学科素养提升
科学思维1 三个自由点电荷的平衡问题
1.条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
2.规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。
“两同夹异”——正负电荷相互间隔。
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
三个点电荷的电荷量满足＝＋。
[例1] 在真空中有两个相距r的点电荷A和B，带电荷量分别为q1＝－q，q2＝4q。
(1)若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷q3，可使之处于平衡状态？平衡条件中对q3的电荷量及正负有无要求？
(2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性有何要求？
解析 (1)q3受力平衡，必须和q1、q2在同一条直线上，因为q1、q2带异号电荷，所以q3不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知q3应该在q1、q2的连线上，q1的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。
设q3离q1的距离是x，根据库仑定律和平衡条件列式
k－k＝0
将q1、q2的已知量代入得x＝r，对q3的电性和电荷量均没有要求。
(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对q3的电性和电荷量都有要求，首先q3不能是一个负电荷，若是负电荷，q1、q2都不能平衡，也不能处在它们中间或q2的外侧，设q3离q1的距离是x。根据库仑定律和平衡条件列式如下：
对q3：k－k＝0
对q1：k－k＝0
解上述两方程得q3＝4q，x＝r。
答案 (1)在q1的外侧距离为r处，对q3的电性和电荷量均没有要求
(2)电荷量为4q 带正电
方法归纳
三个电荷均处于平衡状态，每个电荷所受另外两个电荷的静电力等大反向，相互抵消；三个电荷一定处在同一条直线上，且必定是两同一异，异种电荷的电荷量最小且位于中间，距离两同种电荷中较小的电荷较近。
科学思维2 巧用“对称法”解电场的叠加问题
1.技巧：对称法求电场强度时常利用中心对称、轴对称等。
2.方法
(1)确定对称性——是电荷对称，还是相对电荷对称。
(2)确定某对称点的电场强度——常利用公式E＝k来确定电场强度大小。
(3)确定对称点的合电场强度——根据对称性确定两电荷在对称点的合场强，或者某电荷在另一对称点的场强，再利用矢量合成的方法求合场强。
[例2] 下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间彼此绝缘。坐标原点O处电场强度最大的是( )
解析 设带电荷量为q的圆环在O点处产生的场强大小分别为E0，根据对称性可得四种情况下，O点处的场强大小分别为EA＝E0，EB＝E0，EC＝E0，ED＝0，选项B正确。
答案 B
科学思维3 静电及静电屏蔽在科技生活中的应用
1.命题素材
静电现象及静电屏蔽在科技及日常生活中有着广泛的应用，如静电喷雾、静电除尘和一些精密的电表或电子设备外面所套的金属罩、通信电缆外面包的一层铅皮，都是用来防止外界电磁场的干扰的。
2.信息提取
(1)信息定位：处于静电平衡状态的导体，内部的场强处处为零。这样，导体壳就可以保护它所包围的区域，使这个区域不受外部电场的影响，这种现象叫作静电屏蔽。
(2)物理模型
①任意形状的导体空腔，腔体内场强不受腔外电荷的影响，如图甲。
②接地的导体空腔，外部电场不受腔内电荷的影响，如图乙。
(3)物理知识：静电感应、电场的叠加、静电平衡。
(4)结果讨论：在静电平衡状态下，不论是空心导体还是实心导体，不论导体本身带电多少，或者导体是否处于外电场中，其内部场强为零。
[例3] (多选)如图所示为静电除尘示意图，在M、N两点间加高压电源时，金属管内的空气电离，电离出的电子在静电力的作用下运动，遇到烟气中的煤粉，使煤粉带负电荷，因而煤粉被吸附到管壁上，排出的烟就清洁了。就此示意图，下列说法正确的是( )
A.N接电源的正极
B.M接电源的正极
C.电场强度EB＞EA
D.电场强度EB＜EA
解析 电子附着在煤粉上，使煤粉带上负电荷，煤粉若能吸附在管壁上，说明管壁带正电荷，因此可知N接电源正极。金属棒与金属管可看成圆柱电极与圆环电极，电场线分布情况如图所示。由图可知金属棒附近的B点处电场线较密，而靠近金属管壁的A点处电场线较疏，故B处场强比A处场强大，即EB＞EA。
答案 AC
课件14张PPT。学科素养提升科学思维1 三个自由点电荷的平衡问题
1.条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
2.规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。
“两同夹异”——正负电荷相互间隔。
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。[例1] 在真空中有两个相距r的点电荷A和B，带电荷量分别为q1＝－q，q2＝4q。
(1)若A、B固定，在什么位置放入第三个点电荷q3，可使之处于平衡状态？平衡条件中对q3的电荷量及正负有无要求？
(2)若以上三个点电荷皆可自由移动，要使它们都处于平衡状态，对q3的电荷量及电性有何要求？
解析 (1)q3受力平衡，必须和q1、q2在同一条直线上，因为q1、q2带异号电荷，所以q3不可能在它们中间。再根据库仑定律，库仑力和距离的平方成反比，可推知q3应该在q1、q2的连线上，q1的外侧(离带电荷量少的电荷近一点的地方)，如图所示。设q3离q1的距离是x，根据库仑定律和平衡条件列式将q1、q2的已知量代入得x＝r，对q3的电性和电荷量均没有要求。
(2)要使三个电荷都处于平衡状态，就对q3的电性和电荷量都有要求，首先q3不能是一个负电荷，若是负电荷，q1、q2都不能平衡，也不能处在它们中间或q2的外侧，设q3离q1的距离是x。根据库仑定律和平衡条件列式如下：解上述两方程得q3＝4q，x＝r。
答案 (1)在q1的外侧距离为r处，对q3的电性和电荷量均没有要求
(2)电荷量为4q 带正电方法归纳
三个电荷均处于平衡状态，每个电荷所受另外两个电荷的静电力等大反向，相互抵消；三个电荷一定处在同一条直线上，且必定是两同一异，异种电荷的电荷量最小且位于中间，距离两同种电荷中较小的电荷较近。科学思维2 巧用“对称法”解电场的叠加问题
1.技巧：对称法求电场强度时常利用中心对称、轴对称等。
2.方法答案 B科学思维3 静电及静电屏蔽在科技生活中的应用
1.命题素材
静电现象及静电屏蔽在科技及日常生活中有着广泛的应用，如静电喷雾、静电除尘和一些精密的电表或电子设备外面所套的金属罩、通信电缆外面包的一层铅皮，都是用来防止外界电磁场的干扰的。
2.信息提取
(1)信息定位：处于静电平衡状态的导体，内部的场强处处为零。这样，导体壳就可以保护它所包围的区域，使这个区域不受外部电场的影响，这种现象叫作静电屏蔽。(2)物理模型①任意形状的导体空腔，腔体内场强不受腔外电荷的影响，如图甲。
②接地的导体空腔，外部电场不受腔内电荷的影响，如图乙。
(3)物理知识：静电感应、电场的叠加、静电平衡。
(4)结果讨论：在静电平衡状态下，不论是空心导体还是实心导体，不论导体本身带电多少，或者导体是否处于外电场中，其内部场强为零。[例3] (多选)如图所示为静电除尘示意图，在M、N两点间加高压电源时，金属管内的空气电离，电离出的电子在静电力的作用下运动，遇到烟气中的煤粉，使煤粉带负电荷，因而煤粉被吸附到管壁上，排出的烟就清洁了。就此示意图，下列说法正确的是( )
A.N接电源的正极
B.M接电源的正极
C.电场强度EB＞EA
D.电场强度EB＜EA解析 电子附着在煤粉上，使煤粉带上负电荷，煤粉若能吸附在管壁上，说明管壁带正电荷，因此可知N接电源正极。金属棒与金属管可看成圆柱电极与圆环电极，电场线分布情况如图所示。由图可知金属棒附近的B点处电场线较密，而靠近金属管壁的A点处电场线较疏，故B处场强比A处场强大，即EB＞EA。
答案 AC章末检测
(时间：90分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共11个小题，共66分。在每小题所给的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～11题有多项符合题目要求，每小题满分6分。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)
1.如图所示的电场中，一带电质点从P点沿着电场线方向运动，若只受静电力作用，质点加速度逐渐增大的是( )
解析 电场线疏密表示电场强度的大小。A选项中电场强度减小；B选项中电场强度增大；C选项中电场强度不变；D选项中电场强度先增大后减小，再由a＝＝知，a∝E。故本题选B。
答案 B
2.一负电荷从电场中A点由静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度—时间图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是( )
解析 由速度—时间图像可知，负电荷做加速度逐渐增大的加速运动，再由电场线的分布特点可知C选项正确。
答案 C
3.(2018·全国卷Ⅰ，16)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A.a、b的电荷同号，k＝
B.a、b的电荷异号，k＝
C.a、b的电荷同号，k＝
D.a、b的电荷异号，k＝
解析 如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知＝＝，又由库仑定律得＝·，联立解得k＝||＝，B错误，D正确。
答案 D
4.均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝2R。已知M点的场强大小为E，则N点的场强大小为( )
A.－E B.
C.－E D.＋E
解析 完整球壳在M点产生电场的场强为k＝，根据电场叠加原理，右半球壳在M点产生电场的场强为－E，根据对称性，左半球壳在N点产生的电场的场强为－E，选项A正确。
答案 A
5.有一接地的导体球壳，如图所示，球心处放一点电荷q，达到静电平衡时，则( )
A.q的电荷量变化时，球壳外电场随之改变
B.q在球壳外产生的电场强度为零
C.球壳内、外表面的电荷在壳外的合场强为零
D.q与球壳内表面的电荷在壳外的合场强为零
解析 当导体球壳接地时，壳内电荷在壳外表面所产生的感应电荷流入大地，这时壳内电荷与壳内表面的感应电荷在壳内壁以外(包含导体壳层)任一点的合场强为零。故选项D正确。
答案 D
6.如图所示，带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若不考虑其他力，则下列判断中正确的是( )
A.若粒子是从A运动到B，则粒子带正电；若粒子是从B运动到A，则粒子带负电
B.不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电
C.若粒子是从B运动到A，则其加速度减小
D.若粒子是从B运动到A，则其速度减小
解析 根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧可知粒子所受静电力与电场线的方向相反，所以不论粒子是从A运动到B，还是从B运动到A，粒子必带负电，故A错误，B正确；电场线密的地方电场强度大，所以粒子在B点受到的静电力大，在B点时的加速度较大，若粒子是从B运动到A，则其加速度减小，故C正确；从B到A过程中静电力与速度方向成锐角，静电力做正功，动能增大，速度增大，故D错误。
答案 BC
7.如图所示，金属板带电荷量为＋Q，质量为m的金属小球带电荷量为＋q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α，小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上，且距离为L(重力加速度为g，静电力常量为k)。下列说法正确的是( )
A.＋Q在小球处产生的场强为E1＝
B.＋Q在小球处产生的场强为E1＝
C.＋q在O点产生的场强为E2＝
D.＋q在O点产生的场强为E2＝
解析 金属板不能看作点电荷，在小球处产生的场强不能用E＝计算，故A错误；根据小球处于平衡状态得小球受静电力F＝mgtan α，由E＝得E1＝，B正确；小球可看作点电荷，在O点产生的场强E2＝，C正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的静电力大小为F＝mgtan α，但金属板不能看作试探电荷，故不能用E＝求场强，D错误。
答案 BC
8.如图所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘细线系一带电小球，小球的质量为m，电荷量为q。为了保证当细线与竖直方向的夹角为60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的场强大小可能为( )
A. B.
C. D.
解析 取小球为研究对象，它受到重力mg、细线的拉力F和静电力Eq的作用。因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，F和Eq的合力与mg是一对平衡力。根据力的平行四边形定则可知，当静电力Eq的方向与细线拉力方向垂直时，静电力最小，如图所示，则Eq＝mgsin 60°，得最小场强E＝。所以选项A、C、D正确。
答案 ACD
9.用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的强弱。如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点，O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称。则( )
A.B、C两点场强大小和方向都相同
B.A、D两点场强大小相等，方向相反
C.E、O、F三点比较，O点场强最强
D.B、O、C三点比较，O点场强最弱
解析 由等量异种点电荷的电场线分布可知选项A、C、D正确，B错误。
答案 ACD
10.两个小球带电后相互排斥，如图所示。两悬线跟竖直方向各有一个夹角α、β，且两球在同一水平面上。两球质量用m和M表示，所带电荷量用q和Q表示。若已知α>β，则一定有关系( )
A.两球一定带同种电荷
B.m一定小于M
C.q一定大于Q
D.m受到的静电力一定大于M所受的静电力
解析 由于两球相互排斥，一定带同种电荷，选项A正确；对球m受力分析如图，有F＝mgtan α，同理，F′＝Mgtan β，由于两电荷间的相互作用力大小相等F＝F′，并且α>β，所以m答案 AB
11.如图所示，在玻璃管中心轴上安装一根直导线，玻璃管外绕有线圈，直导线的一端和线圈的一端分别跟感应圈的两放电柱相连。开始，感应圈未接通电源，点燃蚊香，让烟通过玻璃管冒出。当感应圈电源接通时，玻璃管中的导线和管外线圈间就会加上高电压，立即可以看到不再有烟从玻璃管中冒出来了。过一会儿还可以看到管壁吸附了一层烟尘，这是因为( )
A.烟尘在高压电场作用下带上了负电
B.烟尘在高压电场作用下带上了正电
C.带负电的烟尘吸附在管壁上，因此看不到有烟冒出
D.带正电的烟尘吸附在直导线上，因此看不到有烟冒出
解析 烟尘在直导线和管外线圈形成的高压电场作用下，带上了负电。带负电的烟尘颗粒被吸附到了管壁上，因此看不到有烟冒出，选项A、C正确。
答案 AC
二、非选择题(本大题共3个小题，共34分。写出必要的文字说明和具体的解题步骤)
12.(10分)质量均为m的两个可视为质点的小球A、B，分别被长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，给A、B分别带上一定量的正电荷，并用水平向右的外力作用在A球上，平衡以后，悬挂A球的细线竖直，悬挂B球的细线向右偏60°角，如图所示。若A球的电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k，则：
(1)B球的电荷量为多少；
(2)水平外力多大。
解析 (1)当系统平衡以后，B球受到如图所示的三个力：重力mg、细线的拉力F1、库仑斥力F。
合力为零，由平衡条件得Fcos 30°－F1cos 30°＝0
Fsin 30°＋F1sin 30°－mg＝0
由库仑定律得F＝k
联立上述三式，可得B球的带电荷量qB＝。
(2)A球受到如图所示的四个力作用，合力为零。
得FT＝F′·cos 30°
而F′＝F＝mg
所以，A球受到的水平推力FT＝mgcos 30°＝mg。
答案 (1) (2)mg
13.(10分)如图所示，以O为圆心，r为半径的圆与坐标轴的交点分别为a、b、c、d，空间有与x轴正方向相同的匀强电场，同时在O点固定一个电荷量为＋Q的点电荷。如果把一个电荷量为－q的试探电荷放在c点，则恰好平衡，静电力常量为k，求：
(1)匀强电场的场强大小为多少？
(2)a、d两点的实际场强大小为多少？
解析 (1)空间存在匀强电场和点电荷形成的电场，任何一点的场强都是这两个电场在该处的场强的合场强。由电荷量为－q的试探电荷在c点处于平衡状态可得
k＝qE
解得匀强电场的场强为E＝
(2)由于正点电荷形成的电场的场强方向从圆心沿半径方向向外，故在a点，点电荷的场强方向沿x轴正方向；在d点，点电荷的场强方向沿y轴正方向。从而可知：a点的实际场强为两个等大、同方向场强的合成，即Ea＝，d点的实际场强为两个等大、互相垂直的场强的合成，即Ed＝。
答案 (1) (2)
14.(14分)在一个点电荷Q形成的电场中，建立如图甲所示的Ox坐标轴，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m。放在A、B两点的试探电荷所受静电力大小跟其电量的关系图像分别如图乙中直线a、b所示。如果放在A点的试探电荷带正电，放在B点的试探电荷带负电，则它们受到的静电力方向都跟x轴的正方向相同。求：
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并说明理由；
(3)点电荷Q的位置坐标。
解析 (1)据图乙和场强的定义式可知EB＝＝40 N/C
据场强方向的规定可知沿x轴负向。
(2)由于放在A点的试探电荷带正电、放在B点的试探电荷带负电，而它们受到的静电力方向都跟x轴的正方向相同，所以Q应在AB之间，且带负电。
(3)据图乙和场强的定义式可知
Ea＝＝2.5 N/C
设Q的位置坐标为x，据点电荷的场强公式得
Ea＝，Eb＝
联立以上代入数据解得x＝4.4 m。
答案 (1)40 N/C，沿x轴的负方向 (2)见解析
(3)4.4 m
