北师大版八年级下册数学2.5 一元一次不等式与一次函数教案

一元一次不等式与一次函数
教学目标
知识与技能
理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用图象法解一元一次不等式。
过程与方法：
经历一次函数与一元一次不等式关系的探索，进一步学会用函数的观点认识问题，领悟数形结合思想与函数思想。
情感态度价值观：
在探究函数与方程、不等式的联系中感受数学的统一美，在师生、生生的交流活动中，学会倾听、欣赏和感悟，享受数学学习的快乐。
重点：一元一次不等式与一次函数关系的探索
难点：从函数角度理解一元一次不等式，初步认识数形结合。

问题引入
（1）以下两个问题是不是同一个问题？
①解不等式：2x-5＞0
②当x为何值时，函数y=2x-5的值大于0？
（2）你如何利用图象来说明②？
（3）“解不等式2x-5＜0”可以与怎样的一次函数问题是同一个问题？怎样在图象上加以说明？那么2x-5>3呢？
探究、合作学习
活动内容：
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
1.导探激励
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
x取哪些值时，2x－5=0? （2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
学生活动：讨论后回答。
活动目的：通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。
（1）当y=0时，2x－5=0,∴x=, ∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.

活动效果：学生由讨论可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式。
2.想一想
活动内容：如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
学生活动：在刚才讨论的基础上，学生尝试解决问题。
活动目的：通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由
－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。
活动效果：通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识。
3.达测深化
活动内容：先画出图象，然后讨论回答。
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？
（4）你是怎样求解的？与同伴交流.
活动目的：感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。
［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得
y1=4x y2=3x+9
函数图象如图：



从图象上来看：
（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（3）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;
（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.
活动效果：绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题。
运用巩固、练习提高
已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.
可能出现方法：
方法1：利用解一元一次不等式的方法求解。
方法2：将原不等式化为-4x+7>0，利用函数y=-4x+7的图象求解。
根据学生回答情况，引导学生得出第三种方法：
方法3：将不等式两边分别看作两个一次函数，画出直线y1=－x+3和直线
y2=3x－4,
利用图象求出＜时的取值范围，从面得到原不等式的解集。
问：同学们，对于上述几种解法有什么感想呢？

如图所示：

当x取小于的值时，有y1＞y2.
活动效果:学生在解答上述问题时,表现出极大的兴趣， 90%的学生能够顺利完成.
课时小结
活动内容：
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式。
活动目的：让学生通过自我反思性活动增强对相关知识和方法的理解水平。感受到数学的作用。
布置作业
读一读 习题2.5 1、2