第二章 基本初等函数（Ⅰ）能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A．. B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2.已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于( )
A．lg 2 B．lg 8
C．lg D．lg 2
【答案】D
【解析】令x3＝2，则x＝，∴f(2)＝lg＝lg 2.
3．(2019年湖北武汉期末)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
A B C D
【答案】B
【解析】若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象如图所示．故选B.
4.下列函数在区间(0,3)内是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝x D．y＝x2－2x－15
【答案】B
【解析】由幂函数、指数函数性质即得.
5.设a＝0.7，b＝0.8，c＝log30.7，则( )
A．c
C．a【答案】B
【解析】由幂函数性质与对数函数性质有b>a>0>C．
6．(2019年广东中山模拟)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【答案】C
【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a<8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C.
7.幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
【答案】A
【解析】∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，∴m＝2.
8.定义运算a*b＝则函数f(x)＝1]( )
【答案】A
【解析】f(x)＝1*2x＝即f(x)＝故选A.
9．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是( )
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知ln＋ln＝0，即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋.又0＜a＜b＜1，所以0＜a＜，故0＜－2＋＜.
10.设函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为( )
A．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)>f(2)
C．f(a＋1)【答案】B
【解析】易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减.所以0f(2).
11.已知函数f(x)＝则满足f(a)＜的实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0，)
C．(0，) D．(－∞，－1)∪(0,2)
【答案】B
【解析】当a＞0时，由f(a)＜，可得log2a＜＝log2，得0＜a＜；当a≤0时，由f(a)＜，可得2a＜＝2－1，因此得a＜－1.综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，).
12．(2019年北京模拟)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【答案】D
【解析】令f(x)＝y＝2|x|，则f(x)＝当a＝0时，f(x)＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]；当a＞0时，f(x)在[－2,0)上递减，在[0，a]上递增，①当0＜a≤2时，f(x)max＝f(－2)＝4，值域为[1,4]；②当a＞2时，f(x)max＝f(a)＝2a＞4，值域为[1,2a]．综上可知[m，n]的长度的最小值为4－1＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13.计算÷100－＝________.
【答案】－20
【解析】÷100－＝lg ÷100－＝－2÷＝－20.
14．(2019年广西贵港期中)若α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为________．
【答案】3
【解析】∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，，1,3.又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝，1,3，即α值的个数为3.
15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．
【答案】
【解析】函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数h(x)＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x2>0，因此所求区间为.
16．(2019年吉林长春模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则m的最大值为________．
【答案】
【解析】把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得结合a＞0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.所以只需m≤即可．所以m的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
【解析】(1)设f(x)＝xα，由题意可知25α＝5，∴α＝.∴f(x)＝x.
(2)∵g(x)＝f(2－lg x)＝，∴要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，即lg x≤2，解得0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]．
又2－lg x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．
18.(12分)(1)计算：2log32－log3＋log38－52log53；
(2)已知x＝27，y＝64，化简并计算：
eq \f(5x－y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－1y))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－xy－))).
【解析】(1)原式＝log34－log3＋log38－52log53
＝log3－5log59
＝log39－9＝2－9＝－7.
(2)原式＝eq \f(5x－y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－1y))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－xy－)))
＝eq \f(5x－·y,\f(5,24)×x－·y)＝24y.
又y＝64，∴原式＝24×(26)＝48.
19.(12分)已知函数f(x)＝ax，a为常数且函数的图象过点(－1,2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
【解析】(1)由已知，得－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)，知f(x)＝x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x，即x－x－2＝0，即2－x－2＝0.
令x＝t，则t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1.
20.(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1).
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求f(x)的最值；
(2)求不等式f(x)－g(x)＞0成立时x的取值范围.
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝log2(1＋x)，
在[3,63]上为增函数，因此当x＝3时，f(x)最小值为2；
当x＝63时f(x)最大值为6.
(2)f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x).
当a＞1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，
满足∴0＜x＜1.
当0＜a＜1时，loga(1＋x)＞loga(1－x)，
满足∴－1综上，a＞1时，x∈(0,1)；
0＜a＜1时，x∈(－1,0).
21.(12分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
【解析】(1)要使函数有意义，则有
解得－3故f(x)的定义域为(－3,1).
(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4].
∵－3∴0<－(x＋1)2＋4≤4.
∵0∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
由loga4＝－2，得a－2＝4，
∴a＝4－＝.
22．(12分)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
【解析】(1)当a>0，b>0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为函数y＝a·2x和y＝b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋1＋b·3x＋1－a·2x－b·3x＝a·2x＋2b·3x>0.
当a<0，b>0时，x>－，
解得x>log；
当a>0，b<0时，x<－，
解得x
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第二章 基本初等函数（Ⅰ）能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )
A．. B．1
C． D．2
2.已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于( )
A．lg 2 B．lg 8
C．lg D．lg 2
3．(2019年湖北武汉期末)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
A B C D
4.下列函数在区间(0,3)内是增函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝x D．y＝x2－2x－15
5.设a＝0.7，b＝0.8，c＝log30.7，则( )
A．cC．a6．(2019年广东中山模拟)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
7.幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2 B．m＝－1
C．m＝－1或2 D．m≠
8.定义运算a*b＝则函数f(x)＝1]( )
9．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是( )
A. B．
C． D．
10.设函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为( )
A．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)>f(2)
C．f(a＋1)11.已知函数f(x)＝则满足f(a)＜的实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0，)
C．(0，) D．(－∞，－1)∪(0,2)
12．(2019年北京模拟)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度，已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13.计算÷100－＝________.
14．(2019年广西贵港期中)若α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为________．
15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．
16．(2019年吉林长春模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则m的最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
18.(12分)(1)计算：2log32－log3＋log38－52log53；
(2)已知x＝27，y＝64，化简并计算：
eq \f(5x－y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－1y))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－xy－))).
19.(12分)已知函数f(x)＝ax，a为常数且函数的图象过点(－1,2).
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
20.(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1).
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求f(x)的最值；
(2)求不等式f(x)－g(x)＞0成立时x的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
22．(12分)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
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