应的函数值？
【解析】不能，只能近似的求出函数值且误差较大.
【例1】(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式；
(2)已知一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3).
【解题探究】设出f(x)的解析式，带入已知条件列出方程或方程组，求出系数写出解析式
待定系数法求函数的解析式
1.已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次函数的解析式.
求函数的解析式
【方法规律】对于形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法：配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x).
2.已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.
【答案】x2－4x＋3
【解析】方法一：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二：(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
【解题探究】解答本题可利用函数图象的作法，并结合函数定义域来分析、作图.
函数图象的作法及应用
【方法规律】1.作函数图象的三个步骤
(1)列表.先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来.
(2)描点.把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来.
(3)连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.
2.函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质.
3.作出下列函数图象并求其值域.
(1)y＝1－x(x∈Z)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
【解析】(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)，
由图象知，y∈[－5,3).
【示例】已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.
【错解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4，∴f(x)＝x2－4.
【错因】采用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后的自变量的取值范围.如本题中令t＝x2＋2后，则t≥2.
因忽略函数的定义域而出错
【正解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2).
∴f(x)＝x2－4(x≥2).
【警示】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域.上面错误的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数，但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数.
1.函数的三种表示法的优缺点比较
比较 优点 缺点 联系
解析法 变量关系特别明显，给定任意自变量可直接代入式子，好求值 不形象、不直观，变化趋势难判断，有些函数无法使用 解析、列表和图象三法各有优缺点，面对实际问题时根据需要恰当选择
列表法 不用计算只需看，任意给定变量值，表中查找很容易 只能在数量不多时使用
图象法 很形象也很直观，变化趋势很明显 近似表达对应值，误差较大
2.作函数图象时应注意以下几点
(1)在定义域内作图.
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
【答案】A
【答案】A
3.某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，则y与x的函数关系式为________.
【答案】y＝2.5x，x∈N
4.若函数f(x)对任意实数x，恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝__________.
【答案】x＋1
【解析】2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①
以－x换x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1.②
由①②，得f(x)＝x＋1.
5.已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值.
【解析】由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋B．
∴ax＋1＋b＝3x＋2.
∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
第1课时 函数的表示法
【基础练习】
1．若g(x＋2)＝2x＋3，g(3)的值是( )
A．9 B．7
C．5 D．3
【答案】C
【解析】令x＋2＝3，则x＝1．∴g(3)＝2×1＋3＝5．
2．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
【答案】B
【解析】g(x)＝f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1．
3．垂直于x轴的直线与函数f(x)＝＋图象的交点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．1个或0个
【答案】D
【解析】f(x)定义域为(0，＋∞)，当x＞0时，有一个交点，当x≤0时无交点．
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x－a)2(b－x) B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b) D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
【答案】A
【解析】由图象知，当x＝b时，f(x)＝0，排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，排除D．故选A．
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
g(x) 3 2 1
(1)f[g(1)]＝__________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________．
【答案】(1)1 (2)1
【解析】(1)由表知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1．
(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1．
6．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为______．
【答案】5
【解析】∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－，∴f(x)＝x－．∵f(a)＝4，即a－＝4，∴a＝5．
7．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域．
【解析】(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，
所以函数的定义域是[－3,0]∪[1,4]．
(2)观察函数p＝f(m)的图象，
可以看出图象上所有点的纵坐标的取值范围是－2≤p≤2，
所以函数的值域是[－2,2]．
8．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
【解析】f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示．
(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
∴f(1)＞f(0)＞f(3)．
(2)由图象可以看出，
当x1＜x2＜1时，
函数f(x)的函数值随着x的增大而增大，
∴f(x1)＜f(x2)．
(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．
【能力提升】
9．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A． B．
C． D．－1
【答案】B
【解析】令＝t，则x＝，代入f＝，则有f(t)＝＝，故选B．
10．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )
【答案】B
【解析】根据题意知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B，C符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间．故选B．
11．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(f(2)))＝________．
【答案】2
【解析】由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，所以f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2．
12．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
【解析】因为对任意实数x，y，
有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．
又f(0)＝1，所以f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1．
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1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标定位 重点难点
1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.
2.了解映射概念及它与函数的联系. 重点：分段函数的应用及映射的判断.
难点：分段函数的应用.
1.分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的_________，这样的函数通常叫做分段函数.
2.映射的概念
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应，那么就称对应________为从集合A到集合B的一个映射.
对应关系
任意一个
唯一确定
f：A→B
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数的图象一定不是连续的.( )
(2)函数都是映射.( )
(3)映射都是函数.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)×
3.思一思：分段函数是由几个函数构成的吗？
【解析】不是，分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间上对应关系不同而已，是一个函数.
分段函数求值
【方法规律】1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.
2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
分段函数的图象及应用
【方法规律】1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.
2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.
3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.
【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射.
(1)A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→|x－3|；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”.
【解题探究】解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应.
映射的概念及应用
【解析】(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射.
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射.
【方法规律】映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.
3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝x2 B．f：x→y＝3x－2
C．f：x→y＝－x＋4 D．f：x→y＝4－x2
【答案】D
【解析】对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射．
分段函数自变量的范围的误区
【错因】本题是一个分段函数问题，在解决此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围.
【正解】当x≥0时，由x2－1＝3，得x＝2或x＝－2(舍去)；当x<0时，由2x＋1＝3，得x＝1(舍去)，故x＝2.
【警示】1.分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数体现了数学的分类讨论思想，“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则.
2.“对号入座”，根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应关系，转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.
1.分段函数
(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样.
(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的.
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.
2.映射
(1)映射f：A→B是由非空集合A，B以及A到B的对应关系f所确定的.
(2)映射定义中的两个集合A，B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性.
(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况.只能是“多对一”或“一对一”形式.
1.已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
【答案】C
【解析】A，B，D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无元素与之对应.
【答案】2
【解析】因为f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，求该职工这个月实际用水量．
第2课时 分段函数与映射
【基础练习】
1．以下几个论断：
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；
②函数y＝x－1，x∈Z，且x∈(－3,3]的图象是一条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
④若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D1∩D2＝?．
其中正确的论断有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y＝x－1上的六个孤立的点，因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．
2．已知函数f(x)＝则f[f(－7)]的值为( )
A．100 B．10
C．－10 D．－100
【答案】A
【解析】∵f(x)＝∴f(－7)＝10，f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100．
3．函数f(x)＝x＋的图象是( )
【答案】C
【解析】f(x)＝画出f(x)的图象可知选C．
4．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( )
A．(1,3) B．(1,6)
C．(2,4) D．(2,6)
【答案】A
【解析】由题意得解得
5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．
【答案】5
【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2．∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5．
6．函数f(x)＝的值域是________．
【答案】[1，＋∞)
【解析】当x≥0时，f(x)≥1；当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4，∴f(x)≥1或2＜f(x)≤4，即f(x)的值域为[1，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f[f(2)]的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
【解析】(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，f[f(2)]＝f(0)＝02－4＝－4．
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；
当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4．
∴x0＝4．
8．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1．9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1．9×(1＋50%)＝2．85(元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
【解析】(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为
f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2．85×16－5．3＝40．3(元)，
换乘2辆车的车费为2f(8)＝2×(4．2＋1．9×8)＝38．8(元)．
∵40．3>38．8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
【能力提升】
9．已知函数f(x)＝则f(3)＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】A
【解析】f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，f(5)＝f(5＋2)＝f(7)，f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2．
10．(2019年湖南岳阳模拟)已知函数f(x)＝若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是( )
A．? B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
【答案】D
【解析】若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f[f(x)]＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f[f(x)]＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，f[f(x)]＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．综上，选D．
11．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为________．
【答案】8
【解析】用树状图写出所有的映射为：
a→da→e共8个．
12．已知函数y＝|x－1|＋|x＋2|．
(1)作出函数的图象；
(2)写出函数的定义域和值域．
【解析】(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x＝1，第二个绝对值的分段点x＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)，
所以已知函数可写为分段函数形式：
y＝|x－1|＋|x＋2|＝
在相应的x取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R，值域为[3，＋∞)．
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