17.1勾股定理 培优学案

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17.1勾股定理
知识点1 勾股定理的证明
勾股定理是几何中一个比较重要的定理，世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．目前世界上可以查到证明勾股定理的方法不下500种，这些证法不仅丰富了定理，而且也提升了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展．下面介绍几种著名的拼图方法，供大家参考．
证法1：如图所示，因为大正方形的边长是a＋b，所以面积为(a＋b)2，而中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积和为4×ab，故有(a＋b)2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．

证法2：如下图（1）所示，因为大正方形的边长是a＋b，所以它的面积为(a＋b)2，又因为该正方形的边长与如图17－1所示的正方形的边长相等，所以面积也相等．故有a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．

证法3：如上图（2）所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的．因为S梯形＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2，S梯形＝ab×2＋c2＝ab＋c2，所以(a＋b)2＝ab＋c2，整理得a2＋b2＝c2．
证法4：如上图（3）所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方形．因为以c为边的大正方形的面积是c2，而4个直角三角形的面积和为4×ab，且中间的小正方形的面积是(b－a)2，所以c2＝4×ab＋(b－a)2，整理得a2＋b2＝c2．
练1 阅读理解：
【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：　 　；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　 　；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．

【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．

知识点2 勾股定理
考向一 利用勾股定理求三角形边长
例1在△ABC中，∠C＝90°．
⑴若a＝5，b＝12，求c；
⑵若c＝26，b＝24，求a．
【分析】利用勾股定理a2＋b2＝c2求未知边长．
解：在△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2．
⑴因为a2＋b2＝c2，a＝5，b＝12，
所以c2＝a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169，所以c＝13．
⑵因为a2＋b2＝c2，c＝26，b＝24，
所以a2＝c2－b2＝262－242＝676－576＝100，所以a＝10
【点拨】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式.
练1直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（　　）
A．13 B．
C．13或 D．13或12
练2如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则BC等于____

第2题图
练3 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=3，BD=2，CD=1，求AC的长．


考向二 利用勾股定理作长为（n为大于1的整数）的线段
例2 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中画一条线段AB，使AB．
（2）在图②中画一个三边长均为无理数，且斜边长为的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE＝90°，并求出它的周长．

【分析】（1）AB的长就是长为5，宽为2的矩形对角线；
（2）腰长是长为4，宽为1的矩形对角线；
解：（1）如图①中，线段AB即为所求；

（2）如图②中，△DCE即为所求．DC＝EC，斜边DE．周长＝2．
【点评】要作出长为（n＞1，且n为整数）的线段，首先要确定以为一边长的直角三角形的两直角边或一条直角边长和斜边.解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
练4 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图1中画一条线段MN，使MN＝；
（2）在图2中画一个边长为2的线段AB．



练5 如图为4×4的网格（每个小正方形的边长均为1），请画两个正方形（要求：其中一个边长是有理数，另一个是无理数），并写出其边长，

∴边长为　　．∴边长为　　．


考向三 勾股定理与数轴
例3 如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2.8 B．2
C．21 D．21
C【解析】由题意可得，AB＝2，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝2，∴AD＝2，
∴点D表示数为：21，故选：C．
【点拨】利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
练6 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示﹣1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”．则数轴上点A所表示的数是（　　）

1 B．1
C． D．
练7 如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点A表示的数为（　　）

B．
D．
考向四 勾股定理与面积的综合
例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，则最大正方形E的边长是（　　）

A．35 B．
C．70 D．无法确定
B【解析】正方形A、B、C、D的面积分别是9、16、1、9，
由勾股定理得，正方形G的面积为：9+16＝25，正方形H的面积为：1+9＝10，
则正方形E的面积为：25+10＝35，最大正方形E的边长，故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．求出正方形E的面积是解题的关键．
练8 如图，以直角三角形三边为边长向外作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（ ）
A．175 B．577 C．625 D．700

第8题图 第9题图
练9 如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是 ．
考向五 利用勾股定理解决图形变换问题
例5 如图17－10所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝6，AE⊥BC于E，求AE的长．

【分析】欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD，△ADE是等腰直角三角形，所以利用勾股定理可求AE的长．
解：如图17－10所示，连接AD．
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝6，∴∠BAD＝∠B＝22.5°．
又∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，
由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，
∴2AE2＝(6)2，∴AE＝＝6．
【点评】根据所给已知条件，建立AE与BD的联系，再利用勾股定理求出AE的长．
练10 现有一长方形纸片ABCD，在剪纸过程中需要折叠，如图所示，将△ADE沿AE折叠，且使AD落在长方形内，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB＝8，BC＝10，求EC的长．





练11 如图，长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，沿EF折叠，使点D与点B重合，使点C与点C′重合.
(1)求DE的长; (2)求折痕EF的长.





考向六 勾股定理在生活中的实际应用
例6 -1在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘，而另一只则爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？

【分析】如图17－12所乐，设A为树根，D为树顶，B为猴子所在处，则AB＝10m，C为池塘，则AC＝20m．设BD＝xm，已知两只猴子经过的路程相等，即DB＋CD＝AB＋AC，就可以应用勾股定理求出CD，进而求出树高AD．
解：如图17－12所示，B为猴子的初始位置，
则AB＝10m，C为池塘，则AC＝20m．
设BD＝xm，则树高AD＝(10＋x)m．
由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10．
∴CD＝(30－x)m．
在Rt△ACD中，∠A＝90°，
由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，
∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2，∴x＝5，
∴树高AD＝10＋5＝15(m)．
例6-2某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图17－13所示，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m．在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向．求此时游轮与望海楼之间的距离BC．(取1.73，结果保留整数)

解：过B作AC的垂线，垂足为D，
由题意得AB＝300m，∠A＝30°，
∴BD＝AB＝150m．
由题意知∠BCD＝60°，∴∠DBC＝30°，
∴DC＝BC．设DC＝x，则BC＝2x，
在Rt△BCD中，CD2＋BD2＝BC2，
∴x2＋1502＝(2x)2，∴x＝50，∴BC＝100≈173(m)．
答：此时游轮与望海楼之间的距离约为173m．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
练12 如图17－8所示，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑多少米？






练13 已知，如图，一艘轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，求两船相距多少海里？






考向八 利用勾股定理求最短路径
例8 如图，长方体的长BE＝20cm，宽AB＝10cm，高AD＝15cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？

【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、C′D、C′H剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，由题意可得：MD＝MC+CD＝5+10＝15cm，AD＝15cm，
在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM＝15cm；将长方体沿CH、C′D、C′H剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内，连接AM，
如图2，由题意得：BM＝BC+MC＝5+15＝20（cm），AB＝10cm，在Rt△ABM中，根据股定理得：AM＝10cm，连接AM，如图3，由题意得：AC＝AB+CB＝10+15＝25（cm），MC＝5cm，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM＝5cm，∵15105，
则需要爬行的最短距离是15cm．

【点评】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．特别提醒，做题时一定要把展开图全部画出来，计算出最短路径的长度后，再比较作答.
练14 如图，圆柱体的高为4cm，底面周长为6cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为　　．

【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB5cm，
故答案为：5cm．

练15 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，从A点到B点只能沿图中的线段走，使从A点到B点的路程最短.

（1）画出其中两种路径；
（2）求最短的路程.

17.1勾股定理
练1 解：【探索新知】由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，ca，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28．故答案为28．
【迁移运用】结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3b×kac×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．
知识点2 勾股定理
练1 D
练2 __
练3 解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得，在Rt△ACD中，由勾
股定理，
得.
练4 解：（1），如图1；
（2），如图2．
练5 解：如图所示：
边长为2，边长为，
故答案为：2；
考向三 勾股定理与数轴
练6　A　
练7 A
考向四 勾股定理与面积的综合
练8 C
练9 19.
考向五 利用勾股定理解决图形变换问题
练10 解：设EC的长为x，则DE＝8－x．
∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF．
又∵AB＝8，∴在Rt△ABF中，
由勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，
∴BF＝6，∴FC＝BC－BF＝10－6＝4
在Rt△EFC中，
由勾股定理得FC2＋EC2＝EF2，
即42＋x2＝(8－x)2，即16x＝48，∴x＝3，
故EC的长为3，
练11 解：(1)由题意得DE＝EB，设DE＝EB＝x ,则AE＝8－x.
在Rt△AEB中， x2＝42＋(8－x)2,x＝5.
(2)作EM⊥BC于M，证∠DEF＝∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，MF＝2.
∴EF＝＝2.
考向六 勾股定理在生活中的实际应用．
练12

解:当端点B向右移动0.5米时，设端点B移动到点D，顶点A下滑至点E，AE长为x米．
在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22，故AC＝2米，
∴EC＝(2－x)米．
在Rt△ECD中，EC2＋CD2＝ED2，
∴(2－x)2＋22＝2.52，
解得x＝0.5或x＝3.5(舍去)，
即AE长为0.5米．
答：滑竿顶端A下滑0.5米．

练13解：2小时后，两艘船分别行驶了16×2=32（海里），12×2=24（海里），根据勾股定理，得（海里），
∴两船相距40海里.

考向八 利用勾股定理求最短路径
练14　5cm　．
练15 解：（1）如图所示（选择其中两种即可）；

（2）最短路程为



























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