(共32张PPT)
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
目标定位 重点难点
1.了解函数单调性的概念，掌握判断简单函数单调性的方法.
2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念，能准确理解这些定义的本质特点. 重点：函数单调性的定义及求函数的单调区间.
难点：用定义判断函数的单调性.
1.定义域为I的函数f(x)的增减性
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是________________，就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做y＝f(x)的________.
增函数或减函数
单调区间
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性.( )
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”.( )
(3)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)
【答案】(1)× (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)＝－x＋1在区间(1,6)上是________函数(填“增”或“减”).
(2)函数f(x)＝－x2的递增区间是________.
【答案】(1)减 (2)(－∞，0]
3.思一思：如果在函数y＝f(x)中有f(1)【解析】不能，函数单调性的定义中任取x1，x2，当x1函数单调性的证明与判断
【方法规律】 1．利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12．证明抽象函数的单调性时，因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
方法二：设x1>x2，则x1－x2>0，从而f(x1－x2)>1，
即f(x1－x2)－1>0．
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数．
【例2】画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
求函数的单调区间
【方法规律】1.作出函数的图象，利用图形的直观性能快速判断函数的单调区间，但要注意图象一定要画准确.
2.函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.
3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.
【例3】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.
函数单调性的应用
【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合.
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故实数a的取值范围为[－∞，－3].
【方法规律】1.二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便.
2.已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法.
3.已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)【示例】若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是________.
对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念混淆致误
【错因】错解中把单调区间误认为是在区间上单调.
3.若x1>x2，f(x1)>f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函数；若x1>x2，f(x1)0(<0)，则函数y＝f(x)是增(减)函数.
【答案】A
【解析】单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A．
3.若函数f(x)在R上是减函数，则f(－1)________f(a2＋1)(填“>”“<”“≥”或“≤”).
【答案】>
【解析】∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f(x2).∵－1f(a2＋1).
4.已知函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.
第1课时 函数的单调性
【基础练习】
1．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】当x1＜x2时，x1－x2＜0，由＞0知f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，①正确；②③④均不正确．
2．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )
A．[－2,0]
B．[0,1]
C．[－2,1]
D．[－1,1]
【答案】C
【解析】由函数图象易知选C．
3．下列函数中，在区间(0,1)内是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
【答案】A
【解析】(排除法)函数y＝3－x在R上为减函数，函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝－x2＋4在[0，＋∞)上是减函数．
4．若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是( )
A．k为任意实数 B．k＞0
C．k＜0 D．k≤0
【答案】C
【解析】由函数单调性的定义，设x1，x2是任意实数，x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，且kf(x2)＜kf(x1)，得出f(x1)－f(x2)＜0，k[f(x1)－f(x2)]＞0，则k＜0．
5．函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________．
【答案】，[1，＋∞)
【解析】画出函数y＝x|x－1|＝的图象，如图，可得函数的增区间为，[1，＋∞)．
6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)的值为________．
【答案】－3
【解析】f(x)＝22＋3－，由题意＝2，∴m＝8．∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3．
7．求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
【证明】设x1，x2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x1因为x10．
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数．
8．已知函数f(x)＝满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，求实数a的取值范围．
【解析】由对任意的x1，x2∈R且x≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0知函数f(x)在R上为减函数．
当x<0时，函数f(x)＝－x＋3－3a为一次函数，且为减函数，则此时f(x)>f(0)＝3－3a；
当x≥0时，函数f(x)＝－x2＋a为二次函数，也为减函数，且有f(x)≤f(0)＝a．
要使函数f(x)在R上为减函数，则有a≤3－3a，解得a≤．
【能力提升】
9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A．a＞－ B．a≥－
C．－≤a＜0 D．－≤a≤0
【答案】D
【解析】当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a＜0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0．
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)【答案】C
【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
11．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，那么实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
g(1)≥h(1)．
∴∴≤a＜．
12．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
①f(xy)＝f(x)＋f(y)；
②f(2)＝1；
③在(0，＋∞)上是增函数．
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求实数x的取值范围．
【解析】∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝2，
得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)，
又f(2)＝1，∴f(4)＝2．
∵f(2)＋f(x－3)＝f[2(x－3)]＝f(2x－6)，
∴f(2)＋f(x－3)≤2可化为f(2x－6)≤2＝f(4)，
即f(2x－6)≤f(4)．
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得3故x的取值范围为(3,5]．
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(共39张PPT)
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
目标定位 重点难点
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.
2.会求一些简单函数的最大值和最小值. 重点：函数的最大值和最小值的概念及求法.
难点：求函数的最大值和最小值.
1.最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有________；
②存在x0∈I，使得________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.
f(x)≤M
f(x0)＝M
2.最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有________；
②存在x0∈I，使得________.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值.
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.
f(x)≥M
f(x0)＝M
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值.( )
(2)函数的最小值一定比最大值小.( )
(3)函数f(x)＝－2x在[2,3)上的最大值为－4，无最小值.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√
3.思一思：在函数最大值的定义中若只满足第一条，M是不是函数的最大值？
【解析】M不一定是最大值，如函数f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1，但1不是函数的最大值，因为不存在x0∈R，使f(x0)＝1.
【例1】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：
(1)x∈R；(2)[0,3]；(3)[－1,1].
【解题探究】作出y＝3x2－12x＋5(x∈R)的图象再分别截取x∈[0,3]，x∈[－1,1]上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐标.
图象法求函数的最值
【解析】f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7.
(1)当x∈R时，
f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，
当x＝2时，取等号.
即函数f(x)的最小值为－7，无最大值.
(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在区间[0,2)上递减，在区间[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在区间[0,3]上，函数f(x)在x＝0时取得最大值，最大值为5，在x＝2时，取得最小值，最小值为－7.
(3)由图象可知，f(x)在区间[－1,1]上单调递减，
f(x)max＝f(－1)＝20，f(x)min＝f(1)＝－4.
【方法规律】1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值.
2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.
1.作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值.
利用单调性求函数的最值
【方法规律】1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值.
2.函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(2)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.
函数最值的应用
【解题探究】利润＝总收益数R(x)－生产投入－固定成本.
当x>400时，
f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，[f(x)]max＝25 000，
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.
【方法规律】1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决，分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键.
2.实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
3.商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶.在每月的进货当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
【示例】求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值.
分类讨论不全面导致二次函数求最值出错
【错因】对称轴平移过程中各种情况考虑不全面，粗心大意，分类讨论意识不强.实际上，在解答本类问题时，时刻关注对称轴与定义域的关系，结合函数的单调性求解即可.
【警示】含字母参数的二次函数，参数影响二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，进而影响函数的单调性与最值，求解相关问题时，经常运用分类讨论思想求解，分类讨论时应做到不重不漏.
1.函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有M≥f(x)(或M≤f(x))，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了.最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能单凭存在x0∈I，使得f(x0)＝M这一条件去确定最值.
3.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
【答案】B
【答案】D
【解析】该函数的函数值只有三个．
3.若函数y＝ax＋1在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是________.
【答案】±2
【解析】a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.综上，a＝±2.
第2课时 函数的最大（小）值
【基础练习】
1．下列说法正确的是( )
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点
【答案】A
【解析】值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义知一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
2．(2019年山东潍坊期中)函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是( )
A．[－1，＋∞) B．[0,3]
C．(－1,3] D．[－1,3]
【答案】D
【解析】g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；当x＝4时，g(x)max＝3，∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
【答案】A
【解析】∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8，x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6．
4．若函数y＝ax＋3在[0,3]上的最大值与最小值的差为9，则实数a的值是( )
A．3 B．－3
C．3或－3 D．0
【答案】C
【解析】a>0时，由题意，得3a＋3－3＝9，即a＝3；a<0时，3－(3a＋3)＝9，∴a＝－3．综上，a＝±3．
5．(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．
C．3 D．
【答案】B
【解析】＝＝＝，由于－6≤a≤3，所以当a＝－时，有最大值．
6．函数y＝，x∈[3,4]的最大值为________．
【答案】1
【解析】函数y＝在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为＝1．
7．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在区间(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，求f(x)在[1,2]上的值域．
【解析】∵f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16．
又[1,2]?[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在[1,2]上单调递增．
∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49．
∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．
8．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个(50≤x≤100)．
∴y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000．
故当x＝70时，ymax＝9 000．
售价为70元时，利润最大为9 000元．
【能力提升】
9．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120．25万元
【答案】C
【解析】设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司总获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
10．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】令f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，∵0≤x≤2，∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0．而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0．
11．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______．
【答案】(1,3]
【解析】由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减，又f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴112．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，
∴c＝1．∴f(x)＝ax2＋bx＋1．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x．
∴∴∴f(x)＝x2－x＋1．
(2)由题意知x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0．∴m<－1．
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