8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课题
空间点、直线、平面之间的位置关系
单元
第八单元
学科
数学
年级
高二
教材分 析
本节内容是空间、点、直线平面之间位置关系的第二课时，由常见立体图形导入，进而引出本节要学的内容。
教 学
目标与核心素养
1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察点、直线、面之间的位置关系。
2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。
4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。
重点
空间中直线与直线位置关系、直线与平面位置关系、平面与平面位置关系
难点
空间中直线与直线位置关系、直线与平面位置关系、平面与平面位置关系证明
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
观察长方体中点、线、面之间的关系？
学生思考问题，引出本节新课内容。
利用已学知识引出本节新课内容。
讲授新课
空间中点与直线有两种关系：点在线上，点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外
点与平面位置关系有两种：点在面上，点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’C’C’上
2.空间中直线与直线的位置关系
不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
平行直线（无交点）
共面直线 相交直线（一个交点）
异面直线 （无交点）
3.异面直线的画法:
4.异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'?和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
5.练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
解：是，因为两条直线既不相交也不平行。
练习二、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？
6.空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内（无数个公共点）
直线与平面相交（一个公共点）
直线与平面平行（没有公共点）
7.空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行（没有公共点）
两个平面相交（有一条公共直线）
8.探究：
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系。
平面ABCD//平面A'B'C'D'
平面AA'DD'//平面BB'CC'
AA'//平面BB'CC'
A'B//平面CC'DD'等
8.例一：如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系。
解：在(1)中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B
在（2）α∩β=l,
9.例二：
如图，AB∩α=B,A?α，?a.直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线AB与a是异面直线。理由如下：若直线AB与a不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为β，则B∈β， 由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面平面α与β重合，从而, 进而A∈α，这与A?α矛盾。所以直线AB与a是异面直线。
补充说明：
例二告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。
例3 已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．
解： 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．
总结：判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．
例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．
解 (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．
(4)平面AMD1与平面BNC相交.
例5 在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF 相交．
[证明] ∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，
∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1?平面ACC1A1，BE?平面BEF，
∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．
总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．
练习：
一、如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )
A 共面 B 平行
C 是异面直线 D 可能平行，也可能是异面直线
二、设直线a、b分别是长方体的相邻两个面对角线所在直线，则a与b( )
A 平行 B 相交
C 是异面直线 D 可能相交，也可能是异面直线
给出点与直线位置关系及点与平面位置关系。
给出异面直线画法
给出异面直线所成角定义
小组讨论练习一并给出答案
学生独立完成练习一
小组讨论探究并回答问题
学生独立思考例一
学生思考例三
学生独立思考例5并回答
学生独立完成练习
通过具体立体图形体会点与直线位置关系及点与平面位置关系
加深学生对异面直线的概念理解
通过图形给出异面直线夹角
段炼学生解决问题能力
段炼学生独立解决问题能力
段炼学生团队协作能力
段炼学生对于新知识的掌握
段炼学生立体感
段炼学生独立解决问题能力
巩固学生对于新知识的掌握
课堂小结
1，空间中直线与直线位置关系
2，空间中直线与平面位置关系
3，空间中平面与平面位置关系
学生对本节内容进行总结。
学生对于新知建立系统结构。
板书
目标
1、空间中直线与直线位置关系
2、空间中直线与平面位置关系
3、空间中平面与平面位置关系
精讲 习题
1、空间中直线与直线位置关系
2、空间中直线与平面位置关系
3、空间中平面与平面位置关系
课件24张PPT。数学人教版 必修二8.4 空间、点、直线平面之间的位置关系新知导入前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些关系，如点在平面内，直线在平面内等等。那能在图中找到它们之间的其他位置关系吗？AD’C’B’A’DCBYOUR SITE HERE空间中点与直线有两种关系：点在线上，点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外
点与平面位置关系有两种：点在面上，点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’CC’上新知讲解1 空间中直线与直线的位置关系
不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
平行直线（无交点）
共面直线
相交直线（一个交点）
异面直线 （无交点）通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面的特点异面直线的画法:异面直线所成的角如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线a'∥a，a'?和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？解：是，因为两条直线既不相交也不平行。练习二、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'?中。
（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？
（2）直线BA'?和CC'?的夹角是多少？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA’成异面直线的有B’C’、AD、CC’、DD’、DC、D’C’
(2)因为BA’//D’C,且D’C与CC’夹角为45°，所以BA’与CC’夹角为45°。，空间中直线与平面的位置关系
直线在平面内（无数个公共点）
直线与平面相交（一个公共点）
直线与平面平行（没有公共点）
画法空间中平面与平面的位置关系
两个平面平行（没有公共点）
两个平面相交（有一条公共直线）
αβα//β探究：
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系。
平面ABCD//平面A'B'C'D'
平面AA'DD'//平面BB'CC'
AA'//平面BB'CC'
A'B//平面CC'DD'等例一：如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系。解：在(1)中
在（2）中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=Bα∩β=l,?(1)(2)?解：直线AB与a是异面直线。理由如下：若直线AB与a不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为β，则B∈β， 由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面平面α与β重合，从而 , 进而A∈α，这与A?α矛盾。所以直线AB与a是异面直线。??补充说明：
例二告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。例3 已知a，b，c是三条直线，如果a与b是异面直线，b与c是异面直线，那么a与c有怎样的位置关系？并画图说明．解： 直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图(1)(2)(3)．
总结：判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解 (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．
(4)平面AMD1与平面BNC相交.例5 在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF 相交．[证明] ∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，
∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1?平面ACC1A1，BE?平面BEF，
∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交． 总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．一、如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )
A 共面 B 平行
C 是异面直线 D 可能平行，也可能是异面直线 课堂小验二、设直线a、b分别是长方体的相邻两个面对角线所在直线，则a与b( )
A 平行 B 相交
C 是异面直线 D 可能相交，也可能是异面直线DD三、经过同一直线上三个点的平面（ ）
A 有且只有一个 B 有且仅有三个
C 有无数个 D 不存在
四、如图是一个正方体的表面积展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对？CAHEFGBDCHEFBADCG解：三对 直线EF和直线HG 直线AB和直线HG 直线AB和直线GDYOUR SITE HERE1，空间中直线与直线位置关系2，空间中直线与平面位置关系3，空间中平面与平面位置关系课堂总结板书设计 目标
1、空间中直线与直线位置关系
2、空间中直线与平面位置关系
3、空间中平面与平面位置关系
精讲 习题
1、空间中直线与直线位置关系
2、空间中直线与平面位置关系
3、空间中平面与平面位置关系
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