(共31张PPT)
1.3 函数的基本性质
1.3.2 奇偶性
目标定位 重点难点
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
3.会利用函数的奇偶性解决简单问题. 重点：函数奇偶性含义的理解.
难点：函数奇偶性的判断.
1.偶函数
(1)定义：对于函数f(x)的定义域内________x，都有___________，那么函数f(x)叫做偶函数.
(2)图象特征：图象关于______对称.
2.奇函数
(1)定义：对于函数f(x)的定义域内________x，都有_____________，那么函数f(x)叫做奇函数.
(2)图象特征：图象关于______对称.
任意一个
f(－x)＝f(x)
y轴
任意一个
f(－x)＝－f(x)
原点
3.奇偶性的应用中常用到的结论
(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝______.
(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值________.
(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是________.
0
－M
增函数
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称.( )
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则它的图象关于原点对称且f(0)＝0.( )
(3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x)一定是奇函数.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”).
(2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，f(2)＝4，则f(－2)＝________.
【答案】(1)奇 (2)4
3.思一思：根据奇偶函数的定义，函数具有奇偶性对定义域有什么要求？
【解析】因为在函数奇偶性的定义中，对任意一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，所以－x也属于定义域，因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.
判断函数的奇偶性
【解题探究】先判断函数定义域是否关于原点对称，再由f(－x)与f(x)的关系判断函数奇偶性.
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
【方法规律】判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.
【解析】(1)A，D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错；B：令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错；C：令h(x)＝f(x)·|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确；D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．
【例2】已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间.
【解题探究】由函数图象关于原点对称可知y＝f(x)是奇函数.利用奇函数性质可求得解析式.
利用奇偶性研究函数的图象
【方法规律】给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).
2.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________________.
【答案】{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5}
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解.∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解为2＜x≤5，所以当x∈[－5,0]时，f(x)＜0的解为－5≤x＜－2.∴f(x)＜0的解集是[－5，－2)∪(2,5].
【例3】已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式.
【解题探究】首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.
利用奇偶性求解函数的解析式
【方法规律】利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.
3.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
【解析】设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x).
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.
判断函数奇偶性时，忽略定义域致误
【错因】错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性.
【正解】函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数.
【警示】判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论.
3.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
【答案】B
【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选B．
2．(2019年湖南郴州期中)函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】A
【解析】f(x)的定义域为R，对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，∴f(x)不是偶函数．
3．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，那么f(－1)＋f(0)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
【答案】D
【解析】函数f(x)是定义域为R的奇函数且f(1)＝－2，则f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝2，故f(－1)＋f(0)＝2＋0＝2.故选D.
4.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】A
【解析】由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
5.若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
【答案】4
【解析】由f(x)＝(x＋a)(x－4)，得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
1.3.2 奇偶性
【基础练习】
1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】A
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A． B．
C． D．1
【答案】A
【解析】函数f(x)的定义域为．又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝．
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
【答案】A
【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又当x≥0时，f(x)是增函数，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
5．(2019年北京期中)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________．
【答案】
【解析】f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝．
6．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为________．
【答案】[－1,0]，[1，＋∞)
【解析】偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
7．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)∵f(x)在[0,2]上为减函数，且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴即
解得－1≤m<．
因此实数m的取值范围是．
8．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝．
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0．
【解析】(1)由题意知即解得∴f(x)＝．
(2)证明：任取－10，
f(x2)－f(x1)＝－＝．
∵－1∴－10．
于是f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1【能力提升】
9．已知奇函数f(x)，当x＞0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}
【答案】A
【解析】∵定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(1)＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递增且f(－1)＝0．∴当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)＞0；当x＜－1或0＜x＜1时，f(x)＜0．要使f(x－1)＞0，则－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2．故选A．
10．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵f(x)是奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2．①
又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4．②
由①②，得g(1)＝3．
11．(2019年江苏无锡模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是________．
【答案】(－7,3)
【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，即|x＋2|2－4|x＋2|<5，(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，所以|x＋2|<5，解得－712．设函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值与最小值．
【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0．
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
于是f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)在R上是减函数．
∴f(x)的最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝(－3)×(－2)＝6，
最小值为f(3)＝－f(－3)＝－6．
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