人教版八年级下数学18.1.2平行四边形判定学案（含答案）

《平行四边形的判定》学案1
一、课前预习新知
（一）预习目标：
通过回顾以前所学的平行四边形知识与初步自学课本，感知平行四边形的判定，能写出平行四边形性质的逆命题
（二）预习内容：
１．平行四边形的定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
２．平行四边形的性质：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
３．平行四边形性质的逆命题是：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】：
１．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
２．(1)从边看：两组对边分别平行，两组对边分别相等．
(2)从角看：两组对角分别相等，四组邻角互补．
(3)从对角线看：对角线互相平分．
３．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
二、课内探究新知
（一）学习目标
1．通过设置问题，建立数学模型，体会平行四边形的判定来源实际生活．
2．掌握平行四边形的判定定理及推论；会用平行四边形的判定方法进行简单的推理．
3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理．能熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法；理解并应用三角形中位线定理．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用；理解三角形中位线定理的推导，感悟几何的思维方法．
（二）学习过程
核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学生的学习情况。
平行四边形判定的学习：
１．情景问题：我给刚学完平行四边形性质的侄女提了一个问题，你们能解决吗？
问题：给你四根木条做边围成一个四边（每两根是等长的），它的形状是固定的吗？

２．验证：
（1）两组对边相等的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．


（２）两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？
如图，已知：　　　　　　　　　　　．求证：　　　　　　　　　　．





（３）对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD为平行四边形．


判定方法：
文字语言：
（1）定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（4）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
符号语言：





【答案】：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）判定定理一： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言
1． ∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
2． ∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
3． ∵
∴四边形ABCD是平行四边形
4． ∵AO＝CO，BO＝DO
∴四边形ABCD是平行四边形
３．练习：
1．如图（1），若AD=8cm, AB=4cm，那么BC= cm, CD= cm时，四边形ABCD是平行四边形；
2．如图（2），AD=BC=16, AB=CD=15,CF=DE=9，图中有哪些互相平行的线段？
3．如图（3），若AC=10cm, BD=8cm，则AO= cm, DO= cm时，则四边形ABCD为平行四边形．

【答案】：
（1）8、4 （２）AD∥BC、 AB∥CD （３）５、４

４．例题
例1：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是的中点，并且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

变式（1）：由例题中的特殊点E、F推广到较一般的，若AE=CF，结论有改变吗？为什么？



变式（2）：若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？为什么？

变式（3）：若E、F、G、H分别为AO、CO、BO、DO的中点，四边形EGFH为平行四边形吗？为什么？

变式（4）：若变式（3）的条件成立，那么EF、GH有什么位置关系？


变式（5）：在上题中，以图中的四点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．



【答案】：
例1：　∵四边形ABCD是平行四边形
∴∵E、F是的的中点
∴∴四边形BFDE是平行四边形
变式（１）：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∵AE=CF∴∴四边形BFDE是平行四边形
变式（2）：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∵AE=CF∴∴四边形BFDE是平行四边形
变式（3）：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∵E、F、G、H分别为AO、CO、BO、DO的中点∴∴四边形BFDE是平行四边形
变式（4）：互相平分
5．巩固练习（答案见课件１）：如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是、的角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形．

探究问题2：
取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
（即“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？）


1． 写出：
已知：
求证：
证明：
2．归纳：
3．几何语言表述：

巩固练习：
1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．
(A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补
(C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补
2．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．
A．(1，－2) B．(2，－1) C．(1，－3) D．(2，－3)

3．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．


4．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE．

答案：1．Ｃ　　2．Ａ　　
　3．思路１：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ＡＥＣＦ、ＢＥＤＦ是平行四边形，再根据定义判定四边形EGFH是平行四边形．
4．∵AF∥BE∴∠FAC=∠ECA∵D是AC的中点∴AD=CD∴△AFD≌△CED∴AF＝CE∴四边形AFCE是平行四边形．

三角形中位线的学习：
问题一：1．将任意一个三角形分成四个面积相等的的三角形，你是如何切割的？
关键：（取三边的中点）
由学生代表发表自己的观点，并说明理由．

2．连接任意两边中点的线段与第三边间有怎样的位置和大小关系？





已知：△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．


3．你能用文字表达这一结论吗？





讨论：⑴一个三角形有几条中位线？⑵三角形的中位线与中线一样吗？




问题2：如图，a，b是两条平行线，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线l，垂足为点B，我们得到线段AB．按同样的作法，我们作出线段CD．你能发现AB与CD的关系吗？





结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1：如图△ABC的边AB＝12，BC＝10，AC＝8，点D，E，F分别是△ABC的三边的中点．
⑴求连结各边中点所成的三角形的周长；
⑵以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形．

例2：如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，AF是BC边上的中线，
⑴若EF＝5cm，则AB＝ cm；若BC＝9cm，则DE＝ cm．
⑵中线AF与中位线DE有什么特殊关系？证明你的结论．

当堂检测：
1．在△ABC中，D、E、F是三边的中点，AB＝7，BC＝6，AC＝10，则四边形DBEF的周长为 ．
2．已知△ABC中的周长为50cm，D、E、F分别为△ABC中AB、BC、AC边上的中点，且DE＝8cm，EF＝10cm，则DF的长为 cm．
3．已知第一个三角形的周长为a，它的三条中位线组成第二个三角形，其周长为 ；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，其周长为 ；以此类推，第2013个三角形的周长为 ．
4．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．求证：EF∥BC．

５．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

答案：1．13　　2．7　　　3．，，
4．证明：（1）∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF．又∵DC=AC，
∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点．∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥BC．
５．证明：连接AC，
∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
∵G、H分别是边CD、DA的中点，
∴GH∥AC，GH= AC，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形GHEF是平行四边形．

（三）课后练习
1．能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A．AC=DE B．AB=AC C．AD=EC D．OA=OE

3．如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有________个平行四边形．


4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则________秒后四边形ABQP为平行四边形．


5．如图，在□ABCD中，AM=CN，求证：四边形MBND是平行四边形．




6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

7． 如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．

参考答案：
1．C　 2．B 3．4 4．2
5． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵AM=CN，
∴AB-AM=CD-CN，即BM=DN且BM∥DN．
∴四边形MBND是平行四边形．
6．证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

7． 解：AE=CF．
理由：过E作EG∥CF交BC于G，

∴∠3=∠C，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠3=∠BAD，
又∵∠1=∠2，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE（AAS），
∴AE=GE，
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴GE=CF，
∴AE=CF．






















































































D

A

B

C

A

B

C

A

B

C