第三章 函数的应用能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
【答案】A
【解析】由二分法的定义与原理知A选项正确．
2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0．其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．
3．(2019年北京模拟)函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【解析】函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数，即为函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数．如图所示．数形结合可得，函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数为2．故选B．
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【答案】C
【解析】由于f(－2)＝e－2－2－2<0，f(－1)＝e－1－1－2<0，f(0)＝e0＋0－2<0，f(1)＝e1＋1－2>0，故在(0,1)内f(x)存在零点．
5(2019年湖北武汉期中)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4．1x－0．1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10．5万元 B．11万元
C．43万元 D．43．025万元
【答案】C
【解析】设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4．1x－0．1x2＋2(16－x)＝－0．1x2＋2．1x＋32，对称轴为x＝－＝．因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
6．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )
A．体重随年龄的增长而增加
B．25岁之后体重不变
C．体重增加最快的是15岁至25岁
D．体重增加最快的是15岁之前
【答案】D
【解析】函数不是增函数，故A错；[0,50]上为增函数，故B错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快，故C错，D对．
7．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
【答案】A
【解析】易知函数f(x)＝x3＋5是单调增函数，只有f(－2)·f(－1)<0．
8．某商人购货，进价已按原价a扣去25%．他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为( )
A．y＝4ax(x∈N*) B．y＝2ax(x∈N*)
C．y＝x(x∈N*) D．y＝x(x∈N*)
【答案】D
【解析】设新价为b，依题意有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a．∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N*)．
9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
【答案】A
【解析】由于f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，则f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0．故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．
10．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)( )
A．1．5 B．2
C．0．5 D．1
【答案】B
【解析】设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，即h＋2x＝3，∴h＝3－2x．由h>0，得011．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x －2．0 －1．0 0 1．00 2．00 3．00
y 0．24 0．51 1 2．02 3．98 8．02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中，a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
【答案】A
【解析】B为匀速递增，在C中，x要求大于0，D是成反比，又因为函数值增长速度越来越快，只有A项中指数型函数最接近．
12．(2019年河南开封模拟)已知函数f(x)＝则方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上的根的个数为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【答案】D
【解析】因为5[x－f(x)]＝1，故f(x)＝x－．在同一直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)，y＝x－的图象如图所示．观察可知，两个函数的图象在[－2,2]上有6个交点，故方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上有6个根．故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．
【答案】
【解析】设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)>0，f(1)<0，又f＝3－6×2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为．
14．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 019，则x1＋x2＋…＋x2 019＝________．
【答案】0
【解析】由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称的，所以x1＋x2＋…＋x2 019＝0．
15．(2019年河南郑州期末)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
【答案】7
【解析】由已知可得第n年的年产量y＝f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)，所以f(1)＝3．当n≥2时，f(n－1)＝n(n－1)(2n－1)，所以f(n)－f(n－1)＝3n2，n＝1时，也满足上式．所以第n年的年产量为y＝3n2．令3n2≤150，得n2≤50．因为n∈N，n≥1，所以1≤n≤7，所以nmax＝7．
16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0．01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根．
【答案】①⑤
【解析】f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0．01个单位长度得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，和内，故只有①⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)方程x2－＝0在区间(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
【解析】不存在，因为当x＜0时，－＞0，
∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－＝0．
18．(12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时，按0．25元/kg计算；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0．35元/kg计算；超过100 kg时，其超过部分按0．45元/kg计算．
(1)计算出托运费用；
(2)若行李质量为56 kg，托运费用为多少？
【解析】(1)设行李质量为x kg，托运费用为y元，则
若0＜x≤50，则y＝0．25x；
若50＜x≤100，由y＝12．5＋0．35(x－50)；
若x＞100，则y＝30＋0．45(x－100)．
所以y＝
(2)[JP2]因为50 kg＜56 kg＜100 kg，所以y＝12．5＋6×0．35＝14．6元．
19．(12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不超过0．25毫克时，学生方可进教室．那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
【解析】(1)由题意和图示，当0≤t≤0．1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0．1,1)在直线上，∴k＝10．
同理，当t＞0．1时，可得1＝0．1－a，解得a＝0．1．
所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为
y＝
(2)令t－0．1≤0．25，解得t≥0．6，
由题意得至少需要经过0．6小时后，学生才能回到教室．
20(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2．
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)．
∴9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0．②
由①－②，得b＝a＋8．③
③代入②，得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0．
∵a≠0，∴a＝－3．∴b＝a＋8＝5．
∴f(x)＝－3x2－3x＋18．
(2)由(1)，得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋＋18，图象的对称轴方程是x＝－．又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18．
∴函数f(x)的值域是[12,18]．
21(12分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10| (元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【解析】(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·＝(40－t)(40－|t－10|)
＝
(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1 200,1 225]，
所以当t＝5时，y取得最大值为1 225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1 200]，
所以当t＝20时，y取得最小值为600．
22(12分)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵f(1)＝－12－2×1＝－3，
∴g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2．
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点．
作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图所示．
由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，
所以所求a的取值范围是．
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第三章 函数的应用能力检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)
1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0．其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．(2019年北京模拟)函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5(2019年湖北武汉期中)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4．1x－0．1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10．5万元 B．11万元
C．43万元 D．43．025万元
6．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )
A．体重随年龄的增长而增加
B．25岁之后体重不变
C．体重增加最快的是15岁至25岁
D．体重增加最快的是15岁之前
7．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
8．某商人购货，进价已按原价a扣去25%．他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为( )
A．y＝4ax(x∈N*) B．y＝2ax(x∈N*)
C．y＝x(x∈N*) D．y＝x(x∈N*)
9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
10．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)( )
A．1．5 B．2
C．0．5 D．1
11．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x －2．0 －1．0 0 1．00 2．00 3．00
y 0．24 0．51 1 2．02 3．98 8．02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中，a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
12．(2019年河南开封模拟)已知函数f(x)＝则方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上的根的个数为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．
14．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 019，则x1＋x2＋…＋x2 019＝________．
15．(2019年河南郑州期末)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0．01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根．
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．(10分)方程x2－＝0在区间(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
18．(12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg时，按0．25元/kg计算；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0．35元/kg计算；超过100 kg时，其超过部分按0．45元/kg计算．
(1)计算出托运费用；
(2)若行李质量为56 kg，托运费用为多少？
19．(12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不超过0．25毫克时，学生方可进教室．那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
20(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2．
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
21(12分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10| (元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
22(12分)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
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