学科素养提升
科学思维1 用等分法确定等势线和电场线
1.在匀强电场中，沿着任意方向上，相等距离的电势差都相等。如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的。像这样采用这种等分间距求电势问题的方法，叫作等分法，如图甲，AB＝BC，则UAB＝UBC。
2.在已知电场中几个点的电势时，如果要求另外某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找出与待求点电势相同的等势点。
3.在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等。如图乙，AB∥CD，则UAB＝UCD。
4.等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。
[例1] 如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，电场方向与正方形平面平行。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V、φB＝3 V、φC＝－3 V。求D点电势φD为多少？
解析 在匀强电场中AB＝DC，且AB∥DC，所以UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，得φD＝9 V。
答案 9 V
方法总结 匀强电场中求解电势(场强)的两点技巧
(1)在匀强电场中，电势沿直线均匀变化，即直线上距离相等的线段两端的电势差值相等。
(2)等分线段找等势点法：将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三点电势的等势点，它们的连线即等势面(或等势线)，与其垂直的线即为电场线。
科学思维2 利用静电计分析电容器的问题
1.对静电计的认识
(1)静电计是在验电器的基础上改造而成的，静电计由相互绝缘的两部分组成，静电计与电容器的两极板分别连接在一起，则电容器上的电势差就等于静电计上所指示的电势差U，U的大小就从静电计的刻度读出，可见，静电计指针的变化表征了电容器两极板电势差的变化。
(2)静电计本身也是一个电容器，但静电计容纳电荷的本领很弱，即电容很小，当带电的电容器与静电计连接时，可认为电容器上的电荷量保持不变。
2.利用静电计分析电容器问题的两条思路
(1)根据C＝＝分析电容器两端电压的变化情况，从而确定静电计张角的变化情况。
(2)根据静电计张角的变化情况，结合C＝＝，分析电容器所带电荷量Q，正对面积S和极板间距离d的变化情况。
[例2] 静电计是在验电器的基础上制成的，用其指针张角的大小来定性显示其金属球与外壳之间的电势差大小。如图所示，A、B是平行板电容器的两个金属板，G为静电计。开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度，为了使指针张开的角度增大些，下列采取的措施可行的是( )
A.断开开关S后，将A、B两极板分开些
B.保持开关S闭合，将A、B两极板分开些
C.保持开关S闭合，将A、B两极板靠近些
D.保持开关S闭合，将变阻器滑动触头向右移动
解析 要使静电计的指针张开角度增大些，必须使静电计金属球和外壳之间的电势差增大，断开开关S后，将A、B两极板分开些，电容器的带电量不变，电容减小，电势差增大，A正确；保持开关S闭合，将A、B两极板分开或靠近些，静电计金属球和外壳之间的电势差不变，B、C错误；保持开关S闭合，将滑动变阻器滑动触头向右或向左移动，静电计金属球和外壳之间的电势差不变，D错误。
答案 A
科学思维3 “等效重力”法分析带电粒子在电场中的运动
等效法是从效果等同出发来研究物理现象和物理过程的一种科学方法。等效的概念在中学物理中应用广泛。等效“重力”法如下：将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合等效为重力场中的“重力”，a＝等效为“重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方
向，即在重力场中的竖直向下的方向。应用等效“重力”法解题时，要注意运用重力场中已熟知的一些结论。
[例3] 半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m、带正电荷的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图所示。珠子所受静电力是重力的。将珠子从环上的最低点A由静止释放(重力加速度为g)，则：
(1)珠子所能获得的最大动能是多少？
(2)珠子对圆环的最大压力是多少？
思路分析 (1)求mg与qE的合力；(2)找等效最低点。
解析 (1)因qE＝mg，所以静电力与重力的合力F合与竖直方向的夹角θ满足tan θ＝＝，故θ＝37°；
如图所示，设OB与竖直方向的夹角为θ，
则B点为等效最低点，珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，珠子在B点动能最大，对圆环的压力最大。
由动能定理得qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝Ekm
解得Ekm＝mgr。
(2)设珠子在B点受圆环弹力为FN，有FN－F合＝m
则FN＝F合＋m＝＋mg＝mg
由牛顿第三定律得珠子对圆环的最大压力为mg。
答案 (1)mgr (2)mg
主编点评 带电体在匀强电场中只受重力和静电力作用时，因为重力与静电力都是恒力，故重力与静电力的合力F合也是恒力，可以将该合力F合等效为重力场中的“重力”，g′＝即该叠加场中的等效“重力加速度”，F合的方向等效为“重力”的方向。
课件16张PPT。学科素养提升科学思维1 用等分法确定等势线和电场线3.在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等。如图乙，AB∥CD，则UAB＝UCD。4.等分法也常用在画电场线或计算电场强度的问题中。[例1] 如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，电场方向与正方形平面平行。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V、φB＝3 V、φC＝－3 V。求D点电势φD为多少？解析 在匀强电场中AB＝DC，且AB∥DC，所以UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，得φD＝9 V。
答案 9 V方法总结 匀强电场中求解电势(场强)的两点技巧
(1)在匀强电场中，电势沿直线均匀变化，即直线上距离相等的线段两端的电势差值相等。
(2)等分线段找等势点法：将电势最高点和电势最低点连接后根据需要平分成若干段，必能找到第三点电势的等势点，它们的连线即等势面(或等势线)，与其垂直的线即为电场线。科学思维2 利用静电计分析电容器的问题
1.对静电计的认识(1)静电计是在验电器的基础上改造而成的，静电计由相互绝缘的两部分组成，静电计与电容器的两极板分别连接在一起，则电容器上的电势差就等于静电计上所指示的电势差U，U的大小就从静电计的刻度读出，可见，静电计指针的变化表征了电容器两极板电势差的变化。
(2)静电计本身也是一个电容器，但静电计容纳电荷的本领很弱，即电容很小，当带电的电容器与静电计连接时，可认为电容器上的电荷量保持不变。2.利用静电计分析电容器问题的两条思路[例2] 静电计是在验电器的基础上制成的，用其指针张角的大小来定性显示其金属球与外壳之间的电势差大小。如图所示，A、B是平行板电容器的两个金属板，G为静电计。开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度，为了使指针张开的角度增大些，下列采取的措施可行的是( )A.断开开关S后，将A、B两极板分开些
B.保持开关S闭合，将A、B两极板分开些
C.保持开关S闭合，将A、B两极板靠近些
D.保持开关S闭合，将变阻器滑动触头向右移动解析 要使静电计的指针张开角度增大些，必须使静电计金属球和外壳之间的电势差增大，断开开关S后，将A、B两极板分开些，电容器的带电量不变，电容减小，电势差增大，A正确；保持开关S闭合，将A、B两极板分开或靠近些，静电计金属球和外壳之间的电势差不变，B、C错误；保持开关S闭合，将滑动变阻器滑动触头向右或向左移动，静电计金属球和外壳之间的电势差不变，D错误。
答案 A科学思维3 “等效重力”法分析带电粒子在电场中的运动思路分析 (1)求mg与qE的合力；(2)找等效最低点。则B点为等效最低点，珠子由A点静止释放后从A到B过程中做加速运动，珠子在B点动能最大，对圆环的压力最大。如图所示，设OB与竖直方向的夹角为θ，由动能定理得qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝Ekm章末检测
(时间：90分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共10个小题，共60分。在每小题所给的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～10题有多项符合题目要求，每小题满分6分。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。)
1.下列说法中正确的是( )
A.电场线密集处场强大，电势高
B.沿电场线方向场强减小，电势降低
C.在电势高处电荷具有的电势能也大
D.场强为零处，电势不一定为零
解析 电场线密集处场强大，电势不一定高，A错误；沿电场线方向电势降低，但场强不一定减小，B错误；正电荷在电势高处具有较大电势能，但对于负电荷，此现象正好相反，C错误；场强大小与电势高低无必然关系，D正确。
答案 D
2.如图所示，在粗糙的水平面上固定一个点电荷Q，在M点无初速度释放一个带有恒定电荷量的小物块，小物块在Q的电场中运动到N点停止，则从M到N的过程中，下列说法错误的是( )
A.小物块所受的静电力逐渐减小
B.小物块具有的电势能逐渐减小
C.M点的电势一定高于N点的电势
D.小物块电势能的减少量一定等于克服摩擦力做的功
解析 小物块在从M运动到N的过程中，一定受到向右的摩擦力，所以库仑力一定向左。随着由M运动到N，离电荷Q距离越来越大，所以小物块受到的静电力即库仑力一定减小，A正确；由动能定理可得μmgx－WE＝0，即WE＝μmgx，静电力做正功，小物块具有的电势能减小，其减少量等于克服滑动摩擦力做的功值，B、D正确；因点电荷Q的电性未知，不能判断M、N两点电势的高低，C错误。
答案 C
3.某静电场的电场线分布如图所示，图中P、Q两点的电场强度的大小分别为EP和EQ，电势分别为φP和φQ，则( )
A.EP>EQ，φP>φQ B.EP>EQ，φP<φQ
C.EPφQ D.EP解析 图中P点电场线密，电场强度大，EP>EQ，沿电场线的方向电势降低，φP>φQ。
答案 A
4.一带电粒子仅在静电力作用下从A点开始以－v0做直线运动，其v－t图像如图所示。粒子在t0时刻运动到B点，3t0时刻运动到C点，下列判断正确的是( )
A.A、B、C三点的电势关系为φB>φA>φC
B.A、B、C三点的场强大小关系为EC>EB>EA
C.粒子从A点经B点运动到C点，电势能先增加后减少
D.粒子从A点经B点运动到C点，静电力先做正功后做负功
解析 由题图v－t图像知道带电粒子在0～t0时间内做减速运动，静电力做负功，电势能增大；在t0～3t0时间内做反方向加速运动，静电力做正功，电势能减小，选项C正确，D错误；因为不知道带电粒子电性，本题中无法判断电势的高低，选项A错误；图像中斜率表示带电粒子的加速度，qE＝ma，可知A、B、C三点中EB最大，选项B错误。
答案 C
5.水平放置的平行金属板A、B连接一恒定电压，两个质量相等的电荷M和N同时分别从极板A的边缘和两极板的正中间沿水平方向进入板间电场，两电荷恰好在板间某点相遇，如图所示。若不考虑电荷的重力和它们之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A.电荷M的比荷大于电荷N的比荷
B.两电荷在电场中运动的加速度相等
C.从两电荷进入电场到两电荷相遇，静电力对电荷M做的功等于静电力对电荷N做的功
D.电荷M进入电场的初速度大小与电荷N进入电场的初速度大小一定相同
解析 若两板间电压为U，间距为d，长为L。则由题意：vNt＋vMt＝L①
t2＋＝t2②
由①式分析得vM、vN不一定相同，D错误；
由②式分析得>，A正确；由>进一步分析可得两个电荷的加速度aM>aN，静电力对电荷所做的功WM>WN，B、C错误。
答案 A
6.位于A、B处的两个带有不等量负电荷的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表示等势线，相邻等势线间电势差相等，则( )
A.a点和b点的电场强度相同
B.正电荷从c点移到d点，静电力做正功
C.负电荷从a点移到c点，静电力做正功
D.正电荷从e点沿图中虚线移到f点，电势能先减小后增大
解析 a点的等势面比b点的稀疏，故a点的电场强度比b点的小，而且两点场强方向也不同，A项错误；c点电势低于d点，正电荷从c点移到d点，即正电荷向高电势处移动，静电力做负功，B项错误；a点电势低于c点，从a到c，把负电荷移向高电势处，静电力做正功，C项正确；从e沿题图中虚线到f，电势先变低后变高，故沿此方向移动正电荷，静电力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，D项正确。
答案 CD
7.平行板A、B组成电容器，充电后与静电计相连，要使静电计指针张角变大，下列措施可行的是( )
A.A板向上移动
B.B板向右移动
C.A、B板间插入电介质
D.减少极板上的电荷量
解析 A板向上移动，正对面积S减小，或B板向右移动，距离d增大，根据C＝，电容C均减小，由U＝知电势差U变大，静电计指针偏转角度增大，A、B正确；A、B板间插入电介质，相对介电常数εr增大，根据C＝，电容C增大，则U＝知电势差U变小，静电计指针偏转角度减小，C错误；由U＝得，减小电荷量Q，电势差U变小，静电计指针偏转角度减小，D错误。
答案 AB
8.如图所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一个带负电的质点仅在静电力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是( )
A.三个等势面中，等势面c的电势最低
B.带电质点一定是从Q点向P点运动
C.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时大
D.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小
解析 根据轨迹弯曲的方向和负电荷可知，电场线向上，故c点电势最低，故A正确；根据已知条件无法判断粒子的运动方向，故B错误；等差等势面P处密，P处电场强度大，静电力大，加速度大，C正确；负电荷在电势高处电势能小动能大，故D正确。
答案 ACD
9.两个点电荷Q1和Q2固定在x轴上O、D两点，两者之间连线上各点电势高低如图中曲线所示(OB>BD)，取无穷远处电势为零，由图可知( )
A.B点电场强度为零
B.Q1为负电荷，Q2为正电荷
C.Q1电荷量一定大于Q2电荷量
D.将电子沿x轴从A点移到C点，静电力一直做正功
解析 由E＝知，B点的电场强度不为零，A错误；因无穷远处电势为零，所以负点电荷电场中的电势为负，正点电荷电场中的电势为正，结合题图可知，Q1为负电荷，Q2为正电荷，B正确；由题图可知，电势零点离D点较近，故Q1电荷量一定大于Q2电荷量，C正确；将电子沿x轴从A点移到C点，电势一直升高，电子的电势能一直减小，静电力一直做正功，D正确。
答案 BCD
10.(2019·全国卷Ⅲ，21)如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A.a点和b点的电势相等
B.a点和b点的电场强度大小相等
C.a点和b点的电场强度方向相同
D.将负电荷从a点移到b点，电势能增加
解析 b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误；如图所示，a、b两点的电场强度可视为E3与E4、E1与E2的合场强。其中E1∥E3，E2∥E4，且知E1＝E3，E2＝E4，故合场强Ea与Eb大小相等、方向相同，B、C正确；由于φa＜φb，负电荷从低电势移至高电势过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
答案 BC
二、计算题(本大题共4个小题，共40分。写出必要的文字说明和具体的解题步骤。)
11.(8分)一长为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电荷量为q的小球，处于如图所示的水平向右的匀强电场中。开始时，将线与小球拉成水平，小球静止在A点，释放后小球由静止开始向下摆动，当细线转过60°角时，小球到达B点速度恰好为零。试求：(重力加速度为g)
(1)A、B两点的电势差UAB；
(2)匀强电场的场强大小。
解析 (1)小球由A到B过程中，由动能定理得
mgLsin 60°＋qUAB＝0，所以UAB＝－。
(2)根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，
可得E＝＝。
答案 (1)－ (2)
12.(8分)电荷量为q＝1×10－4 C的带正电小物块置于粗糙的绝缘水平面上，所在空间存在沿水平方向的匀强电场，场强E与时间t的关系及物块速度v与时间t的关系分别如图甲、乙所示，若重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物块的质量m；
(2)物块与水平面之间的动摩擦因数；
(3)物块运动2 s过程中，其电势能的改变量。
解析 由题图可知E1＝3×104 N/C，E2＝2×104 N/C，
a1＝2 m/s2
E1q－μmg＝ma1①
E2q－μmg＝0②
由①②代入数据得m＝0.5 kg，μ＝0.4
ΔEp＝－E1ql1－E2ql2＝－(3×104×1×10－4××2×1＋2×104×1×10－4×2×1) J＝－7 J。
电势能减少7 J。
答案 (1)0.5 kg (2)0.4 (3)电势能减少7 J
13.(10分)如图所示，在E＝103 V/m的水平向左匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，轨道与一水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行，其半径R＝0.4 m，一带正电荷q＝10－4 C的小滑块质量为m＝0.04 kg，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)要使小滑块能运动到半圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处释放？
(2)这样释放的滑块通过P点时对轨道的压力是多大？(P为半圆轨道中点)
解析 (1)滑块刚能通过轨道最高点的条件是
mg＝m，v＝＝2 m/s
滑块由释放点到最高点过程，由动能定理得
qEx－μmgx－2mgR＝mv2
代入数据得x＝20 m。
(2)在PL段，由动能定理得
－mgR－qER＝mv2－mv
在P点由牛顿第二定律FN－qE＝
代入数据得FN＝1.5 N
由牛顿第三定律得F压＝FN＝1.5 N。
答案 (1)20 m (2)1.5 N
14.(14分)一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm。
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5.0 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)；
(3)若另一个质量为m(不计重力)的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场，射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
解析 (1)加速过程，由动能定理得eU1＝mv①
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速运动，
L1＝v0t②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
a＝＝③
偏移距离y＝at2④
由①②③④得y＝
代入数据得y＝0.25 cm。
(2)如图，由几何关系知
＝得Y＝()y
代入数据得Y＝0.75 cm。
(3)因y＝，Y＝()y，与粒子的质量m和电荷量q无关，
故二价负离子经同样装置后，y′＝y，Y′＝Y。
答案 (1)0.25 cm (2)0.75 cm (3)0.25 cm 0.75 cm
