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人教必修二
第九章
9.2.3 总体集中趋势的估计
问题导入
问题一：你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？
众数：一组数据中出现次数最多的数
中位数：一组数据按大小顺序依次排序后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数。
平均数：
这些统计量刻画了数据的“中心位置”，即数据的集中趋势。
那么，本节课将进一步探究这些统计量之间的区别与联系，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势。
思考一：根据下表中100户居民的月均用水量，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
因为数据是抽自全市居民的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，中位数约为6.6t。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
思考二：假设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？
根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为8.79t，则2000户居民的月用水总量为
2000×8.79=17580t
思考三：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数。但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数。
通过简单计算发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
思考四：与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？
平均数变化较大。
这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。
因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
思考五：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？
一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图（1）），那么平均数和中位数大体上差不多；
如果直方图在右边“拖尾”（如图（2）），那么平均数大于中位数；
如果直方图在左边“拖尾”（如图（3）），那么平均数小于中位数。也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
例5：某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格。根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性。
校服规格 155 160 165 170 175 合计
频数 39 64 167 90 26 386
解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。
可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
思考六：从上述思考题和例题中，你能总结出平均数、中位数、众数各自的特点吗？
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
平均数 中位数 众数
在频率分布直方图中的含义 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 最高矩形的中点的横坐标
特点 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据 只利用了出现次数最多的那个值的信息
思考七：根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？
一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；
对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。
知识探究（一）：平均数、中位数、众数
思考八：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考九：根据频率分布直方图如何计算样本平均数？
因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。
即 每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标。
那么由上图可得样本平均数为
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十：根据频率分布直方图如何计算样本中位数？
根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。
由于0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552
因此中位数落在区间[4.2，7.2）内。
设中位数为x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71
因此，中位数约为6.71。
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十一：根据频率分布直方图观察，样本众数应该在哪个小矩形内？由此估计众数是多少？
根据众数定义得，出现次数最多数据是众数。
如上图所示，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值。
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十二：根据上述计算出的样本平均数、中位数和众数，你有什么结论？
上面计算的样本平均数为8.96，和直接计算出的平均数8.79相差不大；中位数为6.71，与计算出的中位数6.6基本一致；众数为5.7.
众数常用在描述分类型数据中，因此，在这个实际问题中，我们根据众数“5.7”知道月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多。
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十三：以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法。那么，这种方法有什么不足？
这些特征量有时会被利用而产生误导。
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十四：假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元“。你如何理解这句话？
这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多；
也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多。
尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。
所以，我们要强调”用数据说话”,但同时又要防止被误导。
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
思考十五：你能总结用样本的众数、中位数和平均数来估计总体的数字特征各自的优缺点吗？
知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体
受极端数据的影响较大.
代表了样本数据更多的信息.
只能表达样本数据中的少量信息.
容易计算，不受少数几个极端值的影响.
课堂巩固
1、下列( )准确的反映出总体的情况：
A、中位数 B、平均数 C、众数
D、平均数、中位数、众数都有局限性，都不可以
2、若样本数据12,15,20,x,23,28,30,50的中位数为22 ，则
x=( )
A、21 B、15 C、22 D、35
3、若按从小到大排列的样本数据-8,-1,4,x,10,13的中位数是7 ，则其众数是( )
A、7 B、6 C、4 D、10
D
A
D
课堂巩固
4、在一次体育测试中,某班的6名同学的成绩(单位:分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据,下列说法错误的是 ( )
A.众数是83 B.中位数是83
C.极差是30 D.平均数是83
解析：由于83出现的次数最多,所以众数是83,故A说法正确;
把数据66,83,87,83,77,96按从小到大排列为66,77,83,83,87,96,中间两个数为83,83,所以中位数是83,故B说法正确;极差是96-66=30,故C说法正确;
由于平均数为(66+83+87+83+77+96)÷6=82,故D说法错误,故选D.
课堂巩固
5、某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A.70分 B.75分 C.68分 D.66分
解析：平均成绩就是频率分布直方图中
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和,即
0.005×20×30+0.010×20×50+0.020×20×70+0.015×20×90=68(分).
故选C
课堂巩固
6、已知一组数据：125、121、123、125、127、129、125、128、130、129、124、125、127、126、122、124、125、126、128、127。
（1）填写下列的
频率分布表；
（2）做出频率分布
直方图；
（3）根据直方图求
其众数、中位数和
平均数。
1
0.05
2
0.1
7
0.35
5
0.25
5
0.25
20
1
2
1
0.05
分组 频数 频率
[121，122）
[122，124）
[124，126）
[126，128）
[128，130]
合计
课堂巩固
频率/组距
（3）
由频率分布直方图得：
众数：125
中位数：126
平均数：126.1
课堂巩固
7、某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如表所示:
(1)在这10天中,该公司用水量的平均数是多少?每天用水量的中位数是多少??
(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来估计该公司每天的用水量??
解：（1）在这10天中，该公司用水量的平均数是
每天用水量的中位数是
（2）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下。
故用中位数来估计每天的用水量更合适。
用水量/t 22 38 40 41 44 50 95
天数 1 1 1 2 2 1 2
课堂小结
课本P215 习题9.2 第6、7题
作业布置
1、样本的数字特征：众数、中位数和平均数；
2、用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数。
（1）众数规定为频率分布直方图中最高矩形下端的中点；
（2）中位数两边的直方图的面积相等；
（3）频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数。
1.平均数、
中位数和众数
2.用样本平均数、中位数和众数估计总体
四、作业布置
三、课堂小结
二、探索新知
一、问题导入
9.2.3 总体集中趋势的估计
板书设计
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9.2.3总体集中趋势的估计教学设计
课题 9.2.3总体集中趋势的估计 单元 第九单元 学科 数学 年级 高一
教材分析 本节内容是在根据样本的数据特征来估计总体的分布情况，本节内容主要根据平均数、中位数、众数来估计总体的集中趋势。
教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用样本的平均数、众数、中位数将总体分布具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握利用样本的平均数、众数、中位数来估计总体的集中趋势。 4.直观想象：通过样本平均数、中位数、众数直观估计总体的集中趋势，从而解决相关的实际问题； 5.数学运算:能够正确计算平均数、中位数、众数；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点 计算平均数、众数、中位数，并判断总体的集中趋势
难点 计算平均数、众数、中位数，并判断总体的集中趋势
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题导入： 问题一：你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？ 众数：一组数据中出现次数最多的数 中位数：一组数据按大小顺序依次排序后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数。 平均数： 这些统计量刻画了数据的“中心位置”，即数据的集中趋势。 那么，本节课将进一步探究这些统计量之间的区别与联系，并根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势。 学生利用问题回顾初中知识点的同时，引出本节新课内容——平均数、中位数、众数。 设置问题情境，回顾初中知识点，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。
讲授新课 知识探究（一）：平均数、中位数、众数 思考一：根据下表中100户居民的月均用水量，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。因为数据是抽自全市居民的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，中位数约为6.6t。 思考二：假设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？ 根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为8.79t，则2000户居民的月用水总量为 2000×8.79=17580t 思考三：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数。但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数。 通过简单计算发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t。 思考四：与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？ 平均数变化较大。 这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。 因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。 思考五：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图（1）），那么平均数和中位数大体上差不多； 如果直方图在右边“拖尾”（如图（2）），那么平均数大于中位数； 如果直方图在左边“拖尾”（如图（3）），那么平均数小于中位数。也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边。 例5：某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格。根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示： 如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性。 解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。 可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。 由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理。 思考六：从上述思考题和例题中，你能总结出平均数、中位数、众数各自的特点吗？ 思考七：根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？ 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数； 对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。 知识探究（二）：用样本平均数、中位数、众数估计总体 思考八：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？ 思考九：根据频率分布直方图如何计算样本平均数？ 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 即 每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标。 那么由上图可得样本平均数为 思考十：根据频率分布直方图如何计算样本中位数？ 根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 由于0.077×3=0.231，（0.077+0.107）×3=0.552 因此中位数落在区间[4.2，7.2）内。 设中位数为x，由0.077×3+0.107×（x-4.2）=0.5，得到x≈6.71 因此，中位数约为6.71。 思考十一：根据频率分布直方图观察，样本众数应该在哪个小矩形内？由此估计众数是多少？ 根据众数定义得，出现次数最多数据是众数。 如上图所示，月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值。 思考十二：根据上述计算出的样本平均数、中位数和众数，你有什么结论？ 上面计算的样本平均数为8.96，和直接计算出的平均数8.79相差不大；中位数为6.71，与计算出的中位数6.6基本一致；众数为5.7. 众数常用在描述分类型数据中，因此，在这个实际问题中，我们根据众数“5.7”知道月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多。 思考十三：以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法。那么，这种方法有什么不足？ 这些特征量有时会被利用而产生误导。 思考十四：假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元“。你如何理解这句话？ 这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多； 也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多。 尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。 所以，我们要强调”用数据说话”,但同时又要防止被误导。 思考十五：你能总结用样本的众数、中位数和平均数来估计总体的数字特征各自的优缺点吗？ 课堂巩固 1、下列( D )准确的反映出总体的情况： A、中位数 B、平均数 C、众数 D、平均数、中位数、众数都有局限性，都不可以 2、若样本数据12,15,20,x,23,28,30,50的中位数为22 ，则x=( A ) A、21 B、15 C、22 D、35 3、若按从小到大排列的样本数据-8,-1,4,x,10,13的中位数是7 ，则其众数是( D ) A、7 B、6 C、4 D、10 4、在一次体育测试中,某班的6名同学的成绩(单位:分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据,下列说法错误的是 ( D ) A.众数是83 B.中位数是83 C.极差是30 D.平均数是83 解析：由于83出现的次数最多,所以众数是83,故A说法正确; 把数据66,83,87,83,77,96按从小到大排列为66,77,83,83,87,96,中间两个数为83,83,所以中位数是83,故B说法正确;极差是96-66=30,故C说法正确; 由于平均数为(66+83+87+83+77+96)÷6=82,故D说法错误,故选D. 5、某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试的平均成绩是( C ) A.70分 B.75分 C.68分 D.66分 解析：平均成绩就是频率分布直方图中 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和,即 0.005×20×30+0.010×20×50+0.020×20×70+0.015×20×90=68(分). 故选C 6、已知一组数据：125、121、123、125、127、129、125、128、130、129、124、125、127、126、122、124、125、126、128、127。 （1）填写下列的频率分布表； （2）做出频率分布直方图； （3）根据直方图求其众数、中位数和平均数。 （3）由频率分布直方图得： 众数：125中位数：126平均数：126.1 7、某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如表所示: (1)在这10天中,该公司用水量的平均数是多少?每天用水量的中位数是多少?? (2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来估计该公司每天的用水量?? 解：（1）在这10天中，该公司用水量的平均数是每天用水量的中位数是 （2）平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下。 故用中位数来估计每天的用水量更合适。 学生根据上述问题，探究平均数、中位数、众数的各自特点。 学生分组合作思考相关的问题，探究得出平均数、中位数、众数各自的特点及优缺点。 利用样本的平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势。 学生和教师共同探究完成7个课堂巩固题。 利用问题情境探究得出平均数、中位数、众数的各自特点,培养学生探索的精神. 通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。 回到统计的最初目的——估计总体，培养学生有始有终的做事原则。 通过这7个题，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结 1、样本的数字特征：众数、中位数和平均数； 2、用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数。 （1）众数规定为频率分布直方图中最高矩形下端的中点； （2）中位数两边的直方图的面积相等； （3）频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数。 学生回顾本节课知识点，教师补充。 让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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